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(川匯區(qū)教體局教研室 河南周口 466001)

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基于初中層面的弦張定點(diǎn)成直角的問題探究

●李世臣

(川匯區(qū)教體局教研室 河南周口 466001)

在動態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra環(huán)境下，文章以一道中考數(shù)學(xué)壓軸題為起點(diǎn)，基于初中層面的拋物線、雙曲線、平行直線、相交直線上的2個(gè)動點(diǎn)對某定點(diǎn)張直角問題進(jìn)行了深入研究，發(fā)現(xiàn)一組有價(jià)值的結(jié)論，深化了對問題的認(rèn)識．

GeoGebra；包絡(luò)曲線；二次函數(shù)；反比例函數(shù)；軌跡

2014年湖北省武漢中考數(shù)學(xué)第26題是一道綜合性較強(qiáng)的壓軸題，其根植于初中核心知識和基本技能，指向于高中優(yōu)生選拔和素養(yǎng)要求，是一道設(shè)計(jì)巧妙、簡潔明了、內(nèi)涵豐富的好題．文獻(xiàn)[1]對曲線上的定點(diǎn)張直角弦問題進(jìn)行了研究，若定點(diǎn)不在曲線上會有什么幾何特征呢？筆者利用動態(tài)數(shù)學(xué)軟件(GeoGebra)就基于初中層面的定點(diǎn)張拋物線上兩點(diǎn)成直角問題、張雙曲線上兩點(diǎn)成直角問題、與兩條平行線上的點(diǎn)張直角問題、與兩條相交直線上的點(diǎn)張直角問題進(jìn)行了拓展研究，獲得了一些有價(jià)值的結(jié)論．

1)直線AB總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)C，請直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

3)若在拋物線上存在定點(diǎn)D使∠ADB=90°，求點(diǎn)D到直線AB的最大距離．

圖1 圖2

問題3)說明拋物線上定點(diǎn)對拋物線上的弦張直角，則弦所在直線過定點(diǎn)．那么，這個(gè)問題能否推廣到一般情況呢？

探究1平面內(nèi)的定點(diǎn)張拋物線上兩點(diǎn)成直角問題[2].

如圖2，已知定點(diǎn)P(u,v)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(其中a≠0)的圖像與直線y=kx+d交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，∠APB=90°，PH⊥AB于點(diǎn)H(m,n)．聯(lián)立方程組

消去y，得ax2+(b-k)x+c-d=0,

則

過點(diǎn)H作對稱軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)G，設(shè)G(m,h)，由點(diǎn)H在直線AB上，得

n=km+d.

由點(diǎn)G在拋物線上，得

h=am2+bm+c,

從而h-n=am2+(b-k)m+c-d=

a[m2-(x1+x2)m+x1x2]=

a(m-x1)(m-x2).

分別過點(diǎn)A,P,B,H作與坐標(biāo)軸平行或垂直的直線，得垂足D,F,E，則

FH=v-n,EH=m-x2，DH=x1-m,

因?yàn)镻H⊥AB，所以

△ADH∽△PFH∽△BEH.

又AP⊥PB，得

PH2=AH·HB,

即

FH2=EH·HD,

整理得

圖3 圖4

圖5 圖6

3)當(dāng)時(shí)T<0，即點(diǎn)P與焦點(diǎn)S分布在拋物線準(zhǔn)線的異側(cè)，點(diǎn)P對拋物線的弦張直角不存在．

探究2平面內(nèi)定點(diǎn)張雙曲線上兩點(diǎn)成直角問題[3].

圖7

如圖7，已知定點(diǎn)P(u,v)，反比例函數(shù)xy=k(其中k≠0)的圖像與直線y=ax+b交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，∠APB=90°，PH⊥AB于點(diǎn)H(m,n)．聯(lián)立方程組

消去y，得

ax2+bx-k=0,

則

由點(diǎn)H在直線AB上，得

n=am+b,

又由PH⊥AB，得

分別過點(diǎn)A,P,B,H作與坐標(biāo)軸平行或垂直的直線，得垂足D,F,E，則

FH=v-n，EH=m-x2,DH=x1-m.

因?yàn)镻H⊥AB，所以

△ADH∽△PFH∽△BEH，

又AP⊥PB，得

PH2=AH·HB,

即

FH2=EH·HD,

從而

(v-n)2= (m-x2)(x1-m)=

整理得

vm+un-uv-k=0．

圖8 圖9

探究3已知平面內(nèi)定點(diǎn)與兩條平行線上的點(diǎn)張直角問題.

已知m∥n，設(shè)直線m,n的間距為t，定點(diǎn)P到直線m,n的最近距離為s．點(diǎn)A,B分別在直線m,n上，∠APB為直角，PH⊥AB于點(diǎn)H．過點(diǎn)P作平行線m,n的垂線，得垂足為E,F，聯(lián)結(jié)EH,FH，延長PH到點(diǎn)C，使HC=PH．取EF的中點(diǎn)M，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)為Q，作直線CQ交直線AB于點(diǎn)D．

1)當(dāng)點(diǎn)P在直線m,n的異側(cè)時(shí)，如圖10，因?yàn)镻E⊥AE，PH⊥AH，所以點(diǎn)A,E,P,H共圓，∠EHP=∠EAP．同理可得∠PHF=∠PBF，從而

∠EHF=∠EAP+∠PBF=∠APB=90°,

即點(diǎn)H在以EF為直徑的圓上．

由中垂線和中位線的性質(zhì)知，

DP+DQ=DC+DQ=QC=2MH=t(定值)，

從而點(diǎn)D的軌跡是以P,Q為焦點(diǎn)、以EF為長軸的橢圓，是直線AB的包絡(luò)曲線．

由于點(diǎn)P在點(diǎn)H軌跡圓的內(nèi)部，于是

s

2)若點(diǎn)P在直線m(n)上，則點(diǎn)B(A)與點(diǎn)F(E)重合，∠EHF=90°，點(diǎn)H的軌跡是以EF為直徑的圓(除點(diǎn)E,F)．顯然，0

圖10 圖11

3)當(dāng)點(diǎn)P在直線m,n的同側(cè)時(shí)，如圖11，因?yàn)镻E⊥AE，PH⊥AH，所以點(diǎn)A,P,E,H共圓，∠EHB=∠EPA．同理可得∠BHF=∠BPF，從而

∠EHF=∠EPA+∠FPB=∠APB=90°,

即點(diǎn)H的軌跡是以EF為直徑的圓．

由中垂線和中位線的性質(zhì)知，

|DQ-DP|=|DQ-DC|=QC=2MH=t(定值)，

從而點(diǎn)D的軌跡是以P,Q為焦點(diǎn)、以EF為實(shí)軸的雙曲線，是直線AB的包絡(luò)曲線．

由于點(diǎn)P在點(diǎn)H軌跡圓的外部，因此

s

探究4已知平面內(nèi)定點(diǎn)與兩條相交直線上的點(diǎn)張直角問題．

1)定點(diǎn)在兩條垂直直線的直角區(qū)域.

如圖12，∠UOV=90°，PE⊥OU于點(diǎn)E，PF⊥OV于點(diǎn)F，PE=m，PF=n．點(diǎn)A,B分別在直線OU,OV上，∠APB=90°，PH⊥AB于點(diǎn)H，則點(diǎn)H在直線EF上，直線AB的包絡(luò)曲線是拋物線，且

事實(shí)上，因?yàn)镻E⊥OU，PH⊥AB，所以點(diǎn)A,E,H,P共圓，∠AHE=∠APE．同理可得∠BHF=∠BPF．又因?yàn)椤螦PB=90°，∠EPF=90°，所以∠APE=∠BPF，從而∠AHE=∠BHF,即點(diǎn)H在直線EF上．

圖12 圖13

2)定點(diǎn)在兩條直線形成的銳角區(qū)域.

事實(shí)上，延長EP交直線OV于點(diǎn)J，延長FP交直線OU于點(diǎn)K，因?yàn)镻E⊥OU，PF⊥OV，所以點(diǎn)E,F,J,K共圓，JK為該圓的直徑，取圓心為M．聯(lián)結(jié)EH,FH，因?yàn)镻H⊥AB，所以點(diǎn)A,E,P,H共圓，∠EHP=∠EAP，同理可得∠PHF=∠PBF，從而

∠EHF= ∠EAP+∠FBP=∠APB-∠AOB=

90°-θ=∠EKP,

即點(diǎn)H在定圓⊙M上．

延長PH到點(diǎn)C，使HC=PH，延長PM到Q，使MQ=PM．直線CQ,AB交于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)PD，由中垂線和中位線的性質(zhì)知PD=CD，CQ=2MH,從而

DP+DQ=DC+DQ=QC=2MH，

于是點(diǎn)D的軌跡是以P,Q為焦點(diǎn)、長軸長為JK的橢圓，是直線AB的包絡(luò)曲線．

因?yàn)镻M=MQ，KM=MJ，得四邊形PJQK為平行四邊形,所以JQ=PK，JQ∥FK，則JQ⊥OV．又因?yàn)椤螷PE=∠JPF=∠EOF=θ，所以

PQ2= (PF-JQ)2+FJ2=

從而JK=2a，PQ=2c．由于點(diǎn)P在點(diǎn)H軌跡圓的內(nèi)部，于是a-c≤PH≤a+c．

3)定點(diǎn)在兩條直線形成的鈍角區(qū)域.

如圖14，∠UOV=θ(其中90°<θ<180°)，PE⊥OU于點(diǎn)E，PF⊥OV于點(diǎn)F，PE=m，PF=n．點(diǎn)A,B分別在直線OU,OV上，∠APB=90°，PH⊥AB于點(diǎn)H，則點(diǎn)H在定圓上，直線AB的包絡(luò)曲線是雙曲線，且c-a≤PH≤c+a(其中a,c設(shè)置同上)．

圖14

事實(shí)上，延長PE交直線OV于點(diǎn)J，延長PF交直線OU于點(diǎn)K，因?yàn)镻E⊥OU，PF⊥OV，則點(diǎn)E,F,J,K共圓，JK為該圓的直徑，取圓心為M．聯(lián)結(jié)EH,FH，因?yàn)镻E⊥OU，PH⊥AB，所以點(diǎn)A,E,P,H共圓，∠PEH=∠PAH，同理可得∠PFH=∠PBH.在凹四邊形PEHF中，

∠EHF= ∠PEH+∠PFH+∠EPF=

∠PAH+∠PBH+90°-∠EJF=

180°-∠EJF,

即點(diǎn)H在定圓⊙M上．

延長PH到點(diǎn)C，使HC=PH，延長PM到Q，使MQ=PM．直線CQ,AB交于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)PD，由中垂線和中位線的性質(zhì)知PD=CD，CQ=2MH,從而DP+DQ=DC+DQ=QC=2MH，

于是點(diǎn)D的軌跡是以P,Q為焦點(diǎn)、實(shí)軸長等于JK的橢圓，是直線AB的包絡(luò)曲線．

易得四邊形PJQK是平行四邊形，于是JQ=PK，JQ∥FK，JQ⊥OV．因?yàn)椤螷PE=∠JPF=∠EOF=180°-θ，所以

JK2=KF2+FJ2=

PQ2= (PF+JQ)2+FJ2=

于是JK=2a，PQ=2c．由于點(diǎn)P在點(diǎn)H軌跡圓的外部，從而c-a≤PH≤c+a．

波利亞有過一個(gè)比喻：“好問題如同某種蘑菇，它們大都成堆地生長．找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能在附近就有好幾個(gè)．”這個(gè)比喻形象而生動地說明了數(shù)學(xué)問題之間存在著緊密聯(lián)系．本文從一道中考壓軸題出發(fā)，借助數(shù)學(xué)技術(shù)，在問題解決之后，通過類比、遷移發(fā)現(xiàn)證明了定點(diǎn)張常規(guī)曲(直)線上的點(diǎn)成直角的幾何特征，深刻揭示了其內(nèi)在規(guī)律，如同找到了更多的蘑菇，舉一反三、聞一知十．

[1] 李世臣．一道中考數(shù)學(xué)壓軸題的探究與推廣[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2016(1)：25-29.

[2] 李世臣，陸楷章．圓錐曲線對定點(diǎn)張直角弦問題再研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2016(3)：60-64.

[3] 朱寒杰．由一道雙曲線試題引起的探究與思考[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2013(12)：14-16.

2 問題分析

一方面，高三學(xué)生已學(xué)過了高中數(shù)學(xué)的所有知識和基本技能，解題經(jīng)驗(yàn)也比高一、高二的學(xué)生要豐富，對于問題的分析與思考能夠更深入；另一方面，在課堂時(shí)間的安排上，高三階段可以花更多的時(shí)間在問題的探索、解決、比較、綜合等高層次的思維活動中，而不必?fù)?dān)心教學(xué)進(jìn)度的問題.因此，可以利用這兩方面的優(yōu)勢來設(shè)計(jì)我們的課堂教學(xué)，以實(shí)現(xiàn)繼續(xù)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).筆者在第一輪復(fù)習(xí)中以小專題的形式上了一節(jié)“立體幾何軌跡問題”，下面以這節(jié)課的幾個(gè)片斷為例談幾點(diǎn)認(rèn)識，以求教于同仁.

3 實(shí)施案例

3.1 通過師生互答，引導(dǎo)學(xué)生審題

圖1

片斷1PPT放映題目,師生共同分析題意.

例1如圖1，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α內(nèi)的動點(diǎn)P滿足∠PAB=30°，則點(diǎn)P的軌跡是

( )

A．直線 B．拋物線

C．橢圓 D．雙曲線的一支

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

師：已知條件有哪些？這些條件中哪些是變量，哪些是常量？需要我們做些什么？

生1：條件“AB與平面α所成的角為60°”是常量，P是動點(diǎn)，是變量，它要滿足∠PAB=30°，我們的任務(wù)是求點(diǎn)P的軌跡.

生2：條件中還有“點(diǎn)P在平面α內(nèi)”“∠PAB=30°”也是常量.

師：嗯，分析得不錯(cuò).這是一個(gè)以立體幾何為載體求軌跡的問題，根據(jù)條件你們能想象它們在空間的情形嗎？能否用身邊的物件來擺一個(gè)符合題意的示意模型？

(教師讓一個(gè)學(xué)生在講臺上展示，他用兩支筆和一本書擺了個(gè)模型.)

師：非常好，剛才我們也說到這是動點(diǎn)P的軌跡問題，那么哪些條件是限制動點(diǎn)P的呢？

生3：點(diǎn)P需滿足既在平面α內(nèi)又要使∠PAB=30°.

師：你能想象點(diǎn)P是怎么運(yùn)動的嗎？

(生3沉默.)

生4(同時(shí)用兩支筆示意了轉(zhuǎn)動情形)：如果只考慮∠PAB=30°,那么點(diǎn)P在以AB為軸、PA為母線的圓錐面上.另外，點(diǎn)P又要平面α內(nèi)，因此點(diǎn)P應(yīng)該在圓錐與平面的公共線上.

師：你們看呢？

生3：對啊，這樣就變成一個(gè)圓錐面與一個(gè)平面的交線了.

3.2 鼓勵交流討論，展現(xiàn)學(xué)生風(fēng)采

片斷2畫圖法描述7種情形.

教師在讓學(xué)生回憶“一個(gè)平面截圓錐得到什么曲線”時(shí)，生5在黑板上畫出了圖2～4：

圖2 圖3 圖4

師：請解釋一下你畫的圖.

生5:我是畫出了圓錐的軸截面，就是這兩個(gè)三角形，這條直線表示從側(cè)面去看平面:當(dāng)平面與一條母線平行時(shí)得到的是拋物線(圖2)，當(dāng)平面與圓錐的一側(cè)相交時(shí)得到橢圓(圖3)，當(dāng)平面與圓錐的兩側(cè)都相交時(shí)得到雙曲線(圖4).

師：大家能想象嗎？生5的這種畫圖法比畫立體幾何直觀圖要方便得多，他把立體幾何問題平面化了，并凸顯了關(guān)鍵元素.

(此時(shí)，教師用Flash演示3D模式下的圓錐曲線，幫助空間想象能力較弱的學(xué)生想象).

師：剛才還有同學(xué)說到有可能得到圓與直線,哪位同學(xué)可以進(jìn)行補(bǔ)充？

生6出乎意料地補(bǔ)充了圖5～8,然后指著對應(yīng)的圖解釋到：當(dāng)平面與圓錐底面平行時(shí)得到圓，當(dāng)平面過圓錐頂點(diǎn)且不與底面相交時(shí)得到一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)平面過頂點(diǎn)且與底面相交時(shí)得到兩條相交直線，當(dāng)平面經(jīng)過一條母線時(shí)得到一條直線.

圖5 圖6 圖7 圖8

聽完生6的發(fā)言，傳來一片贊嘆聲.此時(shí)有一個(gè)學(xué)生問到：你在解釋圖6時(shí)說平面與圓錐底面不相交，可看上去會相交啊.

生6(沉默了一會兒)：因?yàn)槲覀冞@里說的圓錐并不是立體幾何中的圓錐體，應(yīng)該是圓錐曲面，不研究它的底，也可認(rèn)為沒有底.就像題目中要求的點(diǎn)P是在圓錐面上.

生7：既然沒底，那不是不能說與底相交或是不相交了?

(生6想反駁但又想不出說什么.)

師：生6補(bǔ)充得非常完整，只是他用數(shù)學(xué)語言描述時(shí)出了點(diǎn)小問題，被細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)了，那么，我們是不是可以討論一下，從什么角度可以更方便地描述這7種情況？

學(xué)生通過交流與討論，表達(dá)了自己的描述方法，這里列舉兩種認(rèn)同度最高的描述方法：

方法1利用與圓錐的軸所成角的大小來描述.

如圖9，設(shè)圓錐母線與軸所成角的大小為θ，軸與平面所成的角為α.1)在平面不過圓錐頂點(diǎn)的情況下：①當(dāng)0°<α<θ時(shí)，交線為雙曲線；②當(dāng)α=θ時(shí)，交線為拋物線；③當(dāng)θ<α<90°時(shí)，交線為橢圓；④當(dāng)α=90°時(shí)，平面與圓錐曲面的交線為圓.2)在平面過圓錐頂點(diǎn)的情況下：①當(dāng)0°≤α<θ時(shí)，交線為兩條直線；②當(dāng)α=θ時(shí)，交線為一條直線；③當(dāng)θ<α≤90°時(shí)，平面與圓錐曲面的交線為一個(gè)點(diǎn).

圖9 圖10

方法2虛構(gòu)底面,借助平面與底面的較小的二面角大小來描述.

如圖10，生6把自己的表達(dá)修改了一下，他認(rèn)為可以虛構(gòu)一個(gè)底面，用虛線表示，借助平面與底面的較小的二面角大小來描述上述7種情形.

3.3 反思解題過程，提高解題水平

片斷3教師引導(dǎo)學(xué)生解決例1，并嘗試設(shè)計(jì)新題.

師：哪位同學(xué)能用平面圖解釋一下例1？

生8(畫圖后回答)：利用方法1.如圖11，母線與軸的夾角為30°,平面退化的直線與軸的夾角為60°，大于母線與軸的夾角，因此交線為橢圓.

圖11

師：完全正確.回憶一下自己的解題思路，你在思考過程中有沒有受阻？受阻的原因是什么？你認(rèn)為解決例1的關(guān)鍵是什么？

學(xué)生通過分析，得到解決立體幾何軌跡問題的方法：先把滿足的條件分開考慮，想象滿足單個(gè)條件的軌跡，然后求這些軌跡的交線.由于該方法與軌跡方程中的交軌法類似，就稱為“交軌法”.

師：能在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出不同的題目，其答案為其他選項(xiàng)嗎？

(有些學(xué)生改變AB與平面所成角的大小，有些學(xué)生改變∠PAB的大小，都實(shí)現(xiàn)了編題目標(biāo).)

3.4 分析對比解法，歸納猜想通法

片斷4通過兩道練習(xí)題，辨析提升.

練習(xí)1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是

( )

A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線

(2004年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第4題)

練習(xí)2已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD,且AB=1,AD=CD=2.四邊形ADEF是正方形，在正方形ADEF內(nèi)部有一點(diǎn)M,滿足MB,MC與平面ADEF所成的角相等，則點(diǎn)M的軌跡長度為

( )

教師先讓學(xué)生獨(dú)立解答5分鐘，再讓學(xué)生回答.接著，小組交流下面3個(gè)問題，讓各組代表說說解法并進(jìn)行點(diǎn)評：

1)你覺得這兩道題能否用例1的解法解決？為什么？

2)這兩道題的解法有什么共同之處和不同之處？

3)通過這兩道題的解決，你獲得了什么經(jīng)驗(yàn)？

課后思考：能否對這兩道練習(xí)題進(jìn)行改編，設(shè)計(jì)出不同的題目，其答案為其他選項(xiàng).

(練習(xí)1和練習(xí)2的答案分別為D和C.這兩道題都是把條件轉(zhuǎn)化到同一平面中去解決：練習(xí)1轉(zhuǎn)化后可直接用拋物線定義輕松解決；練習(xí)2轉(zhuǎn)化后不容易找?guī)缀侮P(guān)系，因此可建立平面直角坐標(biāo)系，用解析幾何的方法來解決.)

4 幾點(diǎn)認(rèn)識

4.1 利用身邊事物，培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光

讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看世界，是核心素養(yǎng)培養(yǎng)的目標(biāo)之一.在本課中，筆者讓學(xué)生用身邊的物件來示意例1中條件所要求的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，把筆、紙、桌面、書本等抽象成直線與平面就是對客觀事物的數(shù)學(xué)抽象，這在立體幾何教學(xué)中是非常容易實(shí)現(xiàn)的.例如學(xué)生所處的教室可抽象成長方體、棱柱等幾何體，教室內(nèi)還可抽象出很多點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，若在平時(shí)的教學(xué)中教師能有意識地加以引導(dǎo)，則將有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，并學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看世界.

4.2 根據(jù)專題內(nèi)容，發(fā)展相應(yīng)素養(yǎng)

每個(gè)專題會涉及各自的知識點(diǎn)、解題方法與思想方法，教師在備課中應(yīng)根據(jù)各專題特點(diǎn)精選例題進(jìn)行設(shè)計(jì)，以促進(jìn)學(xué)生相應(yīng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.本專題內(nèi)容在知識體系中處于立體幾何與解析幾何的交匯處，可以作為發(fā)展學(xué)生直觀想象的載體.由于在數(shù)學(xué)感知中，絕大多是視覺感知[2]，因此對于立體幾何問題，要在頭腦里形成抽象的數(shù)學(xué)模型，最好的方法就是先從具體模型入手.

筆者先讓學(xué)生用身邊的事物構(gòu)造出符合條件的模型，然后讓學(xué)生用平面圖進(jìn)行分析，這是立體幾何平面化思想的體現(xiàn)，同時(shí)又讓學(xué)生經(jīng)歷了利用圖形描述、理解、探索、解決數(shù)學(xué)問題的過程.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題、理解數(shù)學(xué)命題、探索論證思路的重要輔助手段.在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，若教師重視和加強(qiáng)學(xué)生在這方面的引導(dǎo)，則將有利于學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的習(xí)慣，有利于學(xué)生提升數(shù)形結(jié)合的能力，有利于學(xué)生形成借助圖形和空間進(jìn)行分析、推理、論證的能力.

4.3 創(chuàng)造交流機(jī)會，發(fā)展數(shù)學(xué)表達(dá)

每個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的闡述，都會涉及思維與表達(dá)、交流與反思[1].學(xué)生要表達(dá)自己對某個(gè)問題的想法就需要對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等處理，而在聽取他人的表達(dá)時(shí)又需要理解別人的表達(dá)并進(jìn)行分析，這個(gè)過程可以較好地反映出學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，高三學(xué)生在數(shù)學(xué)表達(dá)上具備了一定的基礎(chǔ)，實(shí)施起來更加容易.在學(xué)生相互合作、相互說服的過程中，氣氛會比面對教師要輕松得多，如此，學(xué)生可以更大膽地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，在展示他們亮點(diǎn)的同時(shí)暴露出他們在表達(dá)上的不足.此時(shí)，教師加以引導(dǎo)或修正，更有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)與理解能力，有利于發(fā)展他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.4 引導(dǎo)解題反思，提升思維品質(zhì)

在高三階段，為了節(jié)省教學(xué)時(shí)間，提高學(xué)生的應(yīng)試水平，教師常常會把一些有針對性的解法或是通法直接告訴學(xué)生，再讓學(xué)生加以練習(xí)運(yùn)用.如此，學(xué)生只是去理解、記憶、應(yīng)用教師歸納總結(jié)出的結(jié)論.根據(jù)布魯姆認(rèn)知目標(biāo)分類的6個(gè)層次“知道—領(lǐng)會—應(yīng)用—分析—綜合—評價(jià)”可知：“直接告訴答案”只是讓學(xué)生的思維停留在前3個(gè)低階思維層次，浪費(fèi)了發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的機(jī)會.因此，筆者嘗試用好這一機(jī)會，在每個(gè)例題后設(shè)置了幾個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思，引導(dǎo)學(xué)生分析、比較已獲知的解題方法，歸納猜想出適合立體幾何軌跡問題的一般性解題思路.長此以往，可以使學(xué)生的思維上升到“分析、綜合”甚至更高的“評價(jià)”層次，同時(shí)又能讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣，從而更喜歡數(shù)學(xué).

5 結(jié)束語

在高三數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師以小專題、微專題形式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究與反思，并提供學(xué)生間合作交流的機(jī)會，使學(xué)生在交流中逐步暴露自己在學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)、疑點(diǎn)，然后在生生互動、師生互動中幫助學(xué)生突破難點(diǎn)、解決問題，如此，可讓學(xué)生更好地掌握基本知識與基本技巧，體會其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，久而久之，可使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平得到真正的提高.

參考文獻(xiàn)

[1] 王尚志.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂背景與學(xué)科核心素養(yǎng)[R].全國中小學(xué)教師繼續(xù)教育網(wǎng)，2016.

[2] 吳增生.3B教育理念下的數(shù)學(xué)高效課堂教學(xué)策略初探[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011(1):17-22.

2017-03-16；

2017-04-18

河南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題(2016-JKGHB-1076)

李世臣(1964-)，男，河南項(xiàng)城人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

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：1003-6407(2017)07-34-05