馮麗娟

摘 要：緊張忙碌的中考早已結(jié)束，靜下心來重新審視試卷，分析試題，尋找出處，提出合理化教學(xué)建議。以2017年杭州市數(shù)學(xué)中考第21題為例，從試題賞析、試題出處、解法展示、拓展延伸、教學(xué)建議幾方面作簡單分析，希望對今后的數(shù)學(xué)教學(xué)有所幫助。

關(guān)鍵詞：解題能力；綜合運(yùn)用；重視課本；拓展延伸；融會貫通

緊張忙碌的中考早已結(jié)束，靜下心來重新審視試卷，分析試題，尋找出處，提出合理化教學(xué)建議。一般大家都會比較關(guān)注最后一題，也就是壓軸題。壓軸題固然重要，但不是每一個學(xué)生都能做好，對于大部分學(xué)生來說，做好基礎(chǔ)部分，做對、會做的部分才是至關(guān)重要的。即使是尖子生，不也要保證基礎(chǔ)部分不丟分，不繞彎路嗎？第21題的位置是在解答題的第5題，此題至關(guān)重要，一般來說，此題不會太簡單，不會像前幾個解答題那么一目了然就能解決，但也不像后兩題那么難，需要花費(fèi)大量的時間。對于中下同學(xué)來說，此題做對了，那分?jǐn)?shù)就會提高一個檔次。對于中上同學(xué)來說，在此題中不卡題，順利通關(guān)，才能留有足夠時間完成后兩題，同時也會更有底氣繼續(xù)答題。所以，無論對于哪一類學(xué)生，中考第21題必須拿下。下面就2017年杭州市數(shù)學(xué)中考第21題作簡單分析：

一、試題賞析

2017年杭州市數(shù)學(xué)中考第21題：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對角線BD上（不與點(diǎn)B，D重合）GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AG。

（1）寫出線段AG，GE，GF長度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）若正方形ABCD的邊長為1，∠AGF=105°，求線段BG的長。

題目條件簡單明了，主要考查了特殊平行四邊形、三角形全等、勾股定理、特殊直角三角形的邊長之間的關(guān)系。但是每一小題的解答都需要添加輔助線，這就給此題增加了難度。有關(guān)特殊平行四邊形的內(nèi)容是在浙江版八上第五章，繼第四章平行四邊形之后學(xué)的。至此，初中階段由線段所組成的平面圖形基本上已經(jīng)介紹完畢。正方形是一種最特殊的平行四邊形，它也是特殊的矩形、特殊的菱形。因此，它具有平行四邊形、矩形、菱形所有的性質(zhì)，它還可以分割出三角形、特殊三角形等，所以把正方形放入題中，需要綜合運(yùn)用多方面的知識，可以說是集合了大部分平面幾何圖形的內(nèi)容和性質(zhì)，考查得比較細(xì)致，比較全面。在2016年的杭州市數(shù)學(xué)中考中，第21題也是由正方形構(gòu)造的圖形，同樣需要運(yùn)用正方形的性質(zhì)、三角形的全等和三角函數(shù)等知識解決。說明近兩年中考，在對幾何圖形的考查上有一定的吻合性。由此可見，在幾何圖形的考查中，放入一個關(guān)于正方形的題型，并分割出一些三角形，既能考查四邊形的內(nèi)容，又涉及三角形的知識，可以比較全面地考查學(xué)生對平面幾何圖形的掌握情況，以及綜合運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)的解題能力。

二、試題出處

尋找試題出處，在浙教版數(shù)學(xué)八下第五章特殊平行四邊形，課本第126頁例2：

已知：如圖2，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的一點(diǎn)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足，聯(lián)結(jié)AG，EF，求證AG=EF。

這個例題與中考第21題的第（1）小題相似，圖形大致一樣，只是多了一條聯(lián)結(jié)EF，解答過程都需要添加輔助線：聯(lián)結(jié)GC，不同的是課本原題是要求證AG=EF，是一個明確的結(jié)果，而要證明兩條線段相等，學(xué)生馬上可以想到證三角形全等，相對來說方法容易形成。而中考題是要寫出線段AG，GE，GF長度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；這是一個開放的問題，不清楚它們之間有怎樣的關(guān)系，一時間可能不易得到方法，這就在課本例題的基礎(chǔ)上提升了一個檔次，需要學(xué)生有足夠的平面圖形的相關(guān)知識，才能聯(lián)系這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而猜想結(jié)果并進(jìn)行證明。而第（2）小題，是在原圖的基礎(chǔ)上又增加了一個條件，這樣的改編是源于課本，又高于課本的體現(xiàn)。其實借助正方形的一條對角線平分一組對角后，可以單獨(dú)拎出△ABG，這個三角形中，已知兩角分別為45°和60°，并且一條邊長為1，這種圖形實際上在九下第一章解直角三角形中是很常見的，準(zhǔn)確地說應(yīng)該是解斜三角形，在解直角三角形的應(yīng)用中有很多這樣的實際情境。在這里，只是把這類解斜三角形放在了正方形中，與正方形的性質(zhì)結(jié)合起來，增加了難度，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的整合。

三、解法展示

（1）聯(lián)結(jié)GC，運(yùn)用正方形邊長相等和一條對角線平分一組對角的性質(zhì)，證明△ABG≌△CBG（SAS），或證明△ADG≌△CDG（SAS），得到AG=GC，再根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形，證明四邊形GFCE是矩形，得到GF=EC，最后利用勾股定理得到GF2+GE2=AG2。此題中，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，與以往的題目有不同之處，以往判斷兩條或三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，結(jié)果通常是兩條線段相等，或是兩條較短線段的和等于較長那條線段，像這樣的最終利用勾股定理得到三條線段的數(shù)量關(guān)系，比較少見、新穎。

四、拓展延伸

為進(jìn)一步提高，以及想把一個題目的功效發(fā)揮的盡可能大，于是想到對此題進(jìn)行拓展延伸。此題的第（1）問，條件不變，結(jié)論可以改為“探索AG與EF之間的關(guān)系”，這也是一個開放性的問題，而這里的關(guān)系應(yīng)分為數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，數(shù)量關(guān)系的證明跟之前的方法一致。位置關(guān)系的證明相對來說有一定的難度。需要延長AG，與EF相交于點(diǎn)M，延長FG，與AD相交于點(diǎn)N，證明△ANG≌△FGE（SAS）得∠NAG=∠GFE，再利用對頂角∠AGN=∠FGM，于是得到第三個角相等，即∠GMF=∠ANG=90°。這樣的改動要求學(xué)生有較完整的平面幾何圖形的性質(zhì)，及較強(qiáng)的綜合解題能力。

在“2017年杭州市中小學(xué)教師專業(yè)技術(shù)職務(wù)晉升教學(xué)能力水平考試”中，更是將此題條件中的“正方形”改為“長方形”，并使AG⊥BD（其他條件不變），要求寫出線段AG，GE，GF長度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；看似小小的改動，但是卻難倒了很多參加考試的老師們。因為這樣一來，雖然點(diǎn)G由一個動點(diǎn)變?yōu)楣潭c(diǎn)，但是正方形特有而長方形不具有的性質(zhì)不能用了，缺少了很多條件，全等就不能證了，而是要利用三角形相似等內(nèi)容來解決了，確實有點(diǎn)復(fù)雜，但作為教師自己可以研究探索。只有教師本人具備探索創(chuàng)新的精神，才能在平時的教學(xué)中，慢慢地滲透給學(xué)生，潛移默化地影響學(xué)生，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。

五、教學(xué)建議

2017年杭州市數(shù)學(xué)中考第21題注重基礎(chǔ)考查，題型回歸課本，又有一定的創(chuàng)新提高，貼近初中數(shù)學(xué)的教學(xué)實際。鑒于此，提出如下教學(xué)建議：

1.回歸課本，重視對課本例題的教學(xué)

課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，實施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源。因此，在平時數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視回歸課本，認(rèn)真鉆研教材，講好、用好、學(xué)好課本，充分發(fā)揮教材的優(yōu)勢，注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握和理解，才能使學(xué)生各方面的能力得到提高。同時，我們要重視對課本例題的教學(xué)，教材中所選的例題都是很典型的，是經(jīng)過精選，具有一定代表性的，例題教學(xué)具有相當(dāng)重要的地位，它是學(xué)生接受新知識的起點(diǎn)，搞好課本例題的剖析教學(xué)，不僅能加強(qiáng)對概念、公式、定理的理解，而且對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力以及抽象思維能力等方面，能發(fā)揮其獨(dú)特的功效。例題教學(xué)不是簡單地讓學(xué)生看一遍例題，或是教師說一遍例題，而是教師要設(shè)計一些有效的問題，一步步引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生通過自主探索，自主發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并能通過某個例題，有一定的數(shù)學(xué)解題方法掌握。近兩年的數(shù)學(xué)中考題，都有課本例題或練習(xí)改編的，說明中考的考查也越來越趨向回歸課本，重視對學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本技能的考查。學(xué)生只有順利完成了基礎(chǔ)部分的題目，才有能力和精力去鉆研較難的題。

2.立足課本，適時進(jìn)行改編及延伸

每次的考試，題目有可能跟課本中的某個題目相似，但不可能一模一樣，有的學(xué)生學(xué)得比較死，只要題目稍稍改動，就不知如何動手，這就需要教師在平時的教學(xué)活動中慢慢滲透，逐步培養(yǎng)這方面的能力。比如在某個題目教學(xué)時，教師能適當(dāng)?shù)馗淖兡硞€條件或結(jié)論，或者增加條件，進(jìn)行題目的改編及再生，讓學(xué)生進(jìn)一步思考，從而總結(jié)由一個題目出發(fā)，由一個知識點(diǎn)出發(fā)，能拓展到幾個題目，能拓寬到幾個知識點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和整合性，有利于學(xué)生綜合數(shù)學(xué)能力的提高。在平時的教學(xué)活動中，切忌單純的就題講題，要能舉一反三，這就需要教師有足夠的基本功，課前做過大量的準(zhǔn)備，嘗試改編及拓展，要把一個題目的功效發(fā)揮得盡可能大。

3.單元結(jié)束，及時進(jìn)行歸納整理

在平時教學(xué)工作中，當(dāng)每一章結(jié)束時，應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生對本章內(nèi)容進(jìn)行歸納整理，才能使學(xué)生更好地掌握所學(xué)內(nèi)容。如上述題目中，有些學(xué)生不知道矩形、正方形有哪些性質(zhì)，或是漏了某條性質(zhì)，那么此題就不易解決。而在學(xué)習(xí)特殊平行四邊形時，確實有很多的性質(zhì)和判定，學(xué)生記憶比較困難，且容易搞混。因此在復(fù)習(xí)時，應(yīng)系統(tǒng)地歸納整理，把零碎的知識點(diǎn)串起來，可以用列表格的形式進(jìn)行比較，可以借助圖形進(jìn)行記憶，而不是單純地背文字，這是數(shù)學(xué)與其他功課的不同之處。讓學(xué)生的頭腦里有這樣的一些圖表，這樣學(xué)生印象比較深刻。將前后知識點(diǎn)融會貫通，培養(yǎng)學(xué)生綜合解決問題的能力。同時，還可以讓學(xué)生進(jìn)行糾錯整理，把平時練習(xí)、考試時做錯的題目整理、歸類，再進(jìn)行重點(diǎn)復(fù)習(xí)。

4.融會貫通，加強(qiáng)知識之間的聯(lián)系和整合

數(shù)學(xué)教學(xué)雖然按單元進(jìn)行分類，但是每一個單元之間又有著千絲萬縷的聯(lián)系，最終的題型大多數(shù)都是你中有我，我中有你。在中考題中，經(jīng)常可以看到代數(shù)與幾何的碰撞，函數(shù)與圖形的結(jié)合等。如上述的題目中，有特殊平行四邊形的內(nèi)容，也有之前學(xué)的三角形全等的證明，還有之后學(xué)的三角函數(shù)的應(yīng)用。往往一個題目不會是單純的一塊知識點(diǎn)，必定是很多知識的整合，這就需要學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)過程中，能把前后知識融會貫通，串聯(lián)起來，而不是學(xué)了這個，丟了那個，解題過程中，如果某個知識點(diǎn)的遺忘或斷層，就無法順利進(jìn)行下一步操作。而培養(yǎng)學(xué)生的綜合運(yùn)用能力，還得靠我們教師的引導(dǎo)和滲透。

參考文獻(xiàn)：

1.郝旭嵐.2014年河北省中考數(shù)學(xué)試題賞析及反思[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014（21）：52-55.

2.葉聰.高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視回歸課本[J].文理導(dǎo)航，2012（23）：32.