☉湖南省隆回縣第一中學(xué) 王一帆

類比中獲新知 應(yīng)用中顯能力
——從高中數(shù)學(xué)類比法解題談起

☉湖南省隆回縣第一中學(xué) 王一帆

在現(xiàn)行的高考制度下，高中數(shù)學(xué)學(xué)科具有十分重要的地位，學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力是數(shù)學(xué)教師和學(xué)生都關(guān)注的焦點(diǎn)；實(shí)踐表明，在高中數(shù)學(xué)各級(jí)各類質(zhì)量檢測(cè)中，解題能力強(qiáng)的學(xué)生都能取得較高的分?jǐn)?shù)；值得我們注意的是：數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用是提升數(shù)學(xué)解題能力的重要保障；類比是一種數(shù)學(xué)思維方式與解題思想，在高中數(shù)學(xué)中主要涉及“概念、結(jié)構(gòu)、次數(shù)、元數(shù)、方法”的類比，本文借助于典型案例的剖析，重點(diǎn)從“平面與空間、橢圓與雙曲線、低次與高次、少元與多元”等四個(gè)方面的類比進(jìn)行探究，充分展現(xiàn)類比法在高中數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)越性與實(shí)效性，僅供參考，若有不當(dāng)之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

一、平面與空間問(wèn)題的類比

在高中數(shù)學(xué)知識(shí)中，平面上涉及“點(diǎn)、線、面”，空間上涉及“線、面、體”，這些對(duì)應(yīng)的元素，往往存在一定的數(shù)學(xué)類比關(guān)系，也是專家進(jìn)行探究創(chuàng)新命題的素材；在幾何問(wèn)題中，出現(xiàn)一種新的題型：“根據(jù)平面幾何的性質(zhì)類比到空間問(wèn)題之中，猜想、探究空間結(jié)構(gòu)圖形中也滿足其性質(zhì)特點(diǎn)”.

例1 已知O為△ABC的內(nèi)切圓的圓心，AB=c，AC=b，BC=a，存在面積等量關(guān)系：S△OAB+S△OBC+S△OCA=S△ABC，則可得到△ABC的內(nèi)切圓半徑；若將此平面三角形幾何性質(zhì)類比至空間三棱錐問(wèn)題中，即在三棱錐DABC中，S△ABC=SD，S△BCD=SA，S△CDA=SB，S△DAB=SC，試求：三棱錐D-ABC的內(nèi)切球的半徑R的值.

剖析：平面三角形中，S△OAB+S△OBC+S△OCA=S△ABC，即，即；空間三棱錐中，令P為三棱錐的內(nèi)切球的球心，存在體積關(guān)系V三棱錐P-ABC+V三棱錐P-CDA+V三棱錐P-BCD+V三棱錐P-DAB=V三棱錐D-ABC，即，即R=

點(diǎn)評(píng)：本題是根據(jù)平面幾何中存在的性質(zhì)拓展類比至空間結(jié)構(gòu)中，給學(xué)生探索、猜想的平臺(tái)，題中主要是根據(jù)“平面中的面積和”與“空間中的體積和”進(jìn)行拓展類比，不僅考查學(xué)生類比聯(lián)想和空間想象的能力，更加注重學(xué)生邏輯推理和創(chuàng)新能力的考查與培養(yǎng)，符合新課改的主導(dǎo)思想.

二、橢圓與雙曲線問(wèn)題的類比

在高中數(shù)學(xué)解析幾何問(wèn)題中，橢圓和雙曲線是考查的重點(diǎn)之一，兩者之間存在一定的聯(lián)系與區(qū)別，若能搞清兩者之間的區(qū)別和聯(lián)系，有助于提升解決此類問(wèn)題的效率.

圖1

圖2

剖析：根據(jù)題意，構(gòu)建如圖2所示雙曲線，令∠F1PF2=θ，|PF1|=m，|PF2|=n，則存在m-n=2a，4c2=m2+n2-2mncosθ，則，則可得到雙曲線焦點(diǎn)三角形面積的計(jì)算公式為

點(diǎn)評(píng)：本題主要探究橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積問(wèn)題，橢圓中與雙曲線中兩個(gè)表達(dá)式結(jié)構(gòu)十分相似，充分說(shuō)明圓錐曲線中橢圓與雙曲線的本質(zhì)規(guī)律的一致性，本題側(cè)重于計(jì)算橢圓與雙曲線焦點(diǎn)面積公式形式上的類比，有助于提升學(xué)生的邏輯推理能力.

三、低次與高次問(wèn)題的類比

在高中數(shù)學(xué)的代數(shù)問(wèn)題中，不等式的性質(zhì)和不等式的應(yīng)用是高考的重要內(nèi)容之一，在含有字母參量的不等式中，若增加參量方根的次數(shù)可能會(huì)大大增加表達(dá)式的復(fù)雜性，但高中數(shù)學(xué)中的不等式問(wèn)題含有一定的規(guī)律性，這是值得大家注意的地方.

例3 高中數(shù)學(xué)不等式章節(jié)中存在這樣一個(gè)性質(zhì)：“兩個(gè)正數(shù)a、b的算術(shù)均值的平方小于等于其平方的算術(shù)平均值”，即且a=b時(shí)不等式中等號(hào)成立），其證明過(guò)程為，即可證明上述不等式性質(zhì)成立；若增加參量的次數(shù)為3時(shí)，請(qǐng)根據(jù)不等式特征進(jìn)行類比，寫出猜想的結(jié)論并加以證明.

剖析：根據(jù)參量次數(shù)是2時(shí)的特征，比較容易猜想次數(shù)為3時(shí)不等式性質(zhì)表示形式為R+且a=b時(shí)不等式中等號(hào)成立），則

點(diǎn)評(píng)：本題中含有正參量的不等式性質(zhì)直接源于課本中，多數(shù)學(xué)生十分熟悉，題設(shè)部分展示其證明過(guò)程，要求學(xué)生根據(jù)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行類比，推廣兩個(gè)參量的次數(shù)，可以得出結(jié)構(gòu)相似的新結(jié)論，題中已經(jīng)證明了次數(shù)為3時(shí)的正確性，對(duì)于心有余力的學(xué)生而言，這里可以進(jìn)一步拓展次數(shù)增加4、5、…時(shí)，得出的新結(jié)論是否正確，并加以邏輯證明.

四、少元與多元問(wèn)題的類比

不等式問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，不等式的考查形式呈現(xiàn)多樣化，不等式證明題是考查的重要形式之一，常規(guī)不等式題型中參量的元數(shù)通常是保持不變的，若增加參量的元數(shù)則難度加大，對(duì)學(xué)生的理解運(yùn)用能力要求高.

剖析：根據(jù)題設(shè)呈現(xiàn)的不等式中三元對(duì)應(yīng)三個(gè)具有“特色”分式形式，若由3個(gè)元數(shù)增加至4、5、6、…、n個(gè)元數(shù)時(shí)，不等式形式變?yōu)?此不等式證明如下：當(dāng)n=3時(shí)，根據(jù)題設(shè)信息可知成立，假設(shè)n=k（k≥3）時(shí)，不等式成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，存在不等式成立，則當(dāng)n≥3時(shí)，類比猜想的不等式成立.

點(diǎn)評(píng)：本題是基于不等式問(wèn)題，由三個(gè)字母參量的大小關(guān)系，得出“特殊”的分式不等式關(guān)系，再由三元拓展至多元，猜想得出新的不等式形式，采用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)猜想內(nèi)容進(jìn)行證明與驗(yàn)證，側(cè)重于考查學(xué)生拓展思維、猜想推理能力，在完成題目的一系列過(guò)程中體會(huì)類比思想方法在處理高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中的優(yōu)越性和獨(dú)特性，同時(shí)激發(fā)學(xué)生探索新知的欲望.

總之，數(shù)學(xué)思想方法是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要途徑，類比思想方法在解題中的有效運(yùn)用有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，讓學(xué)生在聯(lián)想、類比、拓展中不斷提升發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)“點(diǎn)→線→面→體”的逐步升華過(guò)程，感悟類比數(shù)學(xué)思想方法的“獨(dú)特”魅力.F