☉江蘇省錫東高級(jí)中學(xué) 葉 琳

合理利用波利亞解題模型于解題教學(xué)

☉江蘇省錫東高級(jí)中學(xué) 葉 琳

數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)是提高數(shù)學(xué)解題能力，學(xué)生解題能力的強(qiáng)弱很大程度上決定了數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的高低，因此提高學(xué)生解題能力這一任務(wù)應(yīng)該貫穿于教學(xué)始終，它是一項(xiàng)長期復(fù)雜的系統(tǒng)工程.筆者結(jié)合備課組的教學(xué)模式，嘗試將波利亞的解題表具體化到可操作的步驟：讀題分析、提取組合、解題反思，并付諸于教學(xué)實(shí)踐，提高學(xué)生的解題能力.

波利亞的數(shù)學(xué)解題思想表現(xiàn)在解題表上：“第一，你必須弄清問題.第二，擬定計(jì)劃，找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系.第三，實(shí)現(xiàn)你的計(jì)劃.第四，回顧檢查所得到的解.”它站在系統(tǒng)的高度給出了求解問題一般的步驟，在教學(xué)中我們從“讀題分析—有效提取—探索—解題反思”幾個(gè)步驟來訓(xùn)練提高學(xué)生的解題能力.

一、生成合理的問題表征，引導(dǎo)學(xué)生分析

審題就是弄清問題，了解題意的過程，也是對(duì)問題進(jìn)行表征的過程.解題教學(xué)的關(guān)鍵是指導(dǎo)幫助學(xué)生恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行問題表征，尋找解題突破口，可以從以下幾個(gè)方面著手：①要將題目轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)題目，比如實(shí)際問題（像應(yīng)用題），要從題目中大量的文字語言描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言描述出來.②列出題目中所給出的條件和要求，條件包括題目中給出的數(shù)據(jù)、等量關(guān)系、函數(shù)的模型等，還包括已有的公式、原理等；要求是指題目的問題，需要達(dá)到的目標(biāo).③搜索縮小條件和要求的范圍.在明確條件和問題后，結(jié)合已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，確定判斷題目條件和問題中所涉及的知識(shí)點(diǎn)，可以用什么方法或者技能來解決.

案例（一）學(xué)生的讀題審題訓(xùn)練

圖1

例1 如圖1，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動(dòng)點(diǎn)P在△BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），設(shè)，則α+β的取值范圍是_________.

讀題分析：（1）本題目本身就是數(shù)學(xué)語言闡述的題目，故不需要將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

（2）條件有5個(gè)：“直角梯形ABCD”，“AB⊥AD”，“AD=DC=1，AB=3”，“P在△BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界）”，“；問題：求“α+β”的取值范圍.

（3）在明確條件和問題之后，開始判斷它們的范圍，“點(diǎn)P在△BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)”，即點(diǎn)P的范圍在三角形內(nèi)，可能要用到線性規(guī)劃來解決.

在實(shí)際教學(xué)過程中，我要求學(xué)生在讀題時(shí)養(yǎng)成把題目條件圈出來的習(xí)慣，考試或者解題時(shí)很多學(xué)生讀題很馬虎，讀題時(shí)一目十行，題目還沒看完就下筆去做，結(jié)果不是條件漏看了就是看錯(cuò)了，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.讀題時(shí)圈出條件，視覺感知變得強(qiáng)烈起來，第二遍讀題或者審題時(shí)可以關(guān)注圈出來的條件，減少審題馬虎導(dǎo)致的錯(cuò)誤.

在教學(xué)實(shí)踐中筆者發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生在讀題階段出現(xiàn)以下問題：①數(shù)學(xué)專有名詞理解困難.如求導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)，學(xué)生不知道極值點(diǎn)是什么意思；再如利用“二分法”求方程的近似解，有的學(xué)生都不知道二分法是什么.②問題結(jié)構(gòu)不清楚，信息識(shí)別能力低.有的學(xué)生對(duì)題目的表述不清楚，不能形成完整的問題空間，或者只知道問題的總體結(jié)構(gòu)，但是不知道條件和問題分別是什么.

這是高三一輪復(fù)習(xí)“基本不等式”中的一道填空題，當(dāng)時(shí)難倒了很多同學(xué)，有的同學(xué)讀題時(shí)就卡住了，不理解h的含義，它表示什么都不清楚，有的同學(xué)想到了本題是關(guān)于a，b的二元變量問題，可能要用到基本不等式，但是不知道條件是什么.這些都是因?yàn)閷W(xué)生受到數(shù)學(xué)語言的影響，不能正確地理解數(shù)學(xué)符號(hào)及模型與它們所表述的問題中的量之間的關(guān)系.

學(xué)生解題的能力與學(xué)生對(duì)問題的熟悉程度有關(guān)，這取決于他所具有的知識(shí)基礎(chǔ)和相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn)，如果他能夠用先前的知識(shí)合理地表征當(dāng)前的問題，或者在以往的經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)一個(gè)類似的問題，那么解決問題的可能性就比較大了.

二、有效提取組合，擬定解題方案

探索解題的途徑擬定解題方案是解題中最重要也是最困難的環(huán)節(jié)，可能這個(gè)環(huán)節(jié)它用時(shí)最多，而且在實(shí)施方案過程中發(fā)現(xiàn)它是錯(cuò)誤的或者太繁，那么又要重新擬定新的解題方案.最為關(guān)鍵的是在每次探索過程失敗了，又要重新回到審題階段，找出失敗原因所在，重新提取組合，擬定方案.在整個(gè)解題過程中審題與擬定解題方案是緊密相連難以分開的，即審題中需要擬定方案，擬定方案中需要進(jìn)一步審題.

在嘗試?yán)貌ɡ麃喗忸}模式解題時(shí)，學(xué)生嘗試這樣的解題步驟：①讀題的同時(shí)圈條件，將文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，列出條件和問題；②讀題以后，你馬上想起的數(shù)學(xué)知識(shí)有哪些？你從已知、題設(shè)能想到什么，從結(jié)論中考慮需要什么信息，這兩者如何產(chǎn)生火花？

后面的思考有幾條常見的解題途徑（按順序）：

途徑1：“問題直接可以用定義、公式、定理求解”，把握題目的信息后，通過對(duì)問題表征的觀察，直接可以用相關(guān)的公式、定理、公理解決問題，或者從中挖掘符號(hào)、圖形、數(shù)量等信息，找到解題思路的突破口.

途徑2：在腦海里尋找相同的或者類似的題目，化新問題為已知問題.進(jìn)入審題環(huán)節(jié)后，能否找出與新問題相關(guān)的問題或者題目類型，或者是相類似的問題，這里的相似可以是題目背景的相似，也可以是問題的闡述相似，或者是隱含的模型相似抑或問題的解法相似.因此掌握基本題型是有必要的，只有掌握了一些典型例題，在解決新問題時(shí)才容易找到化歸的方向.研究表明，學(xué)生類比聯(lián)想問題識(shí)別能力對(duì)學(xué)生的解題有很大的影響，可能會(huì)影響學(xué)生的解題速度，影響尋找策略和實(shí)施策略環(huán)節(jié).

途徑3：多步化歸，改變表述方法.數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)之一是相互之間有著廣泛的聯(lián)系，面對(duì)復(fù)雜難題時(shí)已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)找不到相應(yīng)的或者類似的模型，這時(shí)可以利用等價(jià)條件代換題設(shè)或者結(jié)論，嘗試去重新構(gòu)造問題，組織問題，轉(zhuǎn)化為一個(gè)可能相關(guān)的問題或者熟悉的問題，再進(jìn)行解題.在讀題分析的過程中，筆者讓學(xué)生說出解題過程中遇到困惑的地方，在思考過程中哪里出現(xiàn)了思路中斷或思路受阻，受到阻礙的原因是什么.解題結(jié)束后老師和學(xué)生一起分析、回顧解題中零星的想法和凌亂的解題思路，揭示解題的盲點(diǎn)，尋找繞過障礙的道路，找到出路.

案例（二）一次作業(yè)講評(píng)課片斷

在實(shí)施這樣的解題步驟的過程中，班級(jí)學(xué)生由不習(xí)慣到慢慢適應(yīng)，在課堂教學(xué)中思維也漸漸活躍起來，一次的習(xí)題講評(píng)課讓我至今記憶猶新！實(shí)錄如下：

如圖2放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D分別在x軸，y軸正半軸上（含原點(diǎn)）滑動(dòng)，則的最大值是_____________.

x A B C D O y

筆者在呈現(xiàn)出題目后，找學(xué)生起來讀題，學(xué)生分析完條件后給出了自己的思路：“老師我用平面向量基本定理做的由得到，其中α是與的夾角，故得到最大值為2.

筆者：很好，小Z同學(xué)從結(jié)論出發(fā)利用向量基本定理來處理這個(gè)問題，過程嚴(yán)謹(jǐn)，表述規(guī)范，是同學(xué)們學(xué)習(xí)的榜樣！

話音剛落，教室里討論聲響起來，男生小H站起來：“老師她的解法煩瑣了，我是用平面幾何做的，不要太省力哦.”

這樣的百家爭鳴的場(chǎng)景正是筆者需要的.

筆者：“真的嗎？你說說你是怎么做的？”

小H：“過B，C分別作x軸，y軸的垂線交并于M，N兩點(diǎn)，設(shè)AO=a，OD=b可以證明△AOD，△BAM，△BAM全等，所以O(shè)D=AM=CN，OA=DN=BM，設(shè)B（a+b，a），C（b，a+b），所以b（a+b）+a（a+b）=a2+b2+2ab，又最大值是2.

圖3

此時(shí)小M舉手示意：“老師，我是用矩陣變換做的！”

“矩陣變換也可以做？”不少同學(xué)露出驚訝的表情，（矩陣變換是附加里面的內(nèi)容）.筆者也拿不準(zhǔn)思路究竟對(duì)不對(duì)，就讓學(xué)生繼續(xù)往下說，設(shè)A（a，0），D（0，b），則可以看成繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，求得B的坐標(biāo)后，再同理求C的坐標(biāo)，最后用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得答案.下面不由自主地響起了掌聲.

課后筆者感慨頗多，如果我們的課堂都能像這節(jié)課一樣，各種解法百花齊放，每個(gè)學(xué)生都會(huì)在這節(jié)課學(xué)到很多，在教學(xué)活動(dòng)中老師充分展示學(xué)生的思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神和探索精神，當(dāng)然教師的引領(lǐng)十分重要，對(duì)于學(xué)生易混淆的問題，要通過變式問題不斷強(qiáng)化，不斷練習(xí)，讓學(xué)生來領(lǐng)悟其中的解題奧妙，學(xué)會(huì)從多角度思考問題的方法.

三、適時(shí)解題回顧與反思，溫故而知新

波利亞說：“想要從解題中得到最大的收獲，應(yīng)當(dāng)深入理解如何解題的，思考是否還有更簡單的解題方法？如何克服障礙？本問題中是否隱含重要的思想方法等等.”現(xiàn)在很多學(xué)生迫于升學(xué)的壓力，整天在做大量的試卷中度過，但多數(shù)學(xué)生對(duì)解題過程的認(rèn)識(shí)仍處于感性階段，解題追求數(shù)量的積累，以為數(shù)學(xué)多做題，能力就能提高，但是解題量的積累沒有促使質(zhì)的轉(zhuǎn)變，最關(guān)鍵的是他們少了反思、回顧的過程，沒有反思就沒有總結(jié)就談不上提高.

筆者對(duì)班里數(shù)學(xué)較好的學(xué)生做了一次訪談，訪談中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)好的同學(xué)做完題目后，很多也是把題目丟到一旁，去找別的事做，很少去回顧過程.在一開始提出回顧反思這個(gè)話題時(shí)很多同學(xué)不知道怎么反思，筆者引導(dǎo)學(xué)生解題結(jié)束首先回顧解本題用到哪些知識(shí)，什么解題方法，其次一定要回顧本題的解題方法是什么，解題過程中走了哪些彎路，在哪里遇到了什么困惑，如何處理的等等.

回顧不光是回顧解題成功的經(jīng)驗(yàn)，更要反思解題失敗的教訓(xùn)，找出犯錯(cuò)的根源，每個(gè)學(xué)生都有過這樣的體驗(yàn)——遇到難題時(shí)自己百思不得其解，而同伴或者老師稍加指點(diǎn)便想到了解題思路，而且解法不是很難.其實(shí)數(shù)學(xué)問題的解決往往在一個(gè)“思維點(diǎn)”上，這個(gè)思維點(diǎn)一旦突破，問題自然迎刃而解.通過解題反思可以梳理解題過程，突破自己的解題障礙，久而久之，就可以總結(jié)出帶有規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)，可以是解題策略，解題元認(rèn)知知識(shí)等等，它們都是今后解題的經(jīng)驗(yàn)指南.