龔梅

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教材中，無論概念還是定理，處處蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思維，自然，應(yīng)用的數(shù)學(xué)習(xí)題也不能例外，在解題時(shí)，需要把數(shù)量關(guān)系同形的直觀性結(jié)合起來，既能夠以形解數(shù)、簡化思維，也可以以數(shù)算形，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 初中數(shù)學(xué) 以形解數(shù) 以數(shù)算形

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）21-0184-02

新課程改革后，數(shù)學(xué)教材一改過去的代數(shù)與幾何分離教學(xué)，將二者合二為一，互相穿插。這是因?yàn)?，教材的編寫者意識(shí)到數(shù)與形的不可分割，代數(shù)需要經(jīng)過圖形變得直觀和簡易，幾何需要經(jīng)過代數(shù)關(guān)系與運(yùn)算實(shí)現(xiàn)證明與解答，二者密切結(jié)合的最高點(diǎn)便是向量及其運(yùn)算，當(dāng)然，這不在我們的討論范圍之內(nèi)，我們只是討論數(shù)與形結(jié)合思維已經(jīng)被認(rèn)可并推廣于教材之中。遍覽教材，諸多的概念和定理中處處都蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思維，比如絕對值、函數(shù)、勾股定理、全等三角形的判定等等，相應(yīng)而言，習(xí)題自然也會(huì)把數(shù)形結(jié)合思維蘊(yùn)含地淋漓盡致。因此，在解題時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維，可以緊扣出題人的思路，是一條便捷之徑。

一、以形解數(shù)，簡化思維

在初中數(shù)學(xué)習(xí)題中，一些數(shù)量關(guān)系極具復(fù)雜之能事，學(xué)生一時(shí)半會(huì)兒很難對其進(jìn)行準(zhǔn)確認(rèn)知，于是在做題時(shí)常常摸索不到思路或者是出現(xiàn)漏洞，此時(shí)，就需要借助圖形進(jìn)行解答，圖形不經(jīng)可以將題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀地綜合地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，令學(xué)生實(shí)現(xiàn)對數(shù)量關(guān)系的把握，而且有時(shí)可以出現(xiàn)靈光一閃之效，令學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題的線索，從而出奇制勝。下面通過兩個(gè)例子，體會(huì)一下數(shù)形結(jié)合思維的精妙。

例1：如果a

分析：這道題看似不難，只是簡單地對數(shù)與相反數(shù)進(jìn)行大小比較，沒有涉及絕對值，更缺少運(yùn)算量。但這道題蘊(yùn)含的邏輯思維可不少，以至于學(xué)生頻繁出錯(cuò)，不是六個(gè)數(shù)之間顛來倒去一團(tuán)亂，a、-a、b、-b、c、-c錯(cuò)雜不堪入目，當(dāng)然，根源在邏輯運(yùn)算不清，就是少了可能性，只解答出一個(gè)答案就萬事大吉，導(dǎo)致失了分。如果借助數(shù)軸來解題，則可以避免那復(fù)雜的頭腦風(fēng)暴，輕而易舉地理順數(shù)之間的關(guān)系，而且也能夠發(fā)現(xiàn)隱含的分類思維：b距遠(yuǎn)點(diǎn)的距離比c近，b距原點(diǎn)的距離在a和c之間，b距原點(diǎn)的距離比a遠(yuǎn)，由此得出六個(gè)數(shù)的三種大小關(guān)系。

解答：當(dāng)b距原點(diǎn)的距離

當(dāng)c距原點(diǎn)的距離

當(dāng)a距原點(diǎn)的距離

例2：x、y的關(guān)系滿足方程（x-2）2+y2=3，試著求y/x的最大值。

分析：很多學(xué)生在做這道題時(shí)，試著將y/x變成二次，然后開方求值，先不說計(jì)算，然后求出最值依然是個(gè)難題，就準(zhǔn)確性而言，也是有偏差的。其實(shí)，可以用圖形來幫助解題，求得準(zhǔn)確答案。仔細(xì)分析一個(gè)方程式，便可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程其實(shí)是一個(gè)圓的表達(dá)式，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2，該圓的圓心為（2，0），半徑為，因此，（x，y）便是圓上的一點(diǎn)，這是第一次利用圖形來助解。接下來便是思考如何使得y/x最大了，這里可以第二次利用圖形來解決困境，將y/x視作過（0，0）與（x，y）兩點(diǎn)的直線的斜率。到這里為止，求（x，y）的最大值便轉(zhuǎn)化為求過圓上的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線的斜率最大值。當(dāng)圓與直線相切時(shí)，且切點(diǎn)在第一象限時(shí)，直線的斜率是最大的（如圖4）。此時(shí)需要第三次利用圖形來助解，OA的斜率是Rt△OAC的正切值，已知OC=2，AC=，可以求出OA=1，于是y/x的最大值便呼之欲出。此題的難點(diǎn)便是三次借助圖形，以形來解數(shù)。

解答：當(dāng)OA與⊙C相切時(shí)，y/x有最大值

OC=2，AC=，OA==1

（y/x）max=tan∠AOC=/1=

二、以數(shù)算形，回歸本質(zhì)

數(shù)學(xué)之所以稱之為數(shù)學(xué)，本質(zhì)是數(shù)，是運(yùn)算，所以，無論代數(shù)還是集合，都無可避免地牽涉到數(shù)的運(yùn)算。而且，形固然直觀，可以具體化一些抽象思維，卻無法精確定量，并且蘊(yùn)含在一些簡單圖形中的復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，是不能只靠觀測就得出結(jié)果的，必須依靠數(shù)，這就需要根據(jù)題意與圖形，正確地羅列出數(shù)的關(guān)系，然后通過思維與計(jì)算，解決數(shù)學(xué)問題。以下運(yùn)用一個(gè)例子，分析數(shù)于形上的彌補(bǔ)，思維于直覺中的功能。

例3：如果圖5中所有的三角形均是直角三角形，AE=1，∠A=，試求AB的值。

分析：在圖中，除了所有的三角形均為直角三角形外，沒有任何數(shù)量關(guān)系的顯示，但是此題求的就是數(shù)量關(guān)系，所以，只能根據(jù)題意進(jìn)行思維和運(yùn)算。想要求AB的值，在已知∠A的條件下，必須知道BC或AC的值，如果是BC的值，BC除了在Rt△ABC中外，就是在Rt△BCD中，而Rt△BCD中的各個(gè)角與∠A的關(guān)聯(lián)性不大，也無法求出與Rt△ADE或Rt△ACD或Rt△ABC存在全等或相似的關(guān)系，那么，只能是求AC的值。到此為此，在Rt△ACD，AC似乎與∠A與AE都牽上了關(guān)系，但是出現(xiàn)了一個(gè)問題，AE與AC沒有比例的關(guān)系存在，便只能繼續(xù)尋覓，以期求得AD或CD的值，CD雖然處在較多的直角三角形中，但是與∠A與AE的關(guān)聯(lián)不大，那么只有求AD的值。根據(jù)題意，在Rt△ADE中，。順勢，我們便可以求得，。在解答過程中，運(yùn)用了逆向推導(dǎo)的思維，這是初中數(shù)學(xué)習(xí)題中常常用到的一種思維方式。此外，此圖畫的較為簡單，有些似是而非的關(guān)系蘊(yùn)含其中，比如AE=CE，△ADE=△CDE等，但這不是已知條件，學(xué)生們切忌就此而得結(jié)論。

解答：在Rt△ADE中，；在Rt△ACD中，；在Rt△ABC中，

數(shù)與形既是初中數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)主要對象，即我們通常所言的代數(shù)與幾何，也是互相滲透的彼此解題途徑，數(shù)需要形來簡易化，形需要數(shù)來運(yùn)算，二者不可分割。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)提到：數(shù)與形是統(tǒng)一的整體，數(shù)離了形變少了直觀性，形缺少數(shù)便無法解答。一切的數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，皆需要在數(shù)與形的有效結(jié)合下進(jìn)行。因此，在教學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，教師需要把數(shù)與形結(jié)合起來，無論是概念與定理，還是解題，只有形成了習(xí)慣性，才能把數(shù)形結(jié)合的思維方式植根在學(xué)生的頭腦中。

參考文獻(xiàn)：

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