李焱

摘 要：對(duì)于初中數(shù)學(xué)科目的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，數(shù)形結(jié)合思維在許多題目的解答中很常見。顧名思義，數(shù)形結(jié)合就是開拓思維、另辟蹊徑，通過(guò)將“數(shù)”和“形”這兩種要素結(jié)合到一起，綜合把握題目所給的條件，深入分析問(wèn)題、簡(jiǎn)化解題思路的方法。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；教學(xué)策略

對(duì)于初中數(shù)學(xué)科目的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，數(shù)形結(jié)合在許多題目的解答中非常常見。顧名思義，數(shù)形結(jié)合就是開拓思維、另辟蹊徑，通過(guò)將“數(shù)”和“形”這兩種要素結(jié)合到一起，綜合把握題目所給的條件，深入分析問(wèn)題、簡(jiǎn)化解題思路的方法。數(shù)形結(jié)合作為一種應(yīng)用廣泛且難度較大的數(shù)學(xué)方法，在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中占據(jù)著極為重要的地位。對(duì)于初中數(shù)學(xué)老師來(lái)說(shuō)，教導(dǎo)學(xué)生掌握好數(shù)形結(jié)合的方法，不但可以做到以“數(shù)”解“形”，通過(guò)代數(shù)知識(shí)深入理解題目圖形所表達(dá)出的數(shù)量關(guān)系，而且可以做到以“形”解“數(shù)”，通過(guò)圖形模型化抽象為形象，從而降低純粹代數(shù)方法解題的難度。

一、以“數(shù)”解“形”

1.以“數(shù)”解數(shù)軸問(wèn)題

數(shù)軸本來(lái)就是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物?！皵?shù)”和“形”的關(guān)系通過(guò)數(shù)軸表現(xiàn)為每個(gè)點(diǎn)的實(shí)數(shù)顯示和位置顯示?！皵?shù)”和“形”在數(shù)軸上的統(tǒng)一為數(shù)形結(jié)合、簡(jiǎn)化求解提供了極大便利。因此，有些時(shí)候以“數(shù)”解數(shù)軸問(wèn)題，可以彌補(bǔ)學(xué)生在空間思維上的不足，將距離的運(yùn)算或者式子的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算。比如，在計(jì)算數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)間距離時(shí)，通常以“數(shù)”解“形”，采用兩點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相減的方式求解。再比如，給出數(shù)軸上M、N的圖形表示，然后根據(jù)M、N的位置關(guān)系判斷一個(gè)式子（如2M+N）的正負(fù)或者比較兩個(gè)式子（如比較2M+N與2N+M）的大小。

2.以“數(shù)”解圖形面積

以“數(shù)”解圖形面積是幾何中常見的一種解題方法，這種方法主要依靠建立坐標(biāo)系來(lái)完成。在坐標(biāo)系中，點(diǎn)通過(guò)二維或者三維坐標(biāo)來(lái)確定，線段通過(guò)兩點(diǎn)之間的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)表示，而圖形面積可以通過(guò)特定線段（長(zhǎng)、寬、高等）長(zhǎng)度的運(yùn)算來(lái)求得。舉個(gè)簡(jiǎn)單例子，在坐標(biāo)系中求解三角形的面積。根據(jù)面積公式，三角形的面積等于底乘高除以2。所以，首先要在坐標(biāo)系中找到組成“底”的兩點(diǎn)，確定坐標(biāo)，并求出線段長(zhǎng)度；然后在坐標(biāo)系中作出底邊上的高，找到組成“高”的兩點(diǎn)，并求出線段長(zhǎng)度；最后套用三角形面積公式，就可解出題目。

二、以“形”解“數(shù)”

1.以“形”解不等式

以“形”解“數(shù)”，在解答不等式問(wèn)題上發(fā)揮著極為重要的作用。由于不等式的結(jié)果往往是一個(gè)值域，而非某個(gè)固定的值，所以單純借助代數(shù)方法解答不等式問(wèn)題具有較大的難度。但是，通過(guò)作圖，不等式問(wèn)題將變得清晰明了、一目了然。以“形”解不等式，不僅可以用直線表示出式子，還可以通過(guò)直線以上或者直線以下的區(qū)域表示出不等式的取號(hào)，最終通過(guò)幾條直線圍成的區(qū)域聯(lián)合確定值域。舉個(gè)簡(jiǎn)單例子，式子x+1就是一條過(guò)點(diǎn)（0，1）、向上傾斜45度的直線（記作直線A），而式子1-x就是一條過(guò)點(diǎn)（1，0）、向下傾斜45度的直線（記作直線B），而x+1≤1-x在圖上就表示為直線A在直線B下方，即兩直線交點(diǎn)左邊所夾成的區(qū)域，根據(jù)圖形很容易求得該不等式的值域。

2.以“形”解絕對(duì)值

絕對(duì)值問(wèn)題是以“形”解“數(shù)”的另一個(gè)典型案例。以“形”解答絕對(duì)值問(wèn)題不僅要聯(lián)系到常用的坐標(biāo)知識(shí)，有時(shí)還要聯(lián)系到數(shù)學(xué)中的象限知識(shí)。象限是兩條數(shù)軸的組合，是借助數(shù)軸方式解答絕對(duì)值問(wèn)題的二維延伸。在象限圖形中，絕對(duì)值表現(xiàn)為線段長(zhǎng)度，而絕對(duì)值內(nèi)變量的符號(hào)則表現(xiàn)為點(diǎn)所在的象限。舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，已知m的絕對(duì)值大于n的絕對(duì)值，m<0，n>0，判斷m+n的正負(fù)符號(hào)。將這道題放到數(shù)軸圖形中分析，m<0代表m位于數(shù)軸上原點(diǎn)左側(cè)，n>0代表n位于數(shù)軸上原點(diǎn)右側(cè)，又知m的絕對(duì)值大于n的絕對(duì)值，即m距原點(diǎn)的距離比n距原點(diǎn)的距離遠(yuǎn)，所以m+n應(yīng)為負(fù)號(hào)。再比如，點(diǎn)A（1，1）在第一象限，點(diǎn)B（-1，2）在第二象限，求解線段AB的長(zhǎng)度。根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，就是在象限中以A、B為兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)建一個(gè)直角三角形，然后通過(guò)象限坐標(biāo)確定直角三角形中兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)度，計(jì)算出直角三角形斜邊的長(zhǎng)度，即線段AB的長(zhǎng)度。

以“數(shù)”解“形”，可以通過(guò)代數(shù)知識(shí)深入理解題目圖形所表達(dá)出的數(shù)量關(guān)系；以“形”解“數(shù)”，可以通過(guò)圖形模型化抽象為形象，降低純粹代數(shù)方法解題的難度。初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中注重“數(shù)”與“形”結(jié)合，一方面能夠以更加靈活、更加直觀的方式展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，有效改善初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果、大大提高學(xué)生群體的整體數(shù)學(xué)成績(jī)；另一方面能夠優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維，推進(jìn)學(xué)生開動(dòng)腦筋、認(rèn)真思考，多角度探求解決問(wèn)題的辦法。綜上所述，初中數(shù)學(xué)教師教導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合方法、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維，有其現(xiàn)實(shí)意義上的重要性和必要性。

參考文獻(xiàn)：

[1]羅新兵.數(shù)形結(jié)合的解題研究：表征的視角[D].華東師范大學(xué)，2005.

[2]劉紅艷.高中生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的調(diào)查研究[D].南京師范大學(xué)，2014.

編輯 謝尾合