☉湖南省長沙市長郡中學(xué) 王小偉

提高數(shù)學(xué)整體與部分閱讀，妙解函數(shù)的數(shù)形結(jié)合問題

☉湖南省長沙市長郡中學(xué) 王小偉

數(shù)形結(jié)合法是高中數(shù)學(xué)常用的分析方法之一，也是高考必考內(nèi)容之一，但不少的學(xué)生在該知識點(diǎn)上卻得分較低，究其原因大多為讀圖、識圖、用圖能力較弱，無法實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化，無法準(zhǔn)確地完成對問題的閱讀.

數(shù)形結(jié)合法可從“線”與“點(diǎn)”兩個層面分析研究：

（1）“數(shù)形結(jié)合”指的是從整體角度利用函數(shù)圖像“線”分析函數(shù)的性質(zhì)及其他結(jié)論，利用數(shù)形結(jié)合法分析問題，教師一般都是從這個角度引導(dǎo)學(xué)生分析的.

（2）“以點(diǎn)為主”指的是從部分角度利用函數(shù)圖像“點(diǎn)”分析研究圖像上一些關(guān)鍵的點(diǎn)，達(dá)到分析的目的，這點(diǎn)容易被教師和學(xué)生忽視.

下面筆者就從高中數(shù)學(xué)在實(shí)際教學(xué)中的一些體會與做法以饗讀者，供大家批評與指正.

一、研究讀圖類型問題

圖1

例1 已知定義在區(qū)間［0，1］上的函數(shù)y=f（x）的圖像如圖1所示，對于滿足0＜x1＜x2＜1的任意x1，x2，給出下列結(jié)論：

①f（x2）-f（x1）＞x2-x1；

②x2f（x1）＞x1f（x2）；

其中正確結(jié)論的序號是________（把所有正確結(jié)論的序號都填上）.

解析：“數(shù)形結(jié)合”從整體角度利用函數(shù)圖像“線”分析函數(shù)的性質(zhì)不易獲得結(jié)論，我們可以利用“以點(diǎn)為主”從部分角度利用函數(shù)圖像“點(diǎn)”分析研究圖像上一些關(guān)鍵的點(diǎn).

由圖可知（0，0），（1，1）這兩點(diǎn)連線的斜率等于1，由（fx2）-（fx1）＞x2-x1，可得，即圖中任意兩點(diǎn)（x1，f（x1））與（x2，f（x2））連線的斜率大于1，顯然①不正確.

由x2（fx1）＞x1（fx2）得，即表示兩點(diǎn)（x，1f（x1）），（x2，f（x2））與原點(diǎn)連線的斜率的大小，可以看出結(jié)論②正確.

任意找兩點(diǎn)（x1，（fx1）），（x2，（fx2）），則表示兩點(diǎn)縱坐標(biāo)和的一半表示該兩點(diǎn)中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖像（圖2）容易判斷結(jié)論③是正確的.

圖2

答案：②③

二、研究超越類型問題

1.研究分段函數(shù)問題

A.（1，10）B.（5，6）

C.（10，12）D.（20，24）

分析：“數(shù)形結(jié)合”從整體角度利用函數(shù)圖像“線”繪出分段函數(shù)：（fx）=|lgx|，0＜x≤10與的圖像；再根據(jù)“以點(diǎn)為主”從部分角度利用函數(shù)圖像“點(diǎn)”分析研究圖像上一些關(guān)鍵的點(diǎn)：（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））.

解：先繪制分段函數(shù)的圖像，如圖3.

圖3

若a，b，c互不相等，不妨設(shè)a＜b＜c，因?yàn)閒（a）=f（b）=f（c），由圖像（圖4）可知0＜a＜1，1＜b＜10，10＜c＜12.

圖4

因?yàn)閒（a）=f（b），所以|f（a）|=|f（b）|，所以lga=-lgb，即，所以ab=1，所以10＜abc＜12.

2.研究超越函數(shù)、超越方程問題

例3已知函數(shù)f（x）=|x2-4x+3|.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；

（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=x至少有三個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：（1）“數(shù)形結(jié)合”從整體角度利用函數(shù)圖像“線”分析函數(shù)圖像翻折變換，“以點(diǎn)為主”從部分角度利用函數(shù)圖像“點(diǎn)”分析研究圖像上一些關(guān)鍵的點(diǎn)，函數(shù)f（x）=|x2-4x+3|的圖像是利用f（x）=x2-4x+3的圖像翻折得到的，翻折的關(guān)鍵先找到f（x）=x2-4x+3的圖像與x軸的交點(diǎn)及頂點(diǎn)進(jìn)行分析.（2）超越方程f（x）-a=x轉(zhuǎn)化成部分的兩個函數(shù)：f（x）=|x2-4x+3|與y=x+a.在函數(shù)f（x）=|x2-4x+3|的圖像的基礎(chǔ)上，分析直線y=x+a與f（x）=|x2-4x+3|的圖像幾個關(guān)鍵點(diǎn)：f（x）=x2-4x+3的圖像與x軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)，以及直線y=x+a與拋物線y=-x2+4x-3相切的切點(diǎn).

（1）遞增區(qū)間為［1，2］，［3，+∞），遞減區(qū)間為（-∞，1］，［2，3］.

圖5

（2）原方程變形為|x2-4x+3|=x+a，于是，設(shè)y=x+a，在同一坐標(biāo)系下再作出y=x+a的圖像，如圖5，則當(dāng)直線y=x+a過點(diǎn)（1，0）時，a=-1；當(dāng)直線y=x+a與拋物線y=-x2+4x-3相切時，由3x+a+3=0，由Δ=0得.由圖像知，當(dāng)時方程至少有三個不相等的實(shí)數(shù)根.

3.研究超越不等式問題

例4 當(dāng)x∈（1，2）時，不等式（x-1）2＜logax恒成立，求a的取值范圍.

分析：超越不等式（x-1）2＜logax轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)：y=（x-1）2與y=logax.從整體角度利用兩個函數(shù)圖像“線”進(jìn)行分析；再根據(jù)“以點(diǎn)為主”從部分角度利用函數(shù)圖像“點(diǎn)”分析研究圖像上一些關(guān)鍵的點(diǎn)：（1，0），（2，f（2））.

解：設(shè)y=（x-1）2與y=logax，要使當(dāng)x∈（1，2）時，不等式（x-1）2＜logax恒成立，只需y=（x-1）2在x∈（1，2）上的圖像在y=logax的下方即可.

當(dāng)0＜a＜1時，由圖像（圖6）知顯然不成立.

圖6

當(dāng)a＞1時，如圖6，要使在x∈（1，2）上，y=（x-1）2的圖像在y=logax的下方，只需（2-1）2≤loga2，推得1＜a≤2.

4.研究導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的數(shù)形結(jié)合問題

例5已知函數(shù)f（x）=x2+bsinx-2（b∈R），F(xiàn)（x）=f（x）+2，且對于任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x）-F（-x）=0.

（1）已知函數(shù)g（x）=f（x）+2（x+1）=alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

分析：導(dǎo)數(shù)在應(yīng)用中常見對函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)、方程根的個數(shù)的研究，一般這類問題均可將超越方程或函數(shù)，利用整體或部分思想閱讀并利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析.

方法一：整體思想閱讀：將“函數(shù)h（x）=ln（1+x2）-有幾個零點(diǎn)？”轉(zhuǎn)化成函數(shù)k與x軸的交點(diǎn)個數(shù).從整體角度利用函數(shù)h（x）=ln（1+x2）-圖像“線”分析圖像大致草圖；再根據(jù)“以點(diǎn)為主”從部分角度利用函數(shù)圖像“點(diǎn)”分析研究圖像上一些關(guān)鍵的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)的縱坐標(biāo)與x軸的關(guān)系.

方法二：部分思想閱讀：將“函數(shù)h（x）=ln（1+x2）-有幾個零點(diǎn)？”轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)y=k與y=ln（1+交點(diǎn)的個數(shù).從整體角度利用兩個函數(shù)圖像“線”分析；再根據(jù)“以點(diǎn)為主”從部分角度利用函數(shù)y=圖像“點(diǎn)”分析研究圖像上一些關(guān)鍵的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)與函數(shù)y=k圖像的交點(diǎn)的個數(shù).

解：（1）因?yàn)镕（x）=f（x）+2=x2+bsinx-2+2=x2+bsinx，依題意，對任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x）-F（-x）=0，即x2+bsinx-（-x）2-bsin（-x）=0，即2bsinx=0，所以b=0，所以f（x）=x2-2.

因?yàn)間（x）=x2-2+2（x+1）+alnx，即g（x）=x2+2x+alnx，所以

因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間（0，1）上恒成立.

所以a≤-（2x2+2x）在（0，1）上恒成立.

而-（2x2+2x）在（0，1）上單調(diào)遞減，所以a≤-4為所求.

當(dāng)x＜-1時，h′（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜0時，h′（x）＜0；當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，h′（x）＜0.

如圖（圖7）可知：

④當(dāng)k=1時，函數(shù)有三個零點(diǎn).

圖7

當(dāng)x＜-1時，y′＞0；當(dāng)-1＜x＜0時，y′＜0；當(dāng)0＜x＜1時，y′＞0；當(dāng)x＞1時，y′＜0.

如圖（圖8）可知：

圖8

④當(dāng)k=1時，函數(shù)有三個零點(diǎn).

三、體會與反思

通過以上可知函數(shù)的圖像法：大體上可以根據(jù)“數(shù)形結(jié)合，以點(diǎn)為主”兩個分析層面：

“數(shù)形結(jié)合”從整體角度利用函數(shù)圖像“線”分析函數(shù)的性質(zhì)以及其他結(jié)論；

“以點(diǎn)為主”從部分角度利用函數(shù)圖像“點(diǎn)”分析研究圖像上一些關(guān)鍵的點(diǎn)，達(dá)到分析的目的.F