梁娟

摘 要 多元函數(shù)的最值問題是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，但是很多教材對(duì)其求解并沒有給出系統(tǒng)的全面介紹，導(dǎo)致學(xué)生了解的很片面。針對(duì)這個(gè)問題，也為了幫助同學(xué)們有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，本文從多元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最值問題和求最值的應(yīng)用題兩類進(jìn)行討論，并對(duì)應(yīng)用題中兩種常考的題型做了進(jìn)一步的介紹。每個(gè)題型都給出解題思路，并通過具體的例題進(jìn)行說明。

關(guān)鍵詞 多元函數(shù) 最值問題 最值定理 拉格朗日乘數(shù)法

中圖分類號(hào)：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1前言

眾所周知，高等數(shù)學(xué)是一門工具性學(xué)科，也是各大高校的重要學(xué)科，同時(shí)也是學(xué)生認(rèn)為最難學(xué)、掛科率相對(duì)較高的學(xué)科之一。函數(shù)的最值問題在高中數(shù)學(xué)里已有相關(guān)介紹，也是高考的一個(gè)考點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)里介紹的函數(shù)最值問題包括兩類：一類是一元函數(shù)的最值，比較簡(jiǎn)單，對(duì)學(xué)生來說沒有難度；另一類是多元函數(shù)的最值，雖然增加了新的解法，比一元函數(shù)的最值難度有所增加，但是同學(xué)們應(yīng)付期末考試是沒有問題的。

對(duì)于多元函數(shù)的最值，幾乎所有教材都只是簡(jiǎn)單的介紹了其中的一種或零散的介紹幾種求解方法，并沒有給出一個(gè)系統(tǒng)的全面介紹。很多課本在介紹多元函數(shù)最值的求法時(shí)，通常都說與一元函數(shù)相類似。這種模糊的說法，對(duì)于那些需要繼續(xù)深造的學(xué)生（比如：考研和參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生），是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。針對(duì)這個(gè)問題，也為了幫助同學(xué)們有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，我對(duì)求解多元函數(shù)最值的幾種方法做了總結(jié)。

我們知道，求一元連續(xù)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的最值：先求f（x）出在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，并計(jì)算它們的函數(shù)值；再計(jì)算端點(diǎn)a和b處的函數(shù)值，比較函數(shù)值的大小，其中最大者為f（x）在[a，b]上的最大值，最小者為在上的最小值。對(duì)于多元函數(shù)，根據(jù)最值定理：若f（x，y）是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，則必有最大值和最小值。這樣就保證了多元函數(shù)最值的存在性。而求解多元函數(shù)的最值分兩步：（1）計(jì)算出函數(shù)在所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值；（2）求出區(qū)域D在邊界上的最大值和最小值，將這些函數(shù)值進(jìn)行比較，找出最大和最小者，它們即為函數(shù)在區(qū)域D上的最大值和最小值。多元函數(shù)求最值，說起來簡(jiǎn)單，實(shí)施起來要復(fù)雜的多。比如：函數(shù)求出的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)可能不止一個(gè)；區(qū)域D的邊界點(diǎn)有無窮多了，因此要求出其在邊界上的最值通常比較復(fù)雜和困難。下面對(duì)求解多元函數(shù)最值的方法給出總結(jié)。

2求多元連續(xù)函在有界閉區(qū)域上的最值

由于使函數(shù)f取得最值的點(diǎn)可能是：①f在D內(nèi)部的駐點(diǎn)②在D的邊界上拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)③D的邊界上的端點(diǎn)。因此先求出函數(shù)在上述所有點(diǎn)處的函數(shù)值，再比較它們的大小，其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)域上的最大值，其中最小者為函數(shù)在閉區(qū)域上的最小值（對(duì)上述這些點(diǎn)的函數(shù)值，無須逐一討論取極大值還是取極小值或者不是極值）。

例1 求函數(shù)z=x2+y2xy在區(qū)域D：|x|+|y|≤2上的最大值與最小值

解 D在的內(nèi)部：|x|+|y|<2，由

解得駐點(diǎn)P1（0，0）

在邊界上，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

令解得拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)。

同上，在邊界上，可求得相應(yīng)的拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)；在邊界上，可求得相應(yīng)的拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)；在邊界上，可求得相應(yīng)的拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)。

又記四個(gè)邊界線段的交點(diǎn)分別為，，，。

函數(shù)的最大值與最小值只能在上述9個(gè)點(diǎn)中取得，于是有

3求最值的應(yīng)用題

此類問題利用轉(zhuǎn)化的思想，首先建立目標(biāo)函數(shù)，將該問題轉(zhuǎn)化為第一類問題。而對(duì)于應(yīng)用問題，根據(jù)實(shí)際問題的性質(zhì)知道，函數(shù)f（x，y）的最大（小）值一定在區(qū)域D的內(nèi)部取得，如果f（x，y）在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，即可斷定f（x，y）在D上的最大（?。┲翟谠擇v點(diǎn)處取得。常見的實(shí)際問題有以下兩種情形。

求函數(shù)z=f（x，y）滿足約束方程 （x，y）=0的最值

這種題有兩種解法：一是由 （x，y）=0解出y=y（x）（或x=xy）代入函數(shù)f（x，y）得到一元函數(shù)z（x）=f（x，y（x）），利用一元函數(shù)求最值的方法解決；二是利用拉格朗日乘數(shù)法。

例2 已知原料A的單價(jià)是10元，原料B的單價(jià)是20元，打算用1500元購買原料。假設(shè)A，B的數(shù)量x，y與由它們生產(chǎn)出的產(chǎn)品的數(shù)量P有如下關(guān)系式

P（x，y）=0.5x2y

問購進(jìn)兩種原料各多少，可使生產(chǎn)的數(shù)量最多？最多數(shù)量是多少？

解法一 由題意知，10x+20y=1500，即y=

代入P（x，y）=0.5x2y，得到一元函數(shù)P（x）=37.5x20.25x3

問題轉(zhuǎn)化為求P（x）=37.5x20.25x3，（x>0）的最大值。

令P'x=75x0.75x2=0，解得x=100或x=0（舍去）

P（0）=0，P（100）=125000并且x>100時(shí)，P（x）是減函數(shù)。

所以，當(dāng)x=100，y=25時(shí)，可使生產(chǎn)數(shù)量最多，最多數(shù)量為P=125000。

解法二 約束條件為10x+20y=1500，即10x+20y1500=0

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F（x，y， ）=0.5x2y+ （10x+20y1500），

解得x=100，y=25。因駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問題中一定存在最大值，所以（100，25）為最大值點(diǎn)，即當(dāng)x=100，y=25時(shí)，可使生產(chǎn)數(shù)量最多，最多數(shù)量為P（100，25）=0.5100225=125000

注意：1. 約束條件的形式，等號(hào)右端必須為0，不是0的要先化為0；

4求駐點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵是想辦法消去

求函數(shù)u=f（x，y，z）滿足約束方程 （x，y，z）=0的最值

這種題最好直接用拉格朗日乘數(shù)法。當(dāng)然也可以由 （x，y，z）=0解出z=z（x，y）代入函數(shù)f（x，y，z）得到二元函數(shù)數(shù)u=f（x，y，z（x，y）），然后利用求二元函數(shù)無條件最值的方法解決。

例3 某工廠用木板制定一個(gè)容積為V的無蓋長(zhǎng)方體盒子，問長(zhǎng)、寬、高如何選取才能使木板最?。?/p>

解法一 設(shè)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z，則表面積為S=xy+2xz+2yz

約束條件為，即V=xyz，即Vxyz=0

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

解得。因駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問題中一定存在最小值，所以為最小值點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，盒子用料最省，此時(shí)用料。

解法二 設(shè)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z，則表面積為S=xy+2xz+2yz

且V=xyz

由于z=，代入S，得S=xy++

由題意知x>0，y>0，對(duì)x，y求偏導(dǎo)數(shù)，得

解得唯一駐點(diǎn)。該駐點(diǎn)也是最小值點(diǎn)，即當(dāng)長(zhǎng)、寬、高分別為時(shí)，盒子用料最省，此時(shí)用料。

5結(jié)束語

求解多元函數(shù)的最值問題，首先要弄清楚題目的類型，然后按照相應(yīng)的解題思路和解題步驟求解。特別地，在用拉格朗日乘數(shù)法求解最值時(shí)，一定要注意約束條件的形式，這是很多學(xué)生容易出錯(cuò)的地方；此外，在求拉格朗日函數(shù)駐點(diǎn)時(shí)，要先消去 ，再求出駐點(diǎn)。在教學(xué)實(shí)踐中，我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在求駐點(diǎn)時(shí)，思路不明確，不知如何下手。以上是對(duì)多元函數(shù)最值的幾點(diǎn)介紹，希望學(xué)生在學(xué)習(xí)該部分知識(shí)時(shí)，可以有個(gè)系統(tǒng)的全面認(rèn)識(shí)。

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