☉江蘇省海門市四甲中學(xué) 夏 華

POE策略下的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐

☉江蘇省海門市四甲中學(xué) 夏 華

皮亞杰早期提出過概念同化理論，其認(rèn)為學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中歷經(jīng)了認(rèn)知平衡—認(rèn)知沖突—重新平衡的過程，這在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)被教育界認(rèn)同.特別是像數(shù)學(xué)這樣的抽象學(xué)科，其頭腦中的知識(shí)是一步一步螺旋疊加的，要將新的知識(shí)與頭腦中固有的知識(shí)進(jìn)行完美的銜接，需要接受新知、新方法對(duì)固有知識(shí)體系的沖擊，這種沖擊會(huì)帶來新的知識(shí)平衡，恰恰是皮亞杰研究的概念同化理論.

進(jìn)一步來說，皮亞杰概念同化理論的發(fā)展說明了我們對(duì)知識(shí)理解的平衡性，在一個(gè)動(dòng)態(tài)的、發(fā)展的過程中尋求平衡.那么怎么樣實(shí)現(xiàn)、獲得平衡的呢？學(xué)者Gunstone和White在研究概念同化理論的過程中，提出了知識(shí)學(xué)習(xí)過程中的POE策略，其建議首先采用了Prediction（預(yù)習(xí)感知），這種感知可以讓學(xué)習(xí)者具備一定的形象性；其次是Observation（思考分析），這恰恰是建議要實(shí)現(xiàn)這種同化需要做的思維過程；最后是Explanation（歸納小結(jié)），將新獲得的知識(shí)融入到自身現(xiàn)在的體系中，形成全新的知識(shí)體系，這樣的學(xué)習(xí)策略強(qiáng)化了同化理論.實(shí)踐表明，POE策略在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，特別是抽象數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，形成了嚴(yán)密的學(xué)習(xí)步驟和過程.

一、POE策略在知識(shí)深化中的實(shí)踐

課程理念表明，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是螺旋式上升、循序漸進(jìn)的.這一科學(xué)的學(xué)習(xí)理念讓我們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須有一定的步驟性，以往教師一股腦兒將知識(shí)和技能全倒給學(xué)生的做法，是不被認(rèn)可的.根據(jù)心理學(xué)研究發(fā)展理論來說，在知識(shí)全部獲取過程中，運(yùn)用合理的策略將知識(shí)教學(xué)的深度進(jìn)行充分挖掘，以便實(shí)現(xiàn)知識(shí)深化的過程.

教學(xué)案例1：線性區(qū)域的最值研究.

問題（Prediction）：已知點(diǎn)P（x，y）所在區(qū)域D滿足條件求z=2x+y的最值.

分析：z=2x+y?y=-2x+z，作可行域如圖1.

由圖可知，在點(diǎn)B（1，1）處，目標(biāo)函數(shù)有最小值3；

圖1

在點(diǎn)C（5，2）處，目標(biāo)函數(shù)有最小值12.

意圖：以學(xué)生熟練掌握的線性規(guī)劃基本問題入手，回顧思考目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，在圖形中尋求解決問題解決基本方式——幾何法.

變式1（Observation）：已知點(diǎn)P（x，y）所在區(qū)域D滿足條件求下列目標(biāo)函數(shù)的取值范圍：

（1）z=|x+y-3|；（2）z=（x+2）2+y2；（3）z=

分析：（1）師：目標(biāo)函數(shù)z=|x+y-3|體現(xiàn)了什么樣的幾何意義？

生：截距的絕對(duì)值？

師：這位同學(xué)所說的是它的代數(shù)意義，并不是幾何意義，幾何意義指的是圖形中的含義.

生：可以從點(diǎn)到直線的距離公式中思考.

師：好！思考非常到位，請(qǐng)具體說一說處理過程.

圖2

（2）師：有了前面問題的鋪墊，我們可以進(jìn)一步思考不同目標(biāo)函數(shù)的幾何意義理解和處理.這一目標(biāo)函數(shù)z=（x+2）2+y2所體現(xiàn)的幾何意義是什么呢？

生：這個(gè)容易，應(yīng)該表示P（x，y）到定點(diǎn)（-2，0）的距離的平方.

師：好！思考非常到位，請(qǐng)具體說一說處理過程.

圖3

生：這個(gè)和我們剛剛學(xué)過的兩點(diǎn)間的斜率公式有關(guān).

師：好！思考非常到位，請(qǐng)具體說一說處理過程.

圖4

意圖：在基本的線性問題感知后，運(yùn)用變式教學(xué)手段，加入了問題的思考，即POE學(xué)習(xí)策略中積極思考分析的過程，加深了知識(shí)的深度，理解和掌握了目標(biāo)函數(shù)從感知到思考分析的過程，形成了目標(biāo)函數(shù)在頭腦中一定的處理體現(xiàn).

小結(jié)（Explanation）：將常見線性區(qū)域問題目標(biāo)函數(shù)最值的處理，進(jìn)行反思總結(jié)：

（1）z=ax+by+c幾何意義體現(xiàn)的是直線的截距；（2）z=|ax+by+c|幾何意義體現(xiàn)的是點(diǎn)到直線的距離；（3）z=（x-a）2+（y-b）2幾何意義體現(xiàn)的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；幾何意義體現(xiàn)的是兩點(diǎn)間連線的斜率.對(duì)進(jìn)一步知識(shí)的深度思考，讓學(xué)習(xí)對(duì)線性區(qū)域下的目標(biāo)函數(shù)最值有了更深度的思考和理解，讓目標(biāo)函數(shù)的幾何意義有了深思和掌握.

變式2（再反思）：已知f（x）=ax2+cx，且1≤f（1）≤3，-1≤f（-1）≤1，求f（2）的取值范圍.

錯(cuò)解：本題是學(xué)生初學(xué)不等式中教材的習(xí)題，學(xué)生普遍的錯(cuò)誤率是如下求解單量：由已知可得

①+②，得0≤2x≤4，即0≤4x≤8，

②×（-1），得-1≤y-x≤1.③

①+③，得0≤2y≤4.

故而代入f（2）=4x+2y，得0≤f（2）≤12.

這種單量研究的過程顯然大大擴(kuò)大了解的過程，此時(shí)請(qǐng)學(xué)生進(jìn)一步思考線性區(qū)域的目標(biāo)函數(shù)處理，從而理解錯(cuò)解產(chǎn)生的原因.

解：由已知可得3≤3f（1）≤9，-1≤f（-1）≤1，不等式組的可行域可以輕松獲得，故而可得2≤f（2）≤10.

意圖：回歸教材基本問題，讓學(xué)生思考和理解了目標(biāo)函數(shù)真正的應(yīng)用價(jià)值，通過POE策略，感知基本到思考分析到鞏固小結(jié)，到問題的再反思，體現(xiàn)了知識(shí)的深度性，利用POE策略實(shí)現(xiàn)了教學(xué)的深層次.

二、POE策略在知識(shí)抽象中的實(shí)踐

高中數(shù)學(xué)具備了較強(qiáng)的抽象性，在較強(qiáng)的抽象性中獲得知識(shí)的理解和運(yùn)用是困擾學(xué)習(xí)者的因素.比如學(xué)生對(duì)抽象函數(shù)的理解不如具體函數(shù)到位，對(duì)平面向量基本定理的理解往往側(cè)重正交分解下的坐標(biāo)形態(tài)等等，這些都阻礙著學(xué)生進(jìn)一步的思維發(fā)展，筆者認(rèn)為用POE策略可以加強(qiáng)學(xué)生思維的層次性.

教學(xué)案例2：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，2），求函數(shù)f（x+2）的定義域.

（2）函數(shù)f（x+1）的定義域?yàn)椋?∞，1］∪［2，+∞），求函數(shù)f（x-1）的定義域.

運(yùn)用POE教學(xué)策略研究：從抽象函數(shù)的問題來看，學(xué)生往往不理解和不掌握，這種困擾是其本身對(duì)函數(shù)概念的掌握程度不夠造成的.從筆者多年一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，抽象函數(shù)部分的教學(xué)比較適宜的是給學(xué)生搭建足夠多的“感知腳手架”，有了這一工具，學(xué)生自然而然地獲得了更為充分的理解.

函數(shù) 具體感知類比抽象再現(xiàn)f（x+1）定義域?yàn)椋?∞，1］∪［2，+∞）令f（x+1）=（x-1）（x-2）即f（x+1）中的x滿足x≤1orx≥2 f（x）定義域?yàn)椋?∞，2］∪［3，+∞）則f（x）=（x-2）（x-3）即f（x）中的x滿足x≤2orx≥3 f（x-1）定義域?yàn)椋?∞，3］∪［4，+∞）則f（x-1）=（x-3）（x-4）即f（x-1）中的x滿足x≤3orx≥4數(shù)學(xué)思想 解決抽象函數(shù)時(shí)，關(guān)注整體思想的運(yùn)用，這里（x+1），x，（x-1）的范圍是一樣的

意圖：首先，抽象函數(shù)中最讓學(xué)生弄不清楚的是定義域到底表達(dá)的含義是什么？筆者以上述從形象到抽象的具體表格，將問題的理解和思考達(dá)到了較為清晰的層面，這里感知——思考融合得非常完美，加深了學(xué)生對(duì)于抽象函數(shù)中定義域的理解；其次，整體思想的運(yùn)用，抽象函數(shù)中法則f（*）的理解，是學(xué)生并不到位的地方，只要在符號(hào)f（*）中，其所有的變量整體都是等價(jià)的，即表述的含義是能夠運(yùn)用此法則的變量，因此POE策略在這樣的教學(xué)中讓教學(xué)變得無(wú)比樸實(shí)、易于理解.

教學(xué)案例3：（1）函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于_________對(duì)稱.

（2）函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b，則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于_________對(duì)稱.

運(yùn)用POE教學(xué)策略研究：進(jìn)一步研究與抽象函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，我們不難發(fā)現(xiàn)這樣的性質(zhì)學(xué)生理解有困難，在實(shí)際問題的解決中也常常弄錯(cuò)，筆者提倡首先依舊是具體感知—思考分析—?dú)w納小結(jié)，這樣的過程加快了學(xué)生對(duì)抽象函數(shù)相關(guān)表達(dá)式的理解.

函數(shù)性質(zhì) 具體感知類比抽象再現(xiàn)f（a+x）=f（b-x）令f（x）=x2驗(yàn)證直線x=a+b 2對(duì)稱f（a+x）+f（a-x）=2b令f（x）=x驗(yàn)證點(diǎn)（a，b）對(duì)稱

有了上述具體模型，我們還可以這樣去引導(dǎo)學(xué)生理解：以f（a+x）=f（b-x）為例，令x1=a+x，x2=b-x，則f（x1）=f（x2），對(duì)任意的x進(jìn)行變換，可知自變量中點(diǎn)為不變量x=，又函數(shù)值f（x1）=f（x2），因此隨著x進(jìn)行變換，顯然f（x）關(guān)于.軸對(duì)稱成立.其余類似研究，不再贅述.

總之，POE是一種教學(xué)策略，主要是關(guān)乎形式化程度不高的中學(xué)生，其較為合適地將抽象和具象完美的融合策略，使得中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)獲得了一個(gè)比較完整的步驟.在每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)的背后，我們可以進(jìn)行足夠的感知和思考，進(jìn)而獲得歸納小結(jié)，這樣的知識(shí)學(xué)習(xí)過程符合課程理念的要求，形成了一套有效的學(xué)習(xí)模式.

1.任英杰.促進(jìn)學(xué)生“迷思概念”轉(zhuǎn)變的POE策略及案例分析［J］.基礎(chǔ)教育研究，2013（2）.

2.顧江鴻.預(yù)測(cè)—觀察—解釋——一種基于現(xiàn)代教育研究的演示策略［J］.教育科學(xué)研究，2009（5）.

3.趙國(guó)敏.概念轉(zhuǎn)變教學(xué)中POE策略的探索和嘗試［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（4）.