文/惠州市惠陽區(qū)新圩中學 嚴華春

因式分解的方法與技巧

文/惠州市惠陽區(qū)新圩中學 嚴華春

分解因式的數(shù)學思想分為類比思想和歸化思想，類比思想是指運用整式的乘法進行分解因式的探索活動，體現(xiàn)整式乘法與分解因式之間的互逆關系。而歸化思想是指將求解方程化為f（x）=0，對f（x）進行因式分解，然后令各個因式為0，從而求得原方程的解的思想。運用類比思想和額歸化思想，較常見的因式分解方法有以下幾種。

1.提公因式法

如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式相乘的形式。提公因式法比較適用于一些各部分都有公共因式的題目，其可以比較快速的將題目化簡，從而進一步的觀察和嘗試。

例：分解因式5x3+10x2+5x

方法與技巧：顯然，每項均含有公因式5x，故可考慮提取公因式5x，接下來只剩下x2+2x+1，但仍可繼續(xù)分解；在這個多項式中，雖然可以用其它方法，但分解起來都很麻煩，只要提取一個公因式就得到一個可用完全平方和的式子，從而簡單的就解答出來了。

解：原式=5x（x2+2x+1）=5x（x+ 1）2

2.公式法

多項式如果滿足特殊公式的結構特征時即可采用公式法進行多項式的因式分解，故對于一些常用的公式要求熟記，除教材的公式外，數(shù)學競賽中常出現(xiàn)一些基本公式，歸納整理如下：平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方和公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；完全平方差公式：a2-2ab+b2=（a-b）2；立方和公式：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；立方差公式：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。

3.分組分解法

根據(jù)多項式的特點將其適當?shù)姆纸M，然后各組分別變形。例如把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把前兩項分成一組，并提出公因式a，把它后兩項分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n) +b(m+n)，又可以提出公因式，從而得到 (a+b)(m+n)。

4.十字相乘法

在解決二次多項式時，十字相乘法是常用的基本方法，對于mx2+px+q形式的多項式，如果a× b=m，c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為 (ax+d)(bx+c)，為方便起見，我們將上形要求用下圖顯示。

例：分解因式7x2-19x-6方法與技巧：

1×7=7，-3×2=-6，1×2+（-3）× 7=-19

解：原式=（x-3）（7x-2）

5.配方法

對于那些不能利用公式的多項式，有部分可以利用配方法將其配成一個完全平方式，然后再利用完全平方公式，將其因式分解，以便進一步觀察。

例：分解因式x2+6x-7

方法與技巧：把-7分成9-16就可以分配成（x2+6x+9）-16，而前三項是一個完全平方和，16是4的平方，又可以和前三項構成平方差，因此式子可以這樣解：

原式=（x2+6x+9）-16

=（x+3）2-42

=（x+7）（x-1）

6.拆、添項法

把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項 （或幾項），使原式適合于提公因式法，運用公式或分組分解進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

例：分解因式x5+x+1

方法與技巧：在x+1中，增加一個x2才能形成一個完全平方和，因此原式中加一個x2，同時要減去一個x2才能使原式不變，因此有以下的解：

原式=（x5-x2）（x2+x+1）

=x2（x3-1）（x2+x+1）

=x2（x-1）（x2+x+1）（x2+x+ 1）

=（x2+x+1）（x3-x2+1）

7.換元法

在某些多項式的因式分解的過程中，通過換元，可以把形式復雜的多項式變?yōu)樾问胶唵?、易于分解的多項式，從而使問題化繁為簡，迅速的解答出來。

例：分解因式 （x2+7x-5）（x2+ 7x+3）-33

方法與技巧：在這式子里，如果先分解因式將會使式子變得更復雜，我們可以發(fā)現(xiàn)x2+7x-5和x2+ 7x+3都含有 x2+7x，因此設 y=x2+ 7x。這種方法可以使式子的形式比較簡單，使我們在做題時不易出差錯，但要在式子所有多項式都含有相同部分才能如此換元。

8.賦值法

取包含在問題的條件 (或結論)中的某個特殊值，或某個特殊情形，經(jīng)過簡單的推理、判斷或運算，就能得出問題的正確答案，由于分解因式是恒等變形，一個多項式分解后字母取任意值，它都應該是成立的。因而可取某字母為“0”、 “1”等特殊值，把原式消元轉化后再來分解。

例：x2+2xy+y2+2x+2y-3

方法與技巧：直觀上不能比較快的觀察出有公因式或者可以直接運用公式法，但我們可以先設x2+ 2xy+y2+2x+2y-3=(a1x+b1y+c1)(a2x+ b2y+c2)， 然后令 y=0求出 a1、a2、c1、c2，再令x=0，可求出 b1、b2，最后把所有未知數(shù)代入原來所設的式子，就可以簡單的求解出來。

解：原式=(a1x+b1y+c1)(a2x+ b2y+c2)

令y＝0，則原式=x2＋2x－3

=（x＋3）（x－1）

=（a1x＋c1）（a2x＋c2）

所以，a1=a2=1，c1=3，c2=-1。

令x=0，同理可以求出b1=1，b2=1。

整理得：原式=（x+y+3）(x+y-1)。

責任編輯 黃日暖

見習編輯 黃博彥