尹麗
摘要:BaconRoger曾經(jīng)說過:數(shù)學是科學的大門鑰匙,忽視數(shù)學必將傷害所有的知識,因為忽視數(shù)學的人是無法了解任何其他科學乃至世界上任何其他事物的。數(shù)學是多種學科里面最為重要的學科,隨著學習的深入,數(shù)學的難度也隨之增加,高中階段的數(shù)學中讓學生較頭疼的就是圓錐曲線參數(shù)方程這一塊的知識點了,這一方面的知識不僅難度較大,而且占有較高的分值,如何突破圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學解題中的應用是本文重點討論的對象。
關鍵詞:高中數(shù)學;圓錐曲線方程;應用
圓錐曲線類數(shù)學題目的解題關鍵是利用橢圓、雙曲等其它變形的圓錐曲線上的不同焦點進行解題。橢圓方程、雙曲線方程在一些公式上面非常相似,所以在解答時,一定要認真分析,牢記二者的相關概念,不要混淆,相互轉(zhuǎn)化,由點至面,熟練運用各類方法技巧解答圓錐曲線參數(shù)方程問題。
一、靈活轉(zhuǎn)換,利用圓錐曲線參數(shù)方程解決最值問題
很多學生在學習數(shù)學的時候存在一個誤區(qū),總認為數(shù)學成績提不上去的原因是習題量不夠,所以有的學生會陷入一種盲目的刷題狀態(tài),而忽略學習方法和思維模式上存在的不足。學生要根據(jù)自身知識水平以及學習習慣安排數(shù)學學習,善于總結(jié)和歸納,了解自身知識掌握情況,有針對性的進行習題設計,而非一味追求練習量,認清數(shù)學學習更重要的是建立數(shù)學思維,而不是培養(yǎng)做題機器。
例如在這道題中:橢圓x2/a2+y2/b2(a>b>0),橢圓內(nèi)接四邊形為ABCD,各邊和對應的坐標軸平行,求該四邊形的周長和面積??吹竭@道題時,首先要根據(jù)已知條件畫出相應的圖形,不難分析出該題目中的四邊形是長方形,在長和寬未知的情況下計算長方形的周長和面積有一定的難度,所以要運用轉(zhuǎn)換思想,將長和寬和橢圓聯(lián)系起來。我們在學習橢圓概念的時候知道,x=a×cosθ,y=b×sinθ,S=4xy=4ab cosθsinθ= 2absin2θ。由于y=sinx函數(shù)的最大值是1,所以當sin2θ=1時,四邊形的面積達到最大值,此時S=2ab;當sin(θ+β)=1時,周長取到最大值,為(4a2+b2)1/2。這種由一般規(guī)律總結(jié)的公式可以直接拿來應用,在做選擇題和填空題時可以有效節(jié)省計算過程,提高做題質(zhì)量。
二、牢記定義,熟練應用正余弦定理
高斯曾經(jīng)說過:寧可少些,但要好些,二分之一個證明等于0,波利亞也曾說過:從最簡單的做起,這些都是說學習數(shù)學要從基礎抓起,只有牢記基礎概念,才能有所創(chuàng)新,才能有更多發(fā)散式的思維。圓錐曲線問題復雜多變,不可能記住所有的題型,但是基礎知識都是通用的。解題時,可以多于同學互相討論,尋求解決問題的最簡單方法,著名數(shù)學家華羅庚說過,“新的數(shù)學方法和概念,常常比解決數(shù)學問題本身更重要”[1]。
例如在下面這個問題中:已知雙曲線x2/a2+y2/b2(a<0,b>0),P為雙曲線上的一個動點,∠F1PF2=θ,求三角形F1PF2的面積。首先由面積公式列出S=1/2| PF1|×| PF2| sinθ,(2c)2=| PF1|2+| PF2|2- 2| PF1|×| PF2| cosθ,聯(lián)立上述兩個方程,就可以得到| PF1|×| PF2| =2b2/(1-cosθ),帶入面積公式,即可求得問題答案。
三、發(fā)散思維,利用圓錐曲線公式解決參數(shù)方程
數(shù)學學習的連貫性很強,知識點的關聯(lián)性也很緊密,所以在數(shù)學學習過程中切忌偷懶,因為有可能課堂上稍微偷個懶,老師就講過一個知識點了,自己在課下所花費的時間要遠遠不止這一節(jié)課的時間。如果課堂上有不明白的地方,要課下及時問老師或者跟同學討論,爭取不把問題留給明天,今天的問題今天解決。圓錐曲線是歷年來必考的題目,靈活多變,公式繁多,除了多練習之外,一些公式也是需要不斷背誦的,這樣才能強化記憶??梢远喔皩W霸”交流解題方法,以培養(yǎng)自己的發(fā)散思維[2]。
例如在下面這道題中:已知橢圓方程是x2/a2+y2/b2(a>b>0),與x軸正半軸的交點記為M,,若是曲線上存在懂點N ,并且滿足ON垂直O(jiān)P,求橢圓的離心率范圍。在解這道題之前,要先畫草圖進行分析,再結(jié)合自己已經(jīng)掌握的知識進行發(fā)散式思維拓展,當遇到瓶頸時,可以先放一放,跟同學進行討論,如果仍然沒有想出解決方法,就要向老師尋求幫助。如果這是在考場上,不要因為一道題浪費太多時間,要懂得取舍,此外,對于這種常規(guī)題目,多多少少能寫出來一點解題步驟,能寫到哪一步就寫到哪一步,多一個公式就會多幾分。這道題就可以按照常規(guī)的步驟來寫,首先是設N點的坐標是N(a×cosθ,b×sinθ),由已知得M(a,0),y然后由MP垂直O(jiān)N得(b×sinθ/ a×cosθ)×{b×sinθ/(a×cosθ- a)}=- 1,化簡得到b2/a2=1- 1/(1+ cosθ),再根據(jù)橢圓方程的基本定義a2=c2+b2,順利求出離心率范圍。
四、圓錐曲線方程解題注意事項
很多學生一看到圓錐曲線方程就頭大,會下意識認為很難,甚至直接跳過去不做,其實圓錐曲線方程主要考察的是學生對于概念、公式的掌握情況,題目較常規(guī),尤其是大題,基本不會出得特別刁鉆。同學們利用掌握的公式和積累的解題技巧來答題,就算計算結(jié)果有誤,也會拿到一定的分數(shù)的。這種常規(guī)題目的解題技巧關鍵在于認真,以及平時打下的良好基礎,在平常練習時,多總結(jié)、多歸納、多思考、多記憶,在考試的時候才不會無從下手,被它“嚇到”。學生在平時練習的時候要養(yǎng)成隨手將題目中的重點內(nèi)容圈出來,以免出現(xiàn)遺漏的地方。不要執(zhí)迷于計算結(jié)果,重點是熟悉解題思路和過程,時間充足的話,還可以嘗試突破常規(guī)解題方法,尋找新的解題途徑[3]。
五、結(jié)語
高中數(shù)學學習更重要的是積累解題技巧和培養(yǎng)思維習慣,學生不應該為了“刷題”而“刷題”,而是結(jié)合自身知識水平以及做題習慣,有針對性地練習。高中數(shù)學較難,學生可以準備錯題本,及時將不會或是做錯的題目記錄下來,以便考試之前翻閱,有效提高復習的效率[4-6]。
參考文獻
[1] 雷鵬.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學解題中的應用[J].學周刊,2016,09:134.
[2] 王琦.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學解題中的應用[J].科學大眾(科學教育),2017,01:28.
[3] 杜素麗.淺談轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學解題中的應用[J].學周刊,2014,21:126.
[4] 毛芹.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學解題中的應用[J].理科考試研究,2014(05).
[5] 梁偉彬.淺析直線與圓錐曲線問題的幾種解法[J].中學數(shù)學,2012(05).
[6] 陳堯明.直線參數(shù)方程教學設計[J].教學月刊(中學版),2011(12).endprint