歐陽通
【摘 要】伯努利試驗是概率論的一個重點內容,很多學生不理解其所對應的二項概率公式的內涵,只能夠依葫蘆畫瓢。本文從獨立學院的教學實踐出發(fā),引導學生理解公式,運用公式解決實際問題。
【關鍵詞】伯努利試驗;二項概率公式;應用
伯努利試驗是概率論中一個重要的內容, 它是有關事件獨立性的一個固化了的數(shù)學模型,有著廣泛的實際應用,對生產生活有一定的指導意義。因此,有必要進行深入淺出的探討。本文結合教學實踐,選取貼近生活的事例,對伯努利試驗及其概率計算公式的引入和應用進行探究。
一、創(chuàng)設情境,引入概念
給出與實際相關的例子比直接告訴模型和公式更容易激發(fā)學生的學習興趣,由易及難,由特殊推廣到一般,在解題的過程中找到一般規(guī)律。
引例:某人射擊,長期來看他的命中率為0.7,比賽時重復射擊3次,求恰好命中2次的概率。
先進行情境分析:
1.每次射擊之間沒有影響,即相互獨立;
2.射擊結果只有兩個:命中、未命中;
3.每次射擊命中的概率為0.7。
引例講解:
先記所求事件={恰有2次射擊命中},哪2次射擊命中并不確定,不妨記A ={第i次射擊命中},i=1,2,3。故事件B=A A ∪A A ∪ A A ,且這三個事件是互斥的。每次射擊相互獨立,所以P(A )=0.7,P(A )=0.3。由概率的可列可加性和事件獨立性的性質有:
P(B )=P(A A )+P(A A )+P( A A )
=P(A )P(A )P( )+P(A )P( )P(A )+P( )P(A )P(A )
=0.7×0.7×0.3+0.7×0.3×0.7+0.3×0.7×0.7
=3×0.7 ×0.3
從解題過程中我們可以看到,事件的三種情況的概率是相等的,故可以從組合的角度去理解:從三次射擊中選取兩次射擊是命中的,故有種情況;每種情況的概率相等,均為0.7 ×0.3,表示兩次命中,一次沒有命中。從而,(1)式可以表示成C ×0.7 ×0.3。
進一步拓展:如重復射擊n次,命中率為p,恰好命中k次的概率如何求解?
由引例,即可以推廣為:C p (1-p) 。
進一步引導:
(1)引例中射擊試驗具有幾個特征?
答:a.每次射擊之間沒有影響,即相互獨立;
b.射擊結果只有兩個:命中、未命中;每次射擊命中的概率不變
(2)可不可以把射擊試驗改為其它具有此類特征的試驗?
答:當然可以,只是換了個名字而已,本質未變。例如:拋硬幣試驗:每次拋硬幣相互獨立,拋硬幣的結果只有正面和反面兩種結果。
經(jīng)過層層引導之后,將滿足上述兩個特征的這類試驗抽象出來,得到一個試驗模型——n重伯努利試驗;以及引導出其對應的二項概率公式。
二、伯努利試驗及二項概率公式
定義:設隨機試驗滿足:
◆試驗條件相同,重復獨立試驗n次;
◆每次試驗只有兩個可能的結果:A,A,P(A)=p,0
定理:在伯努利概型中,若一次試驗事件A發(fā)生的概率為p(0
三、模型的應用
例:有一批棉花種子,其出苗率為0.8,現(xiàn)每穴種4粒種子,求恰有2粒出苗的概率。
分析:把種一粒種子當成一次試驗,每粒種子出苗與否是相互獨立的;每次試驗的結果只有兩種:出苗、未出苗,所以該試驗為4重伯努利試驗。
故:n=4,p=0.8,q=1-p=0.2
p (2)=C p q =C 0.8 x0.2
=0.1536
四、總結
伯努利試驗的兩個條件是缺一不可的,在利用其概率計算公式時,首先要判斷試驗是否屬于伯努利試驗,如果是才能使用二項概率公式,否則出錯!
【參考文獻】
[1]柴根象,蔣鳳瑛,楊筱菡.概率統(tǒng)計簡明教程[M].北京:高等教育出版社,2012