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(新疆生產(chǎn)建設兵團第二中學 新疆烏魯木齊 830002)

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導數(shù)壓軸題的關鍵在運算

●徐波

(新疆生產(chǎn)建設兵團第二中學 新疆烏魯木齊 830002)

以往認為解決導數(shù)壓軸題的關鍵是分類討論.根據(jù)多年的研究和實踐，文章提出解決此類問題的關鍵是運算.整個解題的進程和解題方案的形成背后其實都是受運算進程支配，運算在其中起著決定性作用.

導數(shù)壓軸題;運算；最值；極值

文獻[1]中提出解決導數(shù)壓軸題的關鍵是分類討論的觀點，筆者根據(jù)多年來研究高考試題和參加高三模考命題的實踐，切身體會到解決導數(shù)壓軸題的關鍵是運算.每當碰到運算不下去或者運算的關鍵轉(zhuǎn)折點時才需要分類討論，整個解題的進程和解題方案的形成背后其實都是受運算進程支配，運算在其中起著決定性作用.

《高考大綱》指出：“運算求解能力是思維能力和運算技能的結(jié)合，運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調(diào)整運算的能力.”[2]這些對運算能力的要求貫穿于解決導數(shù)壓軸題的全過程中，運算求解能力、推理論證能力、創(chuàng)新意識等綜合體現(xiàn)在導數(shù)壓軸題的求解過程中，以達到對考生進行深層次考查的目的[3-4].

筆者選擇了近幾年新疆烏魯木齊市高三診斷性測試題作為素材來展開論述.在分析試題的解題思路時，筆者嘗試將思路形成過程記錄下來，希望收到更加真實、親切、自然的效果.為了增加實用性，在每道例題分析之后，增加一道相應的練習題，希望能對廣大師生有所幫助.

例1已知函數(shù)f(x)=ex+ln(x+1)．

1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

2)當x≥0時，f(x)≥ax+1成立，求實數(shù)a的取值范圍．

(2016年新疆烏魯木齊市高三年級第一次診斷性測驗數(shù)學理科試題第21題)

分析1)按常規(guī)套路去做.由題意得

f(0)=e0+ln(0+1)=1，

于是y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為

y-1=2(x-0)，

即

y=2x+1.

第1)小題為第2)小題埋下了伏筆，既然曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x+1，按照幾何直觀得知曲線y=f(x)在切線y=2x+1的上方，也就是當x≥0時，f(x)≥2x+1恒成立.現(xiàn)在要想使得當x≥0時，f(x)≥ax+1恒成立，只要直線y=ax+1比切線y=2x+1“壓得還低”就行了，也就是a≤2即可，這時已經(jīng)“猜”到了答案.

h′(x)>0，

于是函數(shù)y=h(x)在[0，+∞)上為增函數(shù)，即

h(x)≥h(0)=2，

亦即

g′(x)≥2-a.

①當a≤2時，2-a≥0，g′(x)≥0,從而函數(shù)y=g(x)在[0，+∞)上為增函數(shù)，于是g(x)≥g(0)=0.此時，對任意x≥0，f(x)≥ax+1成立.

②當a>2時，a-1>1，由于x≥0,從而

當x∈(0,ln(a-1))時，

ex+1-a<0，

即

g′(x)<0，

從而函數(shù)y=g(x)在(0,ln(a-1))上為減函數(shù)，于是當0

g(x)

因此，f(x)

綜上所述，對任意x≥0，f(x)≥ax+1成立時，實數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].

1)若曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線與直線x-2y+1=0平行，求a的值；

(2016年新疆烏魯木齊市高三年級第一次診斷性測驗數(shù)學文科試題第21題)

2)試討論函數(shù)y=f(x)的零點個數(shù)．

(2016年新疆烏魯木齊市高三年級第二次診斷性測驗數(shù)學理科試題21題)

當-10，從而

g′(x)≥0，

此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，于是

g(x)≤g(0)=0，

2)要討論函數(shù)的零點個數(shù)，必須先摸清楚這個函數(shù)的單調(diào)性和極值情況.

①當m=1時，x1=x2=0，由式(1)得

從而當x>-1時，1+x>0，x2≥0，于是

f′(x)≥0.

此時函數(shù)f(x)為增函數(shù),因此當-1

f(x)

當x>0時，

f(x)>f(0)=0，

函數(shù)y=f(x)在x>-1上有且只有一個零點x=0.

圖1

(2)

構(gòu)造函數(shù)k(x)=lnx-x+1(其中x>0)，則

當01時，k′(x)<0，從而函數(shù)y=k(x)的增區(qū)間為(0，1],減區(qū)間為(1,+∞)，于是

k(x)≤k(1)=0，

即

lnx≤x+1,

從而

即

故

(4)

由式(3)和式(4)知

(5)

圖2

綜上所述,當01時，函數(shù)y=f(x)有兩個零點;當m=1時，函數(shù)y=f(x)有且僅有一個零點．

2)當m≤1時，試討論函數(shù)y=f(x)的零點個數(shù)．

(2016年新疆烏魯木齊市高三年級第二次診斷性測驗數(shù)學文科試題第21題)

導數(shù)壓軸題，關鍵在運算.在平常的教學中講解習題或者試卷的時候，每當碰到運算不下去或者運算的關鍵轉(zhuǎn)折點時，教師要停下來，把學生“卡”在那里，讓他們左沖右突、嘗盡苦頭，然后再適時進行點撥，提煉出解決問題的關鍵思路和技術(shù).

這里常常借助函數(shù)的泰勒展開式或者麥克勞林展開式，將一個超越函數(shù)用一個有理函數(shù)去取代，有時還需要做一些變量代換，以獲得我們所需要的形式.整個題目的探究進程和解題方案的形成背后其實都是受運算進程的支配，運算在其中起著決定性作用.希望大家在運算的實踐中不斷地磨煉和提升，積累體驗，獲取經(jīng)驗，把導數(shù)壓軸題解好.

[1] 龍正武，譚國文.怎樣更好地做好導數(shù)大題的答題準備[J].中國數(shù)學教育:高中版，2012(1/2)：67-83．

[2] 教育部考試中心.2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱[M].北京：高等教育出版社，2015：50-53.

[3] 教育部考試中心.2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明[M].北京：高等教育出版社，2015：131-132.

[4] 教育部考試中心.高考理科試題分析[M].北京：高等教育出版社，2015:135-138.

2017-03-15；

2017-04-16

徐 波(1964-)，男，四川大竹人，新疆自治區(qū)特級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O122.1

：A

：1003-6407(2017)07-30-04