蔣高揚(yáng)

浙江省縉云縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)

【摘 要】《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將幾何直觀作為十個(gè)核心概念之一，充分體現(xiàn)了幾何直觀的價(jià)值。而幾何直觀的形成需要一個(gè)逐步的過程，本文試圖就“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，依托圖形的引導(dǎo)和構(gòu)建，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力的目的。

【關(guān)鍵詞】圖形表征；幾何直觀；策略

幾何直觀是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增加的核心概念之一，主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用，它不僅存在于“圖形與幾何”教學(xué)之中，而且更廣泛地運(yùn)用于其他領(lǐng)域內(nèi)容的學(xué)習(xí)中。其價(jià)值由此可見一斑，因此教師應(yīng)當(dāng)注重對學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)。

憂：幾何直觀培養(yǎng)的課堂失落

在我校五年級一次數(shù)學(xué)測試中，有這樣一道題：一桶油，連桶稱共30千克，倒出一半的油，連桶稱還有16千克。原來桶里的油有多少千克？桶重多少千克？

就是這樣一道數(shù)量關(guān)系并不復(fù)雜的題目，正確率極低。筆者對八個(gè)班491位同學(xué)的解答情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)匯總，結(jié)果如下：沒畫圖解答錯(cuò)誤有333人，占67.8%；沒畫圖解答正確有102人，占20.8%；畫圖解答錯(cuò)誤有5人，占1.0%；畫圖解答正確有51人，占10.4%。從統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)：很多學(xué)生難以找到解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，個(gè)別學(xué)生只是“跟著感覺”對數(shù)據(jù)特征進(jìn)行拼湊，而說不清數(shù)量之間的關(guān)系，更不能從“連桶稱油”前后的質(zhì)量變化中體會到桶質(zhì)量的不變。絕大部分學(xué)生主動畫圖意識淡薄，用圖分析問題的習(xí)慣較差。

此次統(tǒng)計(jì)雖不能涵蓋每一位學(xué)生的情況，卻也能看出當(dāng)前幾何能力培養(yǎng)“課堂失落”的現(xiàn)狀。在學(xué)生解答碰到困難時(shí)為什么不畫圖，是想不到畫圖還是不會畫圖呢？帶著這些疑問，筆者對本校的部分?jǐn)?shù)學(xué)教師課堂教學(xué)情況進(jìn)行了調(diào)研，旨在透視和剖析其背后的原因，以期實(shí)現(xiàn)促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力發(fā)展，提升直觀素養(yǎng)。調(diào)查發(fā)現(xiàn)：教師培養(yǎng)幾何直觀的“行為現(xiàn)狀”與“理念境界”差距較大，學(xué)生的幾何直觀意識不容樂觀，導(dǎo)致教學(xué)效果低微，有時(shí)甚至失效。主要存在以下幾種情況：

現(xiàn)象一：只用課件，缺乏體驗(yàn)

很多教師的課堂過度依賴課件，特別是一些需要?jiǎng)邮植僮鞯囊灿谜n件演示替代，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動缺乏實(shí)踐的體驗(yàn)，這不利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)概念和結(jié)論。

現(xiàn)象二：只是直觀，忘了抽象

教學(xué)四年級下冊“乘法分配律”的例題：短袖衫每件32元，褲子每條45元，夾克衫每件65元。買5件夾克衫和5條褲子，一共要付多少元？有些教師利用下面圖1，引導(dǎo)學(xué)生從例題的兩種解法獲得等式（65+45）×5=65×5+45×5。通過比較、舉例驗(yàn)證、用字母表示規(guī)律。

這樣教學(xué)，上圖僅僅是為了呈現(xiàn)兩種解法的思路，也就是用圖描述的是兩種解法，并不是所要學(xué)的乘法分配律。大家知道，學(xué)生獲得對乘法分配律含義的理解，關(guān)鍵在于由生活情境向運(yùn)算本質(zhì)進(jìn)行抽象。

現(xiàn)象三：只有單一，不見多樣

有些教師照搬教科書或者教參上的幾何直觀圖例，可謂圖形單一。他們對幾何直觀進(jìn)行了片面解讀，只有“分析”（利用圖形分析問題），沒有“描述”（運(yùn)用圖形描述問題），使得幾何直觀也“單一”起來。如北師大版五年級下冊“異分母分?jǐn)?shù)加減法”，教學(xué)時(shí)，通常是讓學(xué)生根據(jù)題意列出算式，帶著“該怎樣算”的問題，分組進(jìn)行折紙、涂色等操作。討論從而明確：計(jì)算時(shí)，先通分，把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)。問題是，學(xué)生通過折紙涂色獲得的是算法，而沒有將新知納入原有認(rèn)知系統(tǒng)之中，沒有把異分母分?jǐn)?shù)加減與整數(shù)加減、小數(shù)加減建立起實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，缺乏本質(zhì)認(rèn)識。

記下這一組課例，不難看出，膚淺的課堂暴露了眾多的問題，畫圖成了負(fù)擔(dān)，導(dǎo)致教學(xué)效果低微，有時(shí)甚至失效，這已成為制約課堂教學(xué)質(zhì)量不提升的瓶頸，因此培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力迫在眉睫，成為廣大一線數(shù)學(xué)教師重新審視與思考的問題。本文擬從“數(shù)與代數(shù)”這個(gè)領(lǐng)域教學(xué)中做了以下探索：

行：幾何直觀培養(yǎng)的策略探尋

由于小學(xué)生的思維正處于直觀形象思維的階段，為了較好地解決“抽象性”與“形象性”之間的矛盾，圖形在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中能發(fā)揮獨(dú)特的作用。教師應(yīng)該通過對數(shù)學(xué)圖形的導(dǎo)學(xué)、分析和構(gòu)造，培養(yǎng)學(xué)生主動使用圖形的意識和習(xí)慣，有效理解概念，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握方法，從而促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展。

（一）“圖導(dǎo)”——“圖形語言”現(xiàn)本質(zhì)

“圖導(dǎo)”就是根據(jù)教材中提供的圖，指導(dǎo)學(xué)生看圖、讀圖、用圖，挖掘圖中的信息，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)服務(wù)。

圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，也有助力于我們理解和記憶得到的結(jié)果。能力的培養(yǎng)取決于價(jià)值的認(rèn)同，教學(xué)中我們應(yīng)該積極，讓學(xué)生體會幾何直觀的價(jià)值與作用。例如，教學(xué)“王大媽有一些雞蛋，第一天賣出全部雞蛋的一半多2個(gè)，還剩16個(gè)雞蛋，王大媽原來有多少個(gè)雞蛋？”很多學(xué)生往往會這樣解決：（16-2）×2?？梢詥l(fā)學(xué)生畫出如下的示意圖：

在畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生將題目中的數(shù)量關(guān)系與直觀圖形的意義對應(yīng)起來，找到正確的解題思路，初步體會示意圖對解決問題的作用。列式解答后，讓學(xué)生看圖解釋每一步算式的含義，再一次借助圖形直觀闡釋數(shù)量關(guān)系的含義，理解列式的依據(jù)。學(xué)生在這一過程中充分體會幾何直觀的價(jià)值。

在日常教學(xué)中，我們應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫圖時(shí)盡量畫，其實(shí)質(zhì)是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計(jì)算、證明等數(shù)學(xué)的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維，便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律、得出結(jié)論。

（二）“圖構(gòu)”——“直覺觀念”現(xiàn)理性

策略一：童畫示例，激活圖構(gòu)“原動力”

學(xué)生的圖畫具有兒童化的直觀示例作用，清晰地呈現(xiàn)出指向問題解決的“思維地圖”，它使隱性的知識顯性化，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，將理性的抽象思維過程形象化，有助于學(xué)生打開思維的大門，培養(yǎng)直觀意識與能力，提升直觀素養(yǎng)。在教學(xué)北師大版五下《分?jǐn)?shù)乘法》時(shí)，我進(jìn)行了有益的嘗試。

可見，畫圖可將情境轉(zhuǎn)釋，幫助我們理解情境，將這些關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)語言、生活語言等形式的轉(zhuǎn)換，分析尋找思路，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維實(shí)現(xiàn)了感性向理性的跨越。童畫示例，較之教師親自范畫，其特有的親切感，更接地氣，更容易成為激發(fā)高參與率的原動力。

策略二：大膽想象，創(chuàng)生圖構(gòu)“成長力”

幾何直觀，其本質(zhì)就是一種通過圖形所展開的數(shù)學(xué)想象能力。聯(lián)想和想象是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的重要手段。

計(jì)算題和圖形看似沒有任何關(guān)系，但將分?jǐn)?shù)加法轉(zhuǎn)化成圖形表示后，不僅避開了復(fù)雜的運(yùn)算，還拓展了學(xué)生思維的深度，明白了其中的道理。更為重要的是，豐富學(xué)生的構(gòu)圖體驗(yàn)，激發(fā)并持續(xù)學(xué)生的圖構(gòu)熱情。

思：探尋過程中的一點(diǎn)思考

（一）樹立一種觀念——關(guān)注差異，循序漸進(jìn)

對于幾何直觀，要在不同的教學(xué)內(nèi)容中長期滲透、循序漸進(jìn)。教師首先要鼓勵(lì)學(xué)生以個(gè)性化地方式來記錄自己的思維，鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度思考同一個(gè)問題；然后教師再引導(dǎo)學(xué)生對方法進(jìn)行對比與優(yōu)化，并發(fā)現(xiàn)不同方法之間的區(qū)別和聯(lián)系；教師還要注意一個(gè)“度”的把握問題：學(xué)生個(gè)性化的方法和準(zhǔn)確、簡潔、去情境、去細(xì)節(jié)、高度抽象的數(shù)學(xué)方法之間，何時(shí)過渡？怎么過渡？過渡到什么程度？教師要在學(xué)生的個(gè)性化方法和數(shù)學(xué)的通法之間、在學(xué)生的想象和數(shù)學(xué)的理性思考之間穿梭往返，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

（二）強(qiáng)化一種認(rèn)識——“需”直觀而非“須”直觀

圖形的導(dǎo)學(xué)可以為學(xué)生形成幾何直觀能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而圖形的構(gòu)建從另一個(gè)方面體現(xiàn)了幾何直觀方法的實(shí)際運(yùn)用，兩者的辯證關(guān)系在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中得到了完美的呈現(xiàn)，但是，圖形是學(xué)生思維的腳手架。我們也應(yīng)該注意到，由數(shù)轉(zhuǎn)形的方法雖好但不容易想到，所以我們不能盲目地使用“直觀”。可見，圖形表征之“鋒利”需要體現(xiàn)在“刀口”上，才能真正發(fā)揮其特殊功用。

我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該行進(jìn)在“圖導(dǎo)”走向“圖構(gòu)”的路上，通過適度的“圖導(dǎo)”和巧妙的“圖構(gòu)”，適當(dāng)?shù)匕l(fā)揮圖形的教學(xué)潛能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版），北京師范大學(xué)出版社，2012年

[2]《江蘇教育》，2015年第7——11期