管尤躍 云南省教育學(xué)會副秘書長，云南省教育科學(xué)研究院小學(xué)數(shù)學(xué)教研員，貴州省教育廳特聘研究員，云南師范大學(xué)兼職教授。中國教育學(xué)會小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會學(xué)術(shù)委員，云南省教育學(xué)會小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會秘書長。

精彩的課堂來自于課堂精彩之處，源于學(xué)生的心底之音。日常的、平常的、正常的，即所謂家常的、常態(tài)的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就應(yīng)如水，來自山間，來自江河，更應(yīng)來自心靈，來自學(xué)生的感受和感悟，順其自然，順勢而導(dǎo)，順逆從容，順應(yīng)而生！

【摘要】結(jié)合美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人提出的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論——APOS理論。先分析對APOS理論四階段（活動階段、過程階段、對象階段和圖式階段）的認(rèn)識，然后通過“三角形的認(rèn)識”的教學(xué)實踐嘗試了APOS理論在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用，主要分析三角形的定義、特征以及底和高等多個概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。

【關(guān)鍵詞】APOS理論 小學(xué)數(shù)學(xué)概念 教學(xué)模式 三角形的認(rèn)識

一、引言

我們都知道，數(shù)學(xué)概念就是數(shù)學(xué)知識的“細(xì)胞”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是一個不斷運用數(shù)學(xué)概念的思維過程。高斯曾經(jīng)指出，在數(shù)學(xué)中重要的不是符號，而是概念。數(shù)學(xué)概念是人們對客觀事物在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上經(jīng)過比較、分析、綜合、概括、判斷、抽象等一系列思維活動，逐步認(rèn)識到它的本質(zhì)屬性以后才形成的。

由于數(shù)學(xué)具有高度抽象性，在教學(xué)中應(yīng)該注重體現(xiàn)概念的來龍去脈，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念從具體到抽象的過程，在運用中逐步理解概念的本質(zhì)。但在一線教學(xué)實踐中，很多教師認(rèn)為概念就是一種規(guī)定，就是一種定義，就是一種約定俗成，沒什么好講的，只要能記住就行；或者認(rèn)為小學(xué)階段的數(shù)學(xué)概念大多“顯而易見”，無須多講；或者淺嘗輒此，草草收場，節(jié)省時間用來“刷題”。此現(xiàn)象在常態(tài)課中屢見不鮮，如何才能將小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)執(zhí)行“到位”？下面就結(jié)合APOS理論，以《三角形的認(rèn)識》為例，簡要談一談小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式。

二、引論

APOS理論是20世紀(jì)80年代由美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基提出來的一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論，這種理論具有很強的數(shù)學(xué)學(xué)科特色，被譽為近年來數(shù)學(xué)教育界最大的理論成果之一。該理論認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要經(jīng)歷四個階段的心理建構(gòu)，即活動階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Object）和圖式階段（Scheme），簡稱APOS。指出：學(xué)生學(xué)習(xí)是一個建構(gòu)的過程，建構(gòu)是有層次的，反映的是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程的真實的思維活動。

盡管國內(nèi)外眾多學(xué)者對教學(xué)模式的解說不一，無法達(dá)成一致認(rèn)識，我更愿意接受這樣的觀點，教學(xué)模式指的是在一定教學(xué)思想指導(dǎo)下所建立的比較典型的、穩(wěn)定的教學(xué)程序或階段，又稱為“教學(xué)結(jié)構(gòu)”。教學(xué)模式源于教學(xué)實踐又反過來指導(dǎo)教學(xué)實踐，是人們在長期的教學(xué)實踐中不斷總結(jié)、改良之后逐步形成的。小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要地位和價值無須贅言，是否應(yīng)該有相對適用、合理而有效的模式可供參考和借鑒？大家所熟知的概念形成模式、同化模式、“七階段”模式等，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中都得到了廣泛的認(rèn)同和使用。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：“數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)?！薄皵?shù)學(xué)概念具有過程和對象的雙重性，它既是邏輯分析的對象，又是具有現(xiàn)實背景和豐富寓意的數(shù)學(xué)過程。”

小學(xué)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程得到揭示和經(jīng)歷其發(fā)展過程成為制約小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的重要因素，APOS理論在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的合理運用，可以充分體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)概念的形成過程，充分反映學(xué)生個體認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的思維過程，充分揭示小學(xué)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)。更為重要的是，這與當(dāng)前我國新一輪課程改革所倡導(dǎo)的理念是一脈相承的。

基于此，我想以一節(jié)涉及很多數(shù)學(xué)概念的課為例，來分析如何使用APOS理論作為指導(dǎo)，突出各概念間的聯(lián)系，更為重要的是剖析概念之間以及概念域和特征之間的內(nèi)在聯(lián)系。

四、引議

在教學(xué)《三角形的認(rèn)識》中，結(jié)合APOS理論可看出：

對三角形的認(rèn)識中相關(guān)概念屬性的具體操作、觀察，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的具體實例階段就相當(dāng)于活動階段；

從多個具體操作、具體活動和具體實例中抽象概括出三角形相關(guān)概念屬性的階段則是過程階段；

將每個概念或概念組作為一個個抽象的概念出現(xiàn)在頭腦中，是能將概念作為一個獨立的對象并施加各種心理運算的階段就是對象階段；

圖式階段指對三角形有關(guān)概念的具體實例、本質(zhì)屬性及其應(yīng)用的認(rèn)識進(jìn)一步充實豐富之后，這些概念會以一種完整的心理圖式貯存于大腦中，包括具體的“活動”——實例、抽象的“過程”、完整的“對象”——定義，以及與其他概念之間的區(qū)分與聯(lián)系，等等。

本節(jié)課的教學(xué)，最能體現(xiàn)APOS理論在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運用價值，因為，“數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該返璞歸真，揭示數(shù)學(xué)概念的形成過程，讓學(xué)生從概念的現(xiàn)實原型，概念的抽象過程、形式表述和符號化的運用等多方位、多角度地理解一個數(shù)學(xué)概念，使之符合學(xué)生概念建構(gòu)的教育原理?！被诖?，筆者認(rèn)為基于APOS理論指導(dǎo)下的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)可以從以下幾個方面著手：

第一，APOS理論的“四階段”在同一個（或單一）概念教學(xué)中的使用是按順序依次進(jìn)行的，但是對單位時間內(nèi)要完成多個有緊密聯(lián)系的“概念組”來說就可能需要多次重復(fù)、交叉進(jìn)行這四個階段的任務(wù)。

第二，小學(xué)數(shù)學(xué)概念的建立需要經(jīng)過長時間的多次反復(fù)過程。一個概念的建立從“活動”“過程”到“對象”的不斷抽象、具體、壓縮、形成，直到學(xué)生理解是一個較為漫長的過程，特別是達(dá)到“圖式”階段需要的是學(xué)生用簡潔的語言、文字、符號表征并在頭腦中建立這組概念的直觀結(jié)構(gòu)形象。

第三，讓“教”“學(xué)”合一。教學(xué)重心是使教和學(xué)和諧共生，相互促進(jìn)，精心設(shè)計“活動”（包括外在的和內(nèi)隱的），主動參與“過程”，自覺形成“對象”。感受到數(shù)學(xué)知識內(nèi)部結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，領(lǐng)會數(shù)學(xué)的思想和方法，培養(yǎng)和積累數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

第四，認(rèn)識APOS理論的價值和作用。APOS理論不僅是概念教學(xué)的理論，也是一種工具，可以根據(jù)它來設(shè)計教學(xué)全過程（包括教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)活動、教學(xué)組織等）。同時，我們也可以用其作為一種檢測評價手段或工具，對學(xué)習(xí)現(xiàn)象、學(xué)習(xí)過程、思維過程和思維結(jié)果等進(jìn)行觀察、分析和評價，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)水平處于何種層面，反過來思考和調(diào)整教學(xué)的行為、策略和方法。