戴安妮

(江蘇省淮陰中學(xué)高二8班，江蘇 濰安 223000)

高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型及解題技巧

戴安妮

(江蘇省淮陰中學(xué)高二8班，江蘇 濰安 223000)

高中階段是為高考打基礎(chǔ)的三年，而不等式在高考的數(shù)學(xué)科目中占據(jù)了重要的地位.在高考的考點(diǎn)中，就分布著不等關(guān)系與不等式、一元二次不等式及其解法、簡單的線性規(guī)劃、基本不等關(guān)系、不等式的綜合應(yīng)用和不等式的證明這六個(gè)考點(diǎn).在它們之中，萬變不離其宗的就是不等式.但是我們高中生在不等式方面卻很難拿分，通過調(diào)查，我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們面臨著不會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，不會(huì)靈活運(yùn)用均值不等式等問題.本文通過解析高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型和解題技巧，來幫助同學(xué)梳理不等式的學(xué)習(xí)方法.

高中數(shù)學(xué)，不等式，定義域，數(shù)形結(jié)合，均值不等式

不等式在高考中占據(jù)重要地位，很多大題中也融合了不等式思想，但我們的同學(xué)往往因?yàn)椴坏仁浇忸}思想不明了，解題脈絡(luò)不清晰而在求解不等式步驟中阻滯不前，從而放棄整道大題的分值.也有同學(xué)因此對(duì)不等式望而卻步，認(rèn)為太復(fù)雜了，自己肯定學(xué)不會(huì)，干脆放棄不等式方面的學(xué)習(xí).

但這樣會(huì)直接導(dǎo)致一些容易拿的分的無意義流失.其實(shí)，結(jié)合我自身的經(jīng)驗(yàn)，只要理清方法，抓住易錯(cuò)題型和解題技巧，不等式并不難.

一、忽視函數(shù)定義域或取值范圍

在解題時(shí)，同學(xué)常犯的一個(gè)典型錯(cuò)誤就是忽略題干給出的函數(shù)的定義域，變量的取值范圍，或者忘記函數(shù)本身的性質(zhì)，忽略函數(shù)本身有意義時(shí)的存在條件，從而導(dǎo)致做題出現(xiàn)偏差.

因此，我們解題時(shí)一定要牢記幾個(gè)基本函數(shù)的定義域：分?jǐn)?shù)的分母不能為零；偶次方根底數(shù)大于等于零；零的零次方無意義，若有x0，則x不等于零；對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1，真數(shù)大于0；指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1.

以上這些內(nèi)容一般都隱含在數(shù)學(xué)題之中，通常都是由于每個(gè)小點(diǎn)知識(shí)自身具有的一些性質(zhì)，這是我們高中生解題時(shí)必須要考慮到的問題.這些問題屬于解題之中的一些細(xì)枝末節(jié)，但正是這些細(xì)枝末節(jié)，可以檢查出我們高中生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解以及應(yīng)用程度.因此，我們高中生在解函數(shù)與不等式相結(jié)合的數(shù)學(xué)題時(shí)，除了要注重對(duì)題干進(jìn)行透徹分析之外，還要重視函數(shù)自身定義域以及取值范圍.

二、不會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

很多同學(xué)在面對(duì)看似無法運(yùn)算的題型時(shí)，感到十分棘手，不知道從何下手.我之前也出現(xiàn)這種情況，但隨著做題量的增多，我發(fā)現(xiàn)這種題型可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.概括來講，數(shù)形結(jié)合思想解題基本運(yùn)用了“由形化數(shù)”“由數(shù)化形”“數(shù)形轉(zhuǎn)換”這三種解題思路和方法.而轉(zhuǎn)換數(shù)與形也有三條基本的途徑：①建立坐標(biāo)系，化靜為動(dòng)，更加直觀；②轉(zhuǎn)化，換角度思考，不在一條路上鉆牛角尖；③構(gòu)造，在本來沒有的基礎(chǔ)上構(gòu)造函數(shù)或者幾何圖形.

通常來說，在不等式中，數(shù)形結(jié)合思想通常運(yùn)用在求參數(shù)的取值范圍或者解不等式上，這樣可以使得原本較為抽象的知識(shí)具體化，并且在解題時(shí)可以非常直觀地獲得答案，降低解題的錯(cuò)誤率.在面對(duì)這兩類問題時(shí)，如果同學(xué)感到?jīng)]有頭緒，不妨運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.

答案 (-∞，0].

三、不會(huì)運(yùn)用均值不等式

它具有的注意點(diǎn)：

(1)求最值的條件“一正二定三相等”

一正：A、B必須都是正數(shù)；

二定：積定和最小、和定積最大；

三相等：當(dāng)且僅當(dāng)A、B相等時(shí)，等式成立，

(2)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，可以求它們的積的最小值，所謂“積定和最小，和定積最大”

下面來解析具體題型：

1.求值域

技巧一：湊項(xiàng)

例1 已知x<5/4，求函數(shù)y=(4x-2)+1/(4x-5)的最大值.

解 因4x-5<0，所以首先要“變號(hào)”，又(4x-2)+1/(4x-5)不是常數(shù)，所以對(duì)(4x-2)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng).

因?yàn)閤<5/4，所以5-4x>0，所以y=(4x-2)+1/(4x-5)=-[(5-4x)+1/(5-4x)]+3≤-2+3=1

當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=1/(5-4x)，即x=1時(shí)，上述等號(hào)成立，故當(dāng)x=1時(shí)，y最大值=1

評(píng)注 本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值.

技巧二：減系數(shù)

例2 當(dāng)0

解析:由00，根據(jù)注意點(diǎn)一可知，此題雖為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值.但是我們可以清楚2x+(8-2x)為定值，故只需將y=x(8-2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可,y=x(8-2x)=1/2[2x(8-2x)]≤1/2[(2x+8-2x)/2]2=8,

當(dāng)2x=8-2x，即x=2時(shí)取等號(hào).

當(dāng)x=2時(shí)，y=x(8-2x)的最大值為8.

技巧三：換元

在面對(duì)看似無法運(yùn)算的不等式時(shí)，可先換元，將t帶入，化簡原式之后分離求值.

在針對(duì)函數(shù)求值域這一類問題來看，我們可以通常采用三種方法來解題，湊項(xiàng)、減系數(shù)以及換元這三種方法都是我們常用的方法.其中湊項(xiàng)以及減系數(shù)這兩種方法是我們?cè)诮忸}期間常考慮到的兩種方法，但其應(yīng)用范圍有限，有一些題型應(yīng)用這兩種方法不一定能解出來.然而，換元這一方法使用的范圍較廣，我們高中生在沒有解題思路時(shí)可以直接這種方法來進(jìn)行解題，進(jìn)而尋找解題思路.

2.求最值

在利用均值不等式求最值時(shí)通常有以下幾種情況：求幾個(gè)正數(shù)和的最小值，求幾個(gè)正數(shù)積的最大值，根據(jù)均值不等式判斷最值符號(hào)是否成立，帶條件求最值.

例3 若x，y∈R+，求f(x)=x+(4/x)(0

解法一 (數(shù)形結(jié)合)由函數(shù)f(x)=ax+(b/x)(a，b>0)圖象及性質(zhì)知，當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，函數(shù)f(x)=x+4/x是減函數(shù).

證明 任取x1,x2∈(0,1]且0

解法二 (導(dǎo)數(shù)法)由f(x)=x+4/x得f’(x)=1-4/x2，當(dāng)x屬于(0,1]時(shí)f’(x)=1-4/x2<0

則函數(shù)f(x)=x+4/x在(0,1]上是減函數(shù)，故當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=x+4/x在(0,1]上有最小值5

解法三 (拆分法)f(x)=x+4/x(0

當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立，故此函數(shù)最小值是5

這三種解法都可以得到正確的答案，對(duì)于同一題型，我們高中生可以分別從這三個(gè)不同的角度來進(jìn)行解題.這三種解法分別從數(shù)形結(jié)合、導(dǎo)數(shù)法以及拆分法三個(gè)角度進(jìn)行解題.從這三個(gè)解題方法可以看出，導(dǎo)數(shù)法以及數(shù)形結(jié)合這兩種方法通常對(duì)于我們高中生來說在解題期間比較常用，而拆分法這種形式來看，其方法固然簡單，但是我們?cè)诓鸱謺r(shí)不容易想到將原來的算式拆分成哪幾項(xiàng)，如果拆分的不對(duì)，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，在求解此類問題，要在確?；驹瓌t的同時(shí)，靈活選用方法.

不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，也是我們高考考生拿分的必備基礎(chǔ)知識(shí).我們?cè)诿鎸?duì)不等式時(shí)，要保持思維的冷靜和縝密，不要自亂陣腳.梳理出所屬題型和所要用的解題方法和思路，然后順藤摸瓜，一步步地理清脈絡(luò)，逐步解開題.同時(shí)，在讀題時(shí)一定要細(xì)心冷靜，不能忽略題干中的關(guān)鍵信息，一旦忽略就可能讓有把握的題做錯(cuò)，從而讓分?jǐn)?shù)無意義流失.不等式的掌握是一個(gè)漫長又需要細(xì)心和耐心的過程，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)不能氣餒，一旦掌握就能舉一反三，靈活運(yùn)用.

[1]張惠淑.高中數(shù)學(xué)不等式高考試題分析與教學(xué)策略研究[D].天津師范大學(xué),2012.

[2]錢煜.基于高考試題的高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)研究[D].天津師范大學(xué)，2014.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

戴安妮(2000.7-)，女，江蘇淮安人，高中學(xué)生.

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