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(寧波市第二中學 浙江寧波 315000)

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“正弦定理”的教學設計、實踐與反思

●韓蕾

(寧波市第二中學 浙江寧波 315000)

“正弦定理”是《數(shù)學(必修5)》的第1節(jié)課，文章通過融入數(shù)學文化史進行定理的引出、證明、賞析和應用.

正弦定理；歷史發(fā)展；核心素養(yǎng)

2017年3月，筆者所在學校舉行了以“關注核心素養(yǎng)，關注課堂教學”為主題的同課異構活動.筆者有幸參加了這次活動，與另一位來自重慶南開中學的教師分別執(zhí)教了“正弦定理”這節(jié)課.現(xiàn)將本堂課的教學設計、實踐與反思作一呈現(xiàn)，期待與同行交流.

1 教學過程

1.1 追根溯源，引入定理

師：昨天，夜空迎來了一次奇妙的天象：雙星伴月.不知有沒有同學見證了這一時刻呢？人民網上發(fā)布了一張照片：金星、火星和月亮近距離相聚，形成一張美麗的笑臉.當我?guī)е⒆友鐾箍諘r，孩子問我：媽媽，月亮離我究竟有多遠呢？這是一個不可及物體距離的測量問題.類似這樣的實際問題你們能舉出例子來嗎？

生1：測量我們學校旗桿與月湖里女神像間的直線距離(筆者所在學校處在美麗的月湖風景區(qū)).

生2：測量高樓大廈建筑物的高度.

生3：測量海上兩個島嶼間的距離.

樣本空間是色子的6個點數(shù)構成的集合，對應的概率分布列如表2所示.

表2 6個點數(shù)構成的樣本空間所對應的概率分布列

比較兩個分布列可以看出，表1中任何一個隨機變量對應的概率值的分子正好是表2中對應隨機變量概率值的分子的6倍.而前者樣本空間中的等可能性事件的個數(shù)也正好是后者樣本空間中等可能性事件個數(shù)的6倍.這就使得兩個分布列中對應隨機變量的概率值始終相等.

貝特朗概率悖論促進了概率公理化體系的建立.再次分析該悖論，仍然讓我們有所啟發(fā).

[1] 伯特瑟卡斯， 齊齊克利斯.概率導論[M].2版.鄭忠國,童行偉，譯.北京:人民郵電出版社,2016.

[2] 單墫.高中數(shù)學教學參考書·數(shù)學3(必修)[M].南京:江蘇教育出版社,2012.

[3] 嚴士健,劉秀芳.測度與概率[M].2版.北京:北京師范大學出版社,2006.

師：解決這些問題，我們現(xiàn)有的幾何知識夠用嗎？在這一章，我們將要學習的“解三角形”就可以用來解決這些問題，它一般研究三角形邊與角之間的關系，屬于“三角學”的范疇.古往今來，許多數(shù)學問題的產生也是來源于觀測天體、航海、地理現(xiàn)象等等，最初的三角學就是起源于天文學.古希臘的天文學家在研究天體運動中推動了“球面三角”的萌芽，隨著航海和地理的發(fā)展，人們在研究球面三角的過程中得到了一個副產品“正弦定理與余弦定理”.這兩個定理非常重要，它們?yōu)榻⑵矫嫒堑於嘶A[1].我們這一章要學的就是這兩個重要的定理.今天我們先來學習第1個定理：正弦定理.

設計意圖從“雙星伴月”的天文奇象引出關于不可及物體的距離測量問題，讓學生感覺自然親近，也調動了課堂氣氛.本節(jié)課是章首課，因此有必要介紹這一章要學什么，為什么要學.穿插簡單的數(shù)學史，讓學生感受正弦定理并非只是冰冷的公式，它和人類生命一樣，是一個美麗的產物.

1.2 歸納猜想，證明定理

師：在Rt△ABC中，用銳角三角函數(shù)來表示邊與角的關系.記AB=c,AC=b,BC=a，如何用邊來表示角？

師：這兩個等式都有一個共同的分母，能否利用這一特點將兩個等式合并成一個等式呢？

師：很好.你們感受到了這個等式的特點嗎？

生(部分)：分子為邊長，分母為邊所對角的正弦值.

師：有沒有美中不足呢？

生6：少了關于另一條邊的式子.

師：完美！通過對直角三角形邊與角的研究，我們歸納出了一個形式對稱的式子.請大家猜想：這個式子能適用于斜三角形中嗎？

生(眾)：應該可以.

師：那好，接下來我們試著在斜三角形中進行證明.

先在銳角三角形中進行證明，由于學生事先已經預習過，因此大部分學生都能較快地找到方法(作高).

生8：如圖1，在△ABC中作高AD，構造出兩個直角三角形，通過計算AD得到式子

圖1

師：將銳角三角形分割成兩個直角三角形，這是“化斜為直”的解決方法，通過對同一個對象進行“算兩次”的方法，建立起了邊與角的關系，非常好.

雖然有刺激性氣味可能不環(huán)保，但沒有刺激性氣味也不等于環(huán)保。除了甲醛，室內還有苯、氨、TVOC、放射性氡等多種有害氣體，其中放射性氣體氡是無色、無味、無法察覺的惰性氣體。因此最真實有效的辦法就是請專業(yè)機構用專業(yè)儀器檢測。

師：在鈍角三角形中的證明，留給同學們課后自己去完成.這就是我們今天要學習的正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

設計意圖通過“歸納—猜想—證明”的過程，讓學生體會從特殊到一般的學習方法.在證明過程中，滲透“化斜為直”“算兩次”的解題方法.

1.3 “圓”來如此，賞析定理

生(眾)：直角三角形的斜邊長.

師：那么在斜三角形中呢？這個比值還會是c，抑或是其他的值？

通過師生共同努力，利用外接圓法，找到了比值為三角形外接圓的直徑，從而得到

然后利用思維導圖的形式(如圖2)，引導學生將正弦定理進行了深度賞析.

圖2

師(PPT展示圖片)：我們只用了約20分鐘賞析了該定理，可是正弦定理的發(fā)展并不是如此一帆風順的.最早是阿拉伯的數(shù)學家阿布爾提出了平面三角的正弦定理，然后在1030年，另一位數(shù)學家阿爾畢魯尼首次對定理進行了證明.又過了400多年，在1464年，德國數(shù)學家雷格蒙塔努斯在他的著作《論各種三角形》中清晰地將定理展示出來.當然，又過了很漫長的一段時間，人們才慢慢地接受并應用正弦定理[2].歷史的發(fā)展賦予了正弦定理以內在美，公式本身又向我們呈現(xiàn)出它的形式美.接下來讓我們繼續(xù)探究正弦定理的應用價值.

設計意圖通過引入圓來得出正弦定理的幾何意義，滲透數(shù)形結合的思想.介紹正弦定理簡單的發(fā)展歷史，讓學生在冰冷的數(shù)字背后感受到正弦定理的生命力和數(shù)學的內在美，體現(xiàn)數(shù)學的核心素養(yǎng).1.4 知識拓展，應用定理

例11)在△ABC中，已知A=45°,B=60°,c=1,求C,a,b.

課后探究對課前問題“測量學校旗桿與月湖里女神像之間的直線距離”提出測量方案.

設計意圖例1中的3個小題是針對正弦定理的基礎訓練，其中第2)和第3)小題是兩邊一對角的類型，一題為兩解，一題為一解.留給學生課后思考三角形個數(shù)的問題，為下一節(jié)課作好鋪墊.對測量實際距離提出測量方案，讓學生感受到數(shù)學知識可以服務于生活，是一門有用的學科.

1.5 總結反思，感悟定理

師：請大家說說本節(jié)課中你學到了什么，對于數(shù)學學習有哪些體會呢？

師生共同總結：

一個定理：正弦定理；

兩種方法：化斜為直、算兩次方法；

三種思想：類比轉化、從特殊到一般、數(shù)形結合思想.

布置作業(yè)(略).

2 課后感悟

“正弦定理和余弦定理”并不是在學生用量角器、刻度尺、計算器測量任意三角形的邊與角中產生的，它們的產生和三角學的發(fā)展息息相關.因此就有了以上的融入數(shù)學史的教學設計.

2.1 滲透歷史，體會數(shù)學之美

有人將一堂課比作一道菜，這道菜的味道如何，一方面取決于廚師的廚藝，另一方面還取決于食材是否豐富.對于正弦定理，本身是一個冰冷的公式，于學生而言，學習的目的似乎就是為了應付考試，會算即可.如果僅僅從直角三角形的找邊角關系引入，或是從某一個實際問題的計算引入，那么學生就感受不到定理本身的內涵美.

筆者從三角學的發(fā)展歷史入手，簡單地介紹了正弦定理產生的過程.在賞析定理的過程中，再次提出正弦定理漫長的發(fā)展過程，讓學生感受到：正弦定理并不是一個冰冷的公式，它也是有生命的，是一個美麗的公式.滲透數(shù)學的歷史文化，讓這節(jié)課顯得不那么單調，上課的“食材”也就顯得豐富多元.

2.2 聯(lián)系實際，凸顯定理價值

在課的開始與結尾，筆者都提出了不可及物體距離的測量問題，前后呼應.在應用定理環(huán)節(jié)，除了讓學生完成常規(guī)的解三角形題型外，還留給學生課后探究的練習題，以凸顯正弦定理的應用價值，也讓學生感受到數(shù)學可服務于生活，從而培養(yǎng)他們的應用意識.

2.3 關注學生，體現(xiàn)核心素養(yǎng)

數(shù)學的核心素養(yǎng)是數(shù)學教與學過程中應當特別關注的重點.在本節(jié)課中，筆者的設計遵循兩條線：一條明線為“引入定理—證明定理—賞析定理—應用定理—感悟定理”；一條暗線為正弦定理的簡單發(fā)展歷史.讓學生從中不斷地經歷推理論證、定理內涵的挖掘，從知識上加深對概念、定理的理解.數(shù)學史的引入也絕非簡單的移植和嫁接，在恰到好處的地方進行數(shù)學文化史的滲透，以做到潤物細無聲.

當然，教學是一門遺憾的藝術.當我們在反思一堂課時，總會有這樣或那樣的不滿.筆者期待同行們的批評與指正，以期在課堂教學的路上走得更踏實.

參考文獻

[1] 張國定.HPM視角下的數(shù)學教學設計——從正弦定理的教學設計談起[J].數(shù)學教學研究，2010(3)：14-16.

[2] 陳克勝.“余弦定理和正弦定理”的數(shù)學思想史略[J].數(shù)學通訊，2004(21)：45-47.

2017-03-21；

2017-04-25

韓 蕾(1982-)，女，浙江舟山人，中學高級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O124.1

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：1003-6407(2017)07-27-03