付長(zhǎng)兵

【摘要】類比推理是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要方法.它與歸納推理和演繹推理并重，是高考中的核心考向.教師要引導(dǎo)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中通過(guò)觀察、分析和聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比，提出猜想，找到合適的類比對(duì)象，順利地解決問(wèn)題，提高能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；類比推理；對(duì)比

類比推理需要學(xué)生做到由此及彼，根據(jù)已知的知識(shí)來(lái)探究未知的知識(shí)，找到知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律和方法，形成自己的結(jié)論，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)能力的提高.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生采用類比推理的方式來(lái)解決問(wèn)題有利于學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維，建構(gòu)自己的知識(shí)框架，尋找規(guī)律，進(jìn)而接受新知識(shí)，掌握新方法.

一、類比定理，體會(huì)數(shù)學(xué)性質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的定理是非常多的，通過(guò)對(duì)于定理的學(xué)習(xí)和掌握有利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)規(guī)律，方便學(xué)生的解題和對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).教師要引導(dǎo)學(xué)生尋找定理中的相似之處，把知識(shí)進(jìn)行拓展和延伸，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行由此及彼的思考和探究，進(jìn)而找到規(guī)律，做出猜想，提高自己的思維能力.例如，在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，則有a=bcosC+ccosB，試類比以上定理，給出三維空間四面體性質(zhì)的猜想.在分析問(wèn)題中，學(xué)生就可以利用類比的思想來(lái)探究問(wèn)題，首先學(xué)生可以畫(huà)圖，

在四面體P-ABC中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB、面PBC、面PCA與底面ABC所成角的大小，猜想其結(jié)論為S=S1cosα+S2cosβ+S3cosγ.通過(guò)運(yùn)用類比的思想，學(xué)生的思維變得更加開(kāi)闊，在“求同”中逐步地學(xué)會(huì)“存異”，使學(xué)生的思維活躍，可以進(jìn)行聯(lián)想和歸納，找到相似的之處，進(jìn)而更深刻地理解數(shù)學(xué)性質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)解題方法和技巧，提高自己的綜合學(xué)習(xí)能力.

二、類比結(jié)論，實(shí)現(xiàn)舉一反三

數(shù)學(xué)中的很多結(jié)論學(xué)生是可以直接來(lái)運(yùn)用的，只要學(xué)生能夠理解其中包含的數(shù)學(xué)知識(shí)和規(guī)律就可以靈活地應(yīng)用，達(dá)到舉一反三的程度，在解題過(guò)程中表現(xiàn)出超常的表現(xiàn)和驚人的思維能力.學(xué)生不僅要掌握解題過(guò)程中得到的結(jié)論，同時(shí)還要善于進(jìn)行發(fā)散思維和拓展想象，把數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行巧妙的變化，實(shí)現(xiàn)規(guī)律的變通，在解決問(wèn)題中做到輕松應(yīng)對(duì)，觸類旁通.例如，教師提供練習(xí)題：已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若am=a，an=b（n-m≥1，m，n∈N+），則am+n=nb-man-m.類比等差數(shù)列{an}的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列{bn}（bn>0，n∈N+），若bm=c，bn=d（n-m≥2，m，n∈N+），則可以得到bm+n等于多少？學(xué)生在類比中要注意等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}類比時(shí)，等差數(shù)列的公差對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的加減法運(yùn)算對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的乘除法運(yùn)算，等差數(shù)列的乘除法運(yùn)算對(duì)應(yīng)等比數(shù)列中的乘方開(kāi)方運(yùn)算.這是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列問(wèn)題中的一個(gè)通用的結(jié)論，學(xué)生要善于總結(jié)歸納，并在解決過(guò)程中靈活應(yīng)用.在對(duì)于本題的分析中，學(xué)生可以設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q.因?yàn)閍n=a1+（n-1）d，bn=b1qn-1，am+n=nb-man-m，所以類比得bm+n=（n-m）dncm.通過(guò)對(duì)于結(jié)論的類比，學(xué)生的思維會(huì)變得更加開(kāi)闊.學(xué)生要注意在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，而且要注意找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素.如，三角形對(duì)應(yīng)三棱錐、圓對(duì)應(yīng)球、面積對(duì)應(yīng)體積等等.同時(shí)，要找到對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如，兩條邊垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直、邊相等對(duì)應(yīng)面積相等.學(xué)生掌握了這些規(guī)律會(huì)深化自己的理解和認(rèn)識(shí)，靈活地對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行類比和比較，形成深刻的認(rèn)識(shí)，靈活地應(yīng)用知識(shí).

三、類比方法，總結(jié)解題規(guī)律

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中，方法是最為重要的.教師在對(duì)學(xué)生進(jìn)行教學(xué)的過(guò)程中要學(xué)會(huì)方法的引導(dǎo)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行“授之以漁”的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生掌握知識(shí)，學(xué)會(huì)解決方法，形成自己的思路，進(jìn)而提高能力.例如，學(xué)習(xí)了基本不等式的知識(shí)后，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生去歸納總結(jié)，通過(guò)類比和比較的方式總結(jié)出求最值的方法.在類比和比較中，學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到“常數(shù)代換法”是解決這類問(wèn)題最為常用的方法.這個(gè)方法就是利用已知等式的變形以及代數(shù)式與“1”的積、商都是自身的性質(zhì)，通過(guò)代數(shù)式的變形構(gòu)造和式或積式為定值，然后利用基本不等式求解最值的方法.此種方法適用于已知兩變量之間的和或積為常數(shù)時(shí)有關(guān)代數(shù)式的最值求解問(wèn)題.這類問(wèn)題的基本解題步驟就是：首先，換常數(shù)，把已知條件中的等式變形為“1”的表達(dá)式；其次，精化簡(jiǎn)，把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘求積或相除求商，通過(guò)變形構(gòu)造和或積的定值；再次，是求最值，利用基本不等式求解最值；最后，就是回顧反思，常數(shù)代換法求解最值的關(guān)鍵在于常數(shù)的變形應(yīng)用.利用這種方法求解最值應(yīng)注意三個(gè)方面：首先，是條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)是基礎(chǔ)；其次，是已知等式化成“1”的表達(dá)式，是代數(shù)式等價(jià)變形的基礎(chǔ)；最后，利用基本不等式求解最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”的檢驗(yàn)，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)解.學(xué)生在類比中總結(jié)出了這些規(guī)律就會(huì)輕松地應(yīng)對(duì)此類相關(guān)問(wèn)題，做到胸有成竹，游刃有余.

四、類比公式，強(qiáng)化理解記憶

牢固記住數(shù)學(xué)公式，才能夠靈活熟練地應(yīng)用.教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用類比的方式來(lái)進(jìn)行記憶，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于公式的理解和掌握.比如，在學(xué)習(xí)圓臺(tái)的側(cè)面積公式時(shí)，教師就可以根據(jù)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的梯形面積公式進(jìn)行類比，幫助學(xué)生對(duì)于圓臺(tái)公式的記憶和掌握.梯形公式是學(xué)生所熟悉的，（上底+下底）乘高除以2，其中上底指圓臺(tái)上底面圓的周長(zhǎng)，下底指圓臺(tái)下底面圓的周長(zhǎng)，高指圓臺(tái)的母線長(zhǎng).通過(guò)把它們之間的相似之處進(jìn)行類比，能夠幫助學(xué)生的記憶，方便學(xué)生的理解，實(shí)現(xiàn)學(xué)生牢固地掌握公式，久久不忘.

總之，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師要學(xué)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比推理，引導(dǎo)學(xué)生思維方式和思維方法，促進(jìn)學(xué)生在思考中掌握方法，提高能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的提高.