周輝君

【摘 要】本文分析在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的幾種數(shù)學(xué)模型，并探究如何利用數(shù)學(xué)模型打造中職數(shù)學(xué)高效課堂的四種策略：引導(dǎo)學(xué)生自主探究、改編習(xí)題、鏈接生活、結(jié)合專業(yè)深入發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型 中職數(shù)學(xué) 高效課堂

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）05B-0134-02

中職生群體具有一定的特殊性，他們中的大多數(shù)人的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，學(xué)習(xí)主動性也不高，因此中職數(shù)學(xué)的高效課堂一直難以實現(xiàn)。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，充分利用數(shù)學(xué)模型能夠有助于提高學(xué)生的解題效率，有效提高中職生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，高效課堂由此形成。

一、數(shù)學(xué)建模的思想概述

數(shù)學(xué)建模就是把實際問題通過數(shù)學(xué)語言抽象概括，從數(shù)學(xué)角度來反映實際問題，從而得出關(guān)于實際問題的數(shù)學(xué)描述。數(shù)學(xué)建模的形式多樣，可以是方程或方程組、不等式，也可以是函數(shù)、幾何圖形等。學(xué)會運用數(shù)學(xué)建模思想解決數(shù)學(xué)問題，對于學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的提升大有益處。下面介紹幾種數(shù)學(xué)模型及相關(guān)問題的歸類：

方程（組）一般涉及的問題有：工程、行程、質(zhì)量分數(shù)、增長率（降低率）、利息、存貸、調(diào)配、面積等。

函數(shù)一般涉及的問題有：方案優(yōu)化、風(fēng)險估算、成本最低以及利潤最大。

不等式、統(tǒng)計、概率等模型一般涉及的問題有：最佳設(shè)計、租金預(yù)算、合理調(diào)配、人口、環(huán)保、投資估算等。

直角三角形模型一般涉及的問題有：測高量距、航海、氣象、圖形設(shè)計、土地測量、堤壩設(shè)計、房屋設(shè)計等。

線性規(guī)劃初步模型一般涉及的問題有：產(chǎn)品成本、銷售盈虧、投資獲利、城市規(guī)劃、產(chǎn)業(yè)預(yù)估、利潤分配、生產(chǎn)方案設(shè)計等。

二、利用數(shù)學(xué)模型打造高效課堂策略

（一）引導(dǎo)學(xué)生自主探究

由于中職生的自制力較差，缺乏毅力和鉆研精神，上課時習(xí)慣于“走馬觀花”，因此學(xué)習(xí)效率低下，即使教師剛講完某道題的解題方法，下次遇到同類問題時依然有不少學(xué)生還會做錯。因此筆者認為，教師在教學(xué)時應(yīng)當引入數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生對問題進行深入探究，通過提煉數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生的解題效率。

如筆者在對《概率與統(tǒng)計初步》這一章節(jié)的內(nèi)容進行教學(xué)時，提出了一道關(guān)于抽獎的探究性概率問題，以考查學(xué)生對這部分知識的理解與應(yīng)用程度。

問題 1：在日常生活中有各種各樣的抽獎方式，其中有一種抽獎方式為抽簽，每個人選擇的順序不同，但獲獎的概率是否相同呢，這種抽獎方式是否公平呢？

問題提出后，學(xué)生展開了激烈討論，有的學(xué)生認為公平，有的學(xué)生認為不公平，但是大家都沒有通過精確的計算來證明自己的結(jié)論，而只是給了直覺上的答案。因此筆者讓學(xué)生通過計算來驗證自己的結(jié)論，并找出這一抽獎方式的概率模型。假設(shè)有 m 個人抽獎，共有 n 個不一樣的簽，而其中有獎的只有 k 個。一開始有學(xué)生回答：“隨著 m 個人的抽獎順序，概率依次為，每個人得獎的概率不同，所以不公平?！惫P者進一步提示：這道題用這個模型來解答對不對？經(jīng)過一段時間的深度思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，每一個人抽獎的結(jié)果有兩種可能，所以要分情況考慮：當?shù)谝粋€人抽獎時，他的中獎概率為，第二個人抽獎時，若第一個人中獎，則他中獎概率為，若第一個人沒中獎，則第二個抽獎人的中獎概率為，所以綜合兩種情況來看，第二個人中獎的概率為，即每個人獲獎概率均為，所以這種抽獎的方式是公平。

在上述教學(xué)活動中，筆者通過引導(dǎo)學(xué)生對概率問題進行深入探究，使學(xué)生成功構(gòu)建了抽獎的概率模型，既能培養(yǎng)學(xué)生的鉆研與自主探究的精神，還使課堂教學(xué)變得更高效。

（二）利用數(shù)學(xué)模型一題多改

數(shù)學(xué)模型是一種運用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學(xué)語言建構(gòu)的科學(xué)或工程模型。熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，將有助于促進學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，從而提高解題效率。因此中職數(shù)學(xué)教師在教學(xué)的過程中要利用數(shù)學(xué)模型對數(shù)學(xué)問題進行變式，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)模型，學(xué)會舉一反三，融會貫通，進而高效地完成教學(xué)目標。

比如筆者在對二次函數(shù)進行教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生通過習(xí)題練習(xí)建立二次函數(shù)的模型及應(yīng)用模型，學(xué)會解決用量最省、造價最低、利潤最大等問題。

問題 2：某酒店有 100 間客房，每間客房房租均為 80 元每天，每天客房住滿無剩余?，F(xiàn)酒店管理員想提高房租價格，若每間房租提高 10 元，客房租數(shù)會減少 5 間。不考慮其他因素，若想要酒店的收入最高，房租應(yīng)定價多少？

這道習(xí)題是考查二次函數(shù)的典型例題，可設(shè)總收入為 y，房租提高 x 個 10 元，那么 y=（80+10x）（300-5x），然后求此二次函數(shù)最大值及其對應(yīng)的 x 值，則酒店收入最高時的房租即為80+10x。為了讓學(xué)生學(xué)會熟練構(gòu)建二次函數(shù)的定價模型，筆者對該問題進行了改編：某雜志以每本 10 元價格出售，可售出 2 萬本，價格每提高 1 元則售出量減少 1000 本，為獲得最高收入，該雜志應(yīng)定價為多少元一本。改編后的問題與之前問題為一類，可以通過原例題中構(gòu)建出的數(shù)學(xué)模型順利求解，通過這樣變式練習(xí)，學(xué)生能夠進一步深入理解并掌握二次函數(shù)的定價模型。

在上述教學(xué)活動中，筆者通過進行習(xí)題改編，引導(dǎo)學(xué)生進行變式練習(xí)，使他們能夠自我挖掘并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，很好的滲透了數(shù)學(xué)建模的思想。

（三）鏈接生活，強化應(yīng)用

陶行知先生曾提出過“生活即教育”的教育理論，主張教學(xué)要與生活實踐相結(jié)合。教師授課時也應(yīng)當從生活實踐出發(fā)，通過鏈接生活中的具體例子，將生活引入課堂。教師可以引導(dǎo)學(xué)生從生活原型中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)理論與實際的統(tǒng)一，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實現(xiàn)素質(zhì)教育。

比如學(xué)習(xí)《函數(shù)》這一章節(jié)的內(nèi)容時，為了讓學(xué)生體會到函數(shù)模型在生活中的巨大用處，筆者聯(lián)系生活設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生探究并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

筆者首先講到：“同學(xué)們應(yīng)該都知道貸款這一借款方式吧，現(xiàn)在很多的車貸、房貸一族，都是通過向銀行貸款并分期按時償還本金及利息實現(xiàn)的，同學(xué)們就業(yè)后很可能也會去向銀行貸款，那你們想不想了解貸款呢？”這個與生活息息相關(guān)的話題成功引起了學(xué)生的興趣與求知欲，接下來筆者布置任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生進行探究：

問題 3：小明準備購買一輛轎車，需向銀行貸款 8 萬元，按復(fù)利計息，已知年利率為 8%，貸款期為 10 年，小明每年穩(wěn)定可有 9000 元的結(jié)余，若按年計息并還款，小明是否具有償還能力？

由于貸款+利息總額=還款總額，所以可以列方程為：8（1+8%）10=x（1+8%）9+x（1+8%）8+…+x=，最后解得 x=1.2，即每年結(jié)余 1.2 萬元時才具有足夠的償還能力，小明目前不具有償還能力。接下來筆者讓學(xué)生總結(jié)出這一貸款方式的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生通過分析、思考與討論，最終得到了正確結(jié)論：a=（1+r）n=x（1+r）n-1+x（1+r）n-2+…+x，x=，其中 a為借款總額，r 為年利率，n 為償還期，x 為每年最低的結(jié)余。

在上述教學(xué)活動中，筆者通過聯(lián)系生活實際引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)了教學(xué)的生活化，激發(fā)了學(xué)生應(yīng)用建模思想解決實際問題的意識，取得了很好的教學(xué)效果。

（四）結(jié)合專業(yè)，深化發(fā)展

教師在進行教學(xué)時應(yīng)當善于以中職生的專業(yè)背景為基礎(chǔ)創(chuàng)設(shè)問題情境，通過結(jié)合專業(yè)課中的數(shù)學(xué)問題介紹建模方法，切實讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力與重要性，引發(fā)他們對數(shù)學(xué)的重視，深化其發(fā)展。

比如筆者在對機電專業(yè)、數(shù)控專業(yè)的學(xué)生進行教學(xué)時，非常注重培養(yǎng)學(xué)生作圖和用三角函數(shù)計算的能力。在《三角函數(shù)》這一章節(jié)的教學(xué)中，筆者要求這些專業(yè)的學(xué)生較旅游、漢語等專業(yè)的學(xué)生要更加深層次的掌握，這一章節(jié)的教學(xué)課時也會相應(yīng)的加大。此外，筆者在教學(xué)時還會根據(jù)學(xué)生的專業(yè)課內(nèi)容設(shè)計三角函數(shù)問題引導(dǎo)學(xué)生計算與練習(xí)，結(jié)合其專業(yè)滲透數(shù)學(xué)建模的思想。例如筆者在對機電專業(yè)進行三角函數(shù)教學(xué)時，設(shè)計如下練習(xí)：

問題 4：直徑為 20cm 的滑輪，每秒旋轉(zhuǎn) 45°，求滑輪上一點 5s 內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長。

，5s 內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧度為：，弧長=弧度×半徑=，學(xué)生通常在弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化上存在一定的困難，通過聯(lián)系學(xué)生專業(yè)知識設(shè)計習(xí)題，不僅進一步鞏固學(xué)生對知識的理解，而且能夠強化應(yīng)用。

在上述教學(xué)活動中，筆者通過結(jié)合學(xué)生專業(yè)進行數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，不僅向?qū)W生滲透了數(shù)學(xué)建模是思想，而且能夠為他們的專業(yè)知識打好基礎(chǔ)，通過靈活的教學(xué)方式，實現(xiàn)了高效的數(shù)學(xué)課堂。

綜上所述，教師在教學(xué)時，通過引導(dǎo)探究、習(xí)題改編、鏈接生活、結(jié)合專業(yè)這四種策略，能夠有效地在中職數(shù)學(xué)課堂中滲透數(shù)學(xué)建模的思想，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型求解問題，提高解決問題的能力，進而提高教學(xué)的質(zhì)量，構(gòu)建高效的中職數(shù)學(xué)課堂。

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（責(zé)編 韋 力）