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        函數(shù)最值問題的解法探究

        2017-08-03 13:06:28李雅萍?お?
        關(guān)鍵詞:解法數(shù)形結(jié)合最值

        李雅萍?お?

        [摘要]函數(shù)最值問題一直都是高考熱點.函數(shù)最值問題,可以用基本不等式法、求導(dǎo)法、三角代換法和數(shù)形結(jié)合法來解決.

        [關(guān)鍵詞]函數(shù);最值;解法;數(shù)形結(jié)合

        [中圖分類號]G633.6[文獻標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058(2017)20003302

        函數(shù)最值問題是高考的重點,每年在高考試卷中所占的比例比較高.教師在平時的教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)通過多種方法求最值,讓學(xué)生能夠全方位了解最值問題,掌握求最值的多種方法.

        一、基本不等式法

        對于一些函數(shù)求最值問題,可以利用基本不等式的性質(zhì)求解.

        【例1】求函數(shù)y=x+4x的值域.

        解析:本題可以通過常規(guī)的求導(dǎo)法來求解.但是本題用求導(dǎo)法求解太麻煩.如果利用基本不等式的性質(zhì)來解,就會簡單得多.當(dāng)x>0時,x+

        4x≥2x×4x

        =4(當(dāng)x=2時取等號);當(dāng)x<0時,-x>0,那么(-x)+(4-x)≥

        2(-x)×(4-x)

        =4(當(dāng)x=-2時取等號),所以x+4x≤-4.綜上所述,函數(shù)的值域為(-∞,4]∪[4,∞).

        點撥:本題中采用了基本不等式法求最值.利用基本不等式法很容易產(chǎn)生錯解,主要原因在于會忽略“一正二定三相等”中的“一正”,在沒有確定未知數(shù)為正的情況下就輕易用基本不等式法.

        二、求導(dǎo)法

        求導(dǎo)法是求函數(shù)最值問題的常規(guī)方法,它的重要性不言而喻.新課標(biāo)對于學(xué)生基礎(chǔ)知識的關(guān)注度越來越高,而求導(dǎo)法是求函數(shù)極值的基礎(chǔ)方法,通過求導(dǎo)法而衍生最值問題數(shù)不勝數(shù).因此掌握求導(dǎo)法非常有必要.

        【例2】已知函數(shù)f(x)=2ax-1x2

        ,x∈(0,1].(1)若f(x)在x∈(0,1]上是增函數(shù),求a的取值范圍;(2)求f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值.

        解析:本題是一般函數(shù)單調(diào)性問題,可以通過導(dǎo)數(shù)法進行求解,但是在解題過程中有一些細節(jié)需要引起學(xué)生的注意.

        (1)由題意可得f′(x)=2a+2x3.因為f(x)在x∈(0,1]上是增函數(shù),所以f′(x)>0,那么2a+2x3>0

        ,即a>-1x3

        .現(xiàn)在構(gòu)造g(x)=-1x3

        ,g(x)在(0,1]是增函數(shù),則g(x)的最大值是在x=1時取到,所以g(x)的最大值為g(1)=-1.故a>-1.當(dāng)a=-1時,在f′(x)=-2+2x3

        在x∈(0,1]有f′(x)>0,所以a≥-1就是所求的結(jié)果.

        (2)由(1)的結(jié)果可知當(dāng)a≥-1時,f(x)在x∈(0,1]上是增函數(shù),所以當(dāng)a≥-1時,f(x)的最大值為f(1)=2a-1.當(dāng)a<-1時,令f′(x)=2a+

        2x3

        =0,可以解得x=13-a

        ,那么0<13-a<1

        .所以當(dāng)0

        時,f′(x)>0;當(dāng)13-a

        -33a2

        .

        綜上所述,對于x∈(0,1],當(dāng)a≥-1時,f(x)的最大值為f(1)=2a-1;當(dāng)a<-1時,f(x)的最大值為f(13-a)

        =-33a2

        .

        點撥:本題是用導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)最值的一道綜合題,方法雖然很普通,但是計算量比較大,并且還涉及了分類討論的思想.將分類討論思想與函數(shù)的最值問題結(jié)合起來考查是近年高考熱點,學(xué)生在平時的復(fù)習(xí)中應(yīng)當(dāng)注意這類問題.

        三、三角代換法

        三角代換法是求最值問題中一種重要的方法.在一些函數(shù)求最值問題中往往存在根號,由于根號存在不能直接求導(dǎo),直接求導(dǎo)只會讓式子越來越復(fù)雜.而通過三角代換法,就可以將根號巧妙替換掉,然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值,大大簡化計算過程.

        【例3】求函數(shù)f(x)=x+-x2+4x-3的值域.

        解析:本題如果用求導(dǎo)法,對二次根式的求導(dǎo)會非常復(fù)雜,煩瑣的計算過程會讓人望而卻步.而通過三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化,就可以將根號去掉,計算過程就可以變得簡單.

        由f(x)=x+-x2+4x-3

        =x+-(x-2)2+1

        .為了去掉根號,可以令f(x)∈[1,2+2],其中θ∈[-π2,π2],那么原式f(x)=2+sinθ+cosθ=2+2sin(θ+π4).

        因為

        θ∈[-π2,π2]

        ,所以θ+π4∈

        [-π4,3π4]

        ,

        那么根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得

        sin(θ+π4)∈[-22,1]

        ,容易得

        到2+2

        sin(θ+π4)∈[1,2+2]

        ,所以f(x)∈[1,2+2].

        點撥:本題通過觀察根號中的式子,用三角函數(shù)的代換巧妙去掉了根號.對于三角函數(shù)求最值,只要確定三角函數(shù)中自變量的取值范圍,因變量的范圍問題就迎刃而解了.通過三角函數(shù)的代換,簡化了計算的過程,又能準(zhǔn)確地得到結(jié)果.

        四、數(shù)形結(jié)合法

        通過幾何知識來求函數(shù)最值是最值問題的重點.數(shù)形結(jié)合的思想與最值問題結(jié)合考查的題目都比較有難度,這些問題的關(guān)鍵在于將已知函數(shù)進行轉(zhuǎn)化,將問題轉(zhuǎn)化為常見的數(shù)形結(jié)合問題.

        【例4】x∈R,x為何值時

        y=x2-2x+2+

        x2-4x+8

        有最小值?請你求出最小值.

        解析:這道題的條件比較簡單,但是卻無從下手,這并不是常見的函數(shù)類型.如果直接通過導(dǎo)數(shù)法求解,計算過程會非常麻煩,而且很難得到想要的結(jié)果;如果將代數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題,通過數(shù)形結(jié)合的思想,問題就會迎刃而解.

        將函數(shù)轉(zhuǎn)化為:

        y=(x-1)2+(0-1)2+

        (x-2)2+(0-2)2

        ,通過兩點之間的距離公式,y表示P(x,0)到兩定點(1,1)和(2,2)的距離之和,現(xiàn)將這兩點分別記為A和B.求y的最小值問題就轉(zhuǎn)化為在x軸上找到一點P,使得P點到A、B兩點的距離之和

        最小.如右圖,根據(jù)對稱性,由于兩點之間線段最短,圖中的P點即為所求的點,通過B點和A′點的坐標(biāo),可以求得經(jīng)過這兩點的直線解析式為

        3x-y-4=0

        ,當(dāng)y=0時,x=43,所以P點的坐標(biāo)為(43,0);當(dāng)x=43

        時,y有最小值,為10,所以函數(shù)y=x2-2x+2

        +x2-4x+8

        的最小值為10.

        點撥:本題通過數(shù)形結(jié)合的思想巧妙解決了問題,比起求導(dǎo)法求最值大大簡化了計算過程.本題的解題關(guān)鍵在于將復(fù)雜的函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為求直線上的一點.

        本文用多種方法闡述了最值問題的求解.教師在教學(xué)過程中能向?qū)W生合理訓(xùn)練這些方法,學(xué)生對于函數(shù)最值問題就猶如掌握了“十八般兵器”一般,一定能在考場上“克敵制勝”.

        (責(zé)任編輯黃桂堅)

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