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(開元中學(xué) 浙江杭州 310016)

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探究割補法在求解拋物線內(nèi)接三角形面積問題中的應(yīng)用

●陳巧

(開元中學(xué) 浙江杭州 310016)

拋物線與三角形是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，它們的有機結(jié)合可以構(gòu)建綜合題和探究型的試題，特別是拋物線內(nèi)接三角形面積問題,更是成為各地數(shù)學(xué)中考的熱點題型，而割補法在解決此類題型時具有明顯的優(yōu)勢.文章以一道中考復(fù)習(xí)題為例，通過靈活運用割補法來深入探究拋物線內(nèi)接三角形的面積問題.

拋物線;內(nèi)接三角形;割補法

拋物線內(nèi)接三角形是指3個頂點都在拋物線上的三角形,它在有關(guān)二次函數(shù)的習(xí)題中經(jīng)常出現(xiàn),也是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點之一.內(nèi)接三角形的面積問題，由于涉及知識面廣、綜合性強,使得很多學(xué)生不知如何下手.筆者在長期的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，若學(xué)生能靈活掌握割補法，則能大大提高解決此類問題的正確率.所謂割補法，就是把不規(guī)則的圖形通過等面積替換，轉(zhuǎn)換位置，使不規(guī)則圖形變成規(guī)則圖形，以便使用公式求解的一種方法.這種數(shù)形結(jié)合的割補法，可以大大減少計算量，同時對于引導(dǎo)學(xué)生透過表象把握問題本質(zhì)、培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的解題能力具有一定的指導(dǎo)意義[1].下面，筆者通過一道中考復(fù)習(xí)題來詳細說明割補法在求解拋物線內(nèi)接三角形面積問題中的實際應(yīng)用.

1 引入割補法求解

例1已知二次函數(shù)y=x2-2x-3，設(shè)函數(shù)與x軸交于點A,B(其中點A在點B的左邊)，與y軸交于點C，頂點為D.

1)求△BCD的面積;

2)若點P是拋物線上位于直線BC下方的一個動點，試求△BCP面積的最大值;

3)問：拋物線上是否存在點Q，使得S△BCQ=S△BCD?

本題具有典型性，整個題目都是圍繞拋物線內(nèi)接三角形面積問題展開的.在第1)小題中，易求得B(3，0)，C(0，-3)，D(1，-4)，從而本題可看作是根據(jù)三角形的3個頂點坐標(biāo)來求三角形的面積.由于此類三角形為非特殊三角形，不便直接使用面積公式求解，但可用割補法來解決.以下提供4種常規(guī)的割補方法：

方法1如圖1，根據(jù)S△BCD=S矩形OBNM-S△OBC-S△BDN-S△CDM即可求解.

圖1 圖2

方法2如圖2，根據(jù)S△BCD=S梯形OCDF+S△BDF-S△OBC即可求解.

圖3 圖4

方法4如圖4，易求得直線BC的方程為y=x-3,從而E(1,-2)，根據(jù)S△BCD=S△BED+S△CED即可求解.

不難看出：方法3和方法4的解題原理是一樣的，都是將一個三角形分割成兩個三角形，然后利用共有的底求解.這種割補法是比較常規(guī)的方法，學(xué)生比較容易理解，但若要將其上升到普遍規(guī)律的高度，進而得出固定的解題公式，則有點難度.

2 割補法的拓展延伸

圖5

事實上，如圖5，過△ABC的3個頂點分別作出與水平線垂直的3條直線l1,l2,l3,其中直線l2與直線AB相交于點D.記l1與l3之間的距離為△ABC的“水平寬(記作a)”，線段CD的長度為△ABC的“鉛垂高(記作h)”.在方法4中，水平寬a即為線段BO的長,鉛垂高h即為線段DE的長，從而

h=EP=(m-3)-(m2-2m-3)=-m2+3m,

圖6 圖7

h=FQ=|(n-3)-(n2-2n-3)|=|-n2+3n|，

易求得S△BCD=3，從而

在此小題中，點F不一定在線段BC上(即點F不一定在點Q上方)，故FQ=|(n-3)-(n2-2n-3)|=|-n2+3n|.事實上，當(dāng)點F不在線段BC上時(如圖8)，

S△BCQ=S△BGF-S△BGQ-S△QFC=

圖8 圖9

3 割補法的解法應(yīng)用

通過上述解題論證不難發(fā)現(xiàn)，割補法在求解拋物線內(nèi)接三角形面積問題時都可以適用.

例2如圖9，拋物線的頂點坐標(biāo)為C(1，4)，交x軸于點A(3，0)，交y軸于點B.

1)求拋物線的解析式和△CAB的面積.

分析1)如圖9，易得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，從而點B的坐標(biāo)為(0，3)，進而可得直線AB的解析式為y=-x+3.過點C作CD∥y軸交AB于點D,得點D的坐標(biāo)為(1,2).在△CAB中，水平寬a=3，鉛垂高h=2，于是

圖10

2)如圖10，因為點P在拋物線上，所以可設(shè)P(m,-m2+2m+3).過點P作PG∥y軸交AB于點G,得點G的坐標(biāo)為(m,-m+3).在△PAB中，水平寬a=3，鉛垂高

h=|-m2+2m+3-(-m+3)|=|-m2+3m|，

4 結(jié)束語

數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，必然有其規(guī)律可循.筆者通過詳細講解割補法在求解拋物線內(nèi)接三角形面積問題中的應(yīng)用，目的就是尋找這種規(guī)律性.作為一線教師，在平常的教學(xué)過程中，不能滿足于向?qū)W生生硬地灌輸課本知識，而是要通過對規(guī)律的探究，使學(xué)生不僅知其然，還要知其所以然.割補法在實際應(yīng)用中千變?nèi)f化，只有對其作進一步地提煉，如文中所探討的“引入‘水平寬’和‘鉛垂高’的概念”，從而將這種割補法以公式的形式固定下來.只有這樣才能使學(xué)生掌握割補法的要義，也才能使學(xué)生以不變應(yīng)萬變，靈活應(yīng)用，提高解題的效率和正確率.

[1] 余獻虎，邵婉.分析法——解決數(shù)形結(jié)合型幾何問題的有效策略[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(10)：37.

[2] 王漢超.與拋物線的內(nèi)接三角形面積有關(guān)的中考題[J].數(shù)學(xué)大世界:初中版，2002(3)：32-33.

[3] 湯列.拋物線內(nèi)接三角形面積的最大值問題的解法探究[J].數(shù)理化解題研究:初中版，2015(5)：41-42.

1)求橢圓的標(biāo)準方程;

2)若k1+k2=0，求實數(shù)k的值.

從而

2)①當(dāng)0

得

(16+25k2)x2-150k2x+225k2-400=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

由y1=k(x1-3),y2=k(x2-3),得

故

③當(dāng)k不存在時，此時斜率k1,k2均不存在，不合題意.

通過研究筆者發(fā)現(xiàn):點P正好是過右焦點作垂直于x軸的直線與曲線的交點(位于x軸上方)，而所求k正好是離心率，并發(fā)現(xiàn)這不是巧合.

對于第2)小題可作如下變式推廣.

解1)當(dāng)0

得 (b2+a2k2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

又

解得

kPA+kPB=-2e.

3)當(dāng)k不存在時，斜率kPA,kPB均不存在，不合題意.

解1)當(dāng)0

得 (b2-a2k2)x2+2a2k2cx-a2k2c2-a2b2=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

又

解得

kPA+kPB=2e.

3)當(dāng)k不存在時，斜率kPA,kPB均不存在，不合題意.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

于是

2k-m=-2,

即

2)當(dāng)k=0時，A(0,0)，點B不存在，則kPA=-2，kPB不存在.

3)當(dāng)k不存在時，斜率kPA,kPB均不存在，不合題意.

以上就是對這道賽題的一般推廣，請讀者批評指正.

參考文獻

[1] 丁龍云.2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽[J].中等數(shù)學(xué),2016(11):21-27.

2017-03-29；

2017-04-30

陳 巧(1986-)，女，浙江杭州人，中學(xué)二級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

：A

：1003-6407(2017)07-46-03