歐陽通

【摘 要】伯努利試驗是概率論的一個重點內容，很多學生不理解其所對應的二項概率公式的內涵，只能夠依葫蘆畫瓢。本文從獨立學院的教學實踐出發(fā)，引導學生理解公式，運用公式解決實際問題。

【關鍵詞】伯努利試驗；二項概率公式；應用

伯努利試驗是概率論中一個重要的內容， 它是有關事件獨立性的一個固化了的數(shù)學模型，有著廣泛的實際應用，對生產生活有一定的指導意義。因此，有必要進行深入淺出的探討。本文結合教學實踐，選取貼近生活的事例，對伯努利試驗及其概率計算公式的引入和應用進行探究。

一、創(chuàng)設情境，引入概念

給出與實際相關的例子比直接告訴模型和公式更容易激發(fā)學生的學習興趣，由易及難，由特殊推廣到一般，在解題的過程中找到一般規(guī)律。

引例：某人射擊，長期來看他的命中率為0.7，比賽時重復射擊3次，求恰好命中2次的概率。

先進行情境分析：

1.每次射擊之間沒有影響，即相互獨立；

2.射擊結果只有兩個：命中、未命中；

3.每次射擊命中的概率為0.7。

引例講解：

先記所求事件={恰有2次射擊命中}，哪2次射擊命中并不確定，不妨記A ={第i次射擊命中}，i=1，2，3。故事件B=A A ∪A A ∪ A A ，且這三個事件是互斥的。每次射擊相互獨立，所以P（A ）=0.7，P（A ）=0.3。由概率的可列可加性和事件獨立性的性質有：

P（B ）=P（A A ）+P（A A ）+P（ A A ）

=P（A ）P（A ）P（ ）+P（A ）P（ ）P（A ）+P（ ）P（A ）P（A ）

=0.7×0.7×0.3+0.7×0.3×0.7+0.3×0.7×0.7

=3×0.7 ×0.3

從解題過程中我們可以看到，事件的三種情況的概率是相等的，故可以從組合的角度去理解：從三次射擊中選取兩次射擊是命中的，故有種情況；每種情況的概率相等，均為0.7 ×0.3，表示兩次命中，一次沒有命中。從而，（1）式可以表示成C ×0.7 ×0.3。

進一步拓展：如重復射擊n次，命中率為p，恰好命中k次的概率如何求解？

由引例，即可以推廣為：C p （1-p） 。

進一步引導：

（1）引例中射擊試驗具有幾個特征？

答：a.每次射擊之間沒有影響，即相互獨立；

b.射擊結果只有兩個：命中、未命中；每次射擊命中的概率不變

（2）可不可以把射擊試驗改為其它具有此類特征的試驗？

答：當然可以，只是換了個名字而已，本質未變。例如：拋硬幣試驗：每次拋硬幣相互獨立，拋硬幣的結果只有正面和反面兩種結果。

經(jīng)過層層引導之后，將滿足上述兩個特征的這類試驗抽象出來，得到一個試驗模型——n重伯努利試驗；以及引導出其對應的二項概率公式。

二、伯努利試驗及二項概率公式

定義：設隨機試驗滿足：

◆試驗條件相同，重復獨立試驗n次；

◆每次試驗只有兩個可能的結果：A，A，P（A）=p，0

定理：在伯努利概型中，若一次試驗事件A發(fā)生的概率為p（0

三、模型的應用

例：有一批棉花種子，其出苗率為0.8，現(xiàn)每穴種4粒種子，求恰有2粒出苗的概率。

分析：把種一粒種子當成一次試驗，每粒種子出苗與否是相互獨立的；每次試驗的結果只有兩種：出苗、未出苗，所以該試驗為4重伯努利試驗。

故：n=4，p=0.8，q=1-p=0.2

p （2）=C p q =C 0.8 x0.2

=0.1536

四、總結

伯努利試驗的兩個條件是缺一不可的，在利用其概率計算公式時，首先要判斷試驗是否屬于伯努利試驗，如果是才能使用二項概率公式，否則出錯！

【參考文獻】

[1]柴根象，蔣鳳瑛，楊筱菡.概率統(tǒng)計簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2012