王良珍

摘要：圖形變換問題是研究幾何圖形的運動中，伴隨著圖形位置和數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”，以及解決問題的類似性和延伸性。就其運動對象而言可分為點動、線動、面動，就其運動形式而言有平移、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)、滾動等。這是近幾年來中考命題的熱點。本文從旋轉(zhuǎn)的角度讓學(xué)生養(yǎng)成在題目圖中注明解決問題的不變性的信息的習(xí)慣，從動手操作為解決變換問題創(chuàng)設(shè)解題的情境等方面加以闡述解題的策略。

關(guān)鍵詞：不變性；旋轉(zhuǎn)變化；動手操作；解題策略

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）03-0084

圖形的變換問題往往集幾何、代數(shù)知識于一身，數(shù)形結(jié)合有很強的綜合性，能夠在運動中發(fā)展學(xué)生空間想象能力、綜合分析能力，是近幾年來中考命題的熱點。要解決此類問題，一定要用運動和發(fā)展的眼光觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程。一方面，要注意在圖形變換過程中各個時刻分類畫圖，由“動”變“靜”以“靜”制“動”；另一方面，還要善于抓住在運動過程中某一特殊位置的等量關(guān)系和變量關(guān)系，以及讓學(xué)生動手操作，創(chuàng)設(shè)情境解決問題。

一、從旋轉(zhuǎn)的角度在題目圖中注明不變性的信息

幾何圖形的旋轉(zhuǎn)在教材中以比較簡單的形式呈現(xiàn)，但是很好地歸納了旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)（旋轉(zhuǎn)中心、方向和角度）。這些本質(zhì)是教與學(xué)的依據(jù)，也是題目的主要來源。但在平時教學(xué)過程中往往就題論題，沒有和一些特殊的幾何圖形相結(jié)合，也沒有讓學(xué)生通過自己動手操作感受和體會旋轉(zhuǎn)變化過程中的本質(zhì)以及那些不變的量，或者是潛在相等的量。其實，很多題目只要動手畫畫，把一些不變的量找到并標(biāo)注出來就很容易把問題解決。

例1. 圖1、2是兩個相似比為1∶的等腰直角三角形，將兩個三角形如圖3放置，小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合。

（1）圖3中，繞點D旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使兩直角邊分別與AC、BC交于點E、F，如圖4，①求證：DE=DF。②求證：AE2+BF2=EF2；（2）在圖3中，繞點C旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使它與斜邊和CD延長線分別交于點E，點F，如圖5，證明結(jié)論：AE2+BF2=EF2仍成立。

分析：習(xí)題“圖1、2是兩個相似比為1∶的等腰直角三角形，將兩個三角形如圖3放置，小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合。（1）圖3中，繞點D旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使兩直角邊分別與AC、BC交于點E、F，如圖4。

（1）①連接CD，得出AD=CD，求出∠1=∠3，證出△CDF≌△ADE即可；

②由△CDF≌△ADE得出AE=CF，同理證△CED≌△BFD，推出BF=CE，在△CEF中根據(jù)勾股定理得出CE2+CF2=EF2，代入求出即可；

（2）把△CFB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CGA，如圖5連接GE，求出∠GCE∠ECF，CG=CF，根據(jù)SAS證△CGE≌△CFE，推出GE=EF，根據(jù)勾股定理求出即可。

此題不管圖形怎么旋轉(zhuǎn)變化，永遠(yuǎn)找到兩個全等的三角形得到相等的邊與角，通過等量代換解決問題。在旋轉(zhuǎn)的過程中很多量是不變的，只要讓學(xué)生把這些不變的量找到并標(biāo)注出來，從簡單的圖形中找到解題方法，后面復(fù)雜的問題遵從這些不變性，可以讓學(xué)生充分挖掘題中的內(nèi)涵和外延，把一些看似很難的題目變得很容易找到解題方法。且此類問題證明思路也是不變的，常常把已知條件往一個三角形中搬。如下面例2：

例2. 如圖，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是AB上的兩個點，且AD=6，BE=8，∠DCE=45°，則DE的長為（ ）

分析：作∠1=∠2，并截取CF=CD，連接BF，EF。

則△ADC≌△BCF，∴BF=AD=6，∠CBF=∠A=45°，∴∠EBF=∠ABC+∠CBF=90°，

∴在直角△BEF中， ， ∴ EF=10，

∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，∴∠2+∠BCE=45°，

又∵∠1=∠2，∴∠ECF=45°，∴∠DCE=∠ECF，

又∵DC=CF，CE=CE

∴△DCE≌△FCE，

∴DE=EF=10。

二、動手操作為解決對稱問題創(chuàng)設(shè)解題的情境

我國著名特級數(shù)學(xué)教師馬明先生有一句很生動的比喻：教師把知識“拋”得越快，學(xué)生忘得越快。教得多并不意味著學(xué)得也多，有時教得少反而學(xué)得多。究其原因，是學(xué)生缺乏對數(shù)學(xué)知識的主動的建構(gòu)過程。以“學(xué)”為中心的教學(xué)是在教師的介入下，學(xué)生自立地、合作地進行活動，這才是學(xué)校中“學(xué)習(xí)”的本質(zhì)。以“學(xué)”為中心的課堂，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師應(yīng)在其中擔(dān)當(dāng)好引導(dǎo)的角色，要為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)良好的知識生成情境，要讓學(xué)生投身到知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用中，為學(xué)生的知識生成做好充分的預(yù)設(shè)，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。

例3. 浙教版八年級下6.2.2菱形的判定的教學(xué)

菱形的判定這一課時，筆者通過四個操作，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)、歸納、驗證以及應(yīng)用過程。讓學(xué)生自然生成菱形的判定及折疊中難點的突破。

操作1： 取一張長方形紙片，按下圖的方法對折兩次，并沿圖（3）中的斜線剪開，把剪下的①這部分展開，平鋪在桌面上。

議一議：（1）觀察展開的四邊形中，“剪痕”“折痕”分別是什么？它們分別有什么關(guān)系？（2）展開的四邊形是哪一種四邊形？（3）一個四邊形或平行四邊形應(yīng)該具備什么條件，就可以判定它是菱形？

問題1的“剪痕”正是剪下四邊形的四邊，“折痕”正是剪下四邊形的對角線，追問它們的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生生成“四邊都相等”“對角線互相垂直平分”，這些正是菱形的特性。

問題2中引導(dǎo)學(xué)生逆向思維猜想是什么四邊形，并利用菱形的定義說理。

問題3則在前面猜想的基礎(chǔ)上讓學(xué)生猜想可以作為菱形判定的條件，鼓勵學(xué)生生成各種各樣的添法如：①四邊都相等的四邊形；②四邊都相等的平行四邊形；③對角線互相垂直的平行四邊形；④對角線互相垂直平分且四邊相等的四邊形等。

教師則從矩形判定定理的發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從最簡潔的條件出發(fā)進行推理驗證。筆者對課本議一議的問題作了改進，更加突出折疊、裁剪中的特殊性，而它們的關(guān)系也正是菱形的特性，正是判定菱形所需添加的必備條件。通過折疊、裁剪等實驗操作，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的實驗、猜想、驗證的生成過程，參與到知識的發(fā)現(xiàn)中獲得成功的體驗。通過對猜想的論證，體現(xiàn)了直觀操作與邏輯推理的有機結(jié)合，讓學(xué)生進一步認(rèn)識邏輯推理的必要性， 突出了教學(xué)的重點。在學(xué)生的猜想中生成菱形的判定定理，更好地體現(xiàn)了以學(xué)為中心的思想，讓學(xué)生獲得更多的體驗。

操作2：將等腰△ABC，沿著底邊BC向下翻折得到像△A′BC。畫完后得到四邊形ABA′C，判斷四邊形ABA′C是什么四邊形并證明。

操作3：畫一個菱形，使它的兩條對角錢的長分別為2cm和4cm。并說明其中的道理。

這里通過兩個簡單的操作和說理，讓學(xué)生在操作和說理中掌握菱形的兩種判別方法的應(yīng)用和書寫，達到學(xué)以致用的目的，進一步加深對兩條判定的應(yīng)用意識。同時，啟發(fā)學(xué)生由菱形的判定生成畫菱形的常用方法。

操作4：將準(zhǔn)備好的矩形紙片沿對角折出一條對角線AC，再折疊矩形紙片，使得點C與點A重合，折痕為EF，連接AF、CE。判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由。

操作4是由課本的例題改編而來，改變了題目的呈現(xiàn)形式。折疊中線段的大小和位置關(guān)系是學(xué)生分析和解題的一個難點，通過讓學(xué)生體驗圖形的產(chǎn)生過程，感受AC被EF垂直平分，也可操作驗證EF被AC垂直平分。再通過推理證明，強化了判定定理的應(yīng)用。

三、平移變換為解決實際問題提供轉(zhuǎn)化的背景

教師必須清楚地認(rèn)識到數(shù)學(xué)教學(xué)是一種“過程教學(xué)”，它既包括了數(shù)學(xué)新知識的發(fā)現(xiàn)、形成、發(fā)展的過程，也包括了教師學(xué)生的思維過程。因此，教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)該從不同的方向引導(dǎo)學(xué)生思考問題，思考過程中想到哪些方法，用一種比較簡單的方法去解決實際問題；若在多種解法的情況下，應(yīng)該反思選擇哪種解法為好，這種方法好在哪里等。

例4. （八年級數(shù)學(xué)第四冊同步練）某中學(xué)為了美化校園，準(zhǔn)備在長30米，寬20米的長方形場地上，修筑兩條寬度相等且互相垂直的水泥道路，如圖，余下部分作花壇，為了使花壇的總面積為551平方米，問道路的寬為多少米？

分析：多數(shù)同學(xué)會用這樣的解法，即：

矩形的面積-道路的面積=花壇的面積，得到如下的一元二次方程，30×20-（30x+20x-x2）=551。有的學(xué)生粗心大意，沒有減去兩路交叉部分重復(fù)計算的正方形面積x2，而得出錯誤答案30×20-（30x+20x）=551。教師問有沒有其他不同的方法學(xué)生來列式解決問題，經(jīng)過思考討論，學(xué)生得出：

4×每小塊花壇面積=551，即4××=551。

這個式子比前一個式子簡單多了，也避免了用前面方法可能會出現(xiàn)的問題。此時，教師進一步引導(dǎo)學(xué)生觀察式子，發(fā)現(xiàn)：左邊4與分母上的兩個2約去后成為（30-x）與（20-x）的積，教師讓學(xué)生充分地思索30-x、20-x表示什么呢？然后啟發(fā)學(xué)生在黑板上作如右圖的平移，學(xué)生的思路豁然開朗。

因此，教師在引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生分析問題、探索問題的過程中，不僅暴露了思維分析的整個過程，而且用運動的觀點，啟發(fā)學(xué)生靈活地解決問題，既培養(yǎng)了學(xué)生思考分析問題的創(chuàng)新思維，又體驗了從一般到特殊、從靜止到運動的解題途徑。

由此，學(xué)生也可以輕松解決如下圖中兩種圖形求“道路的寬度”的問題。

這樣的試題分析和操作，有利于學(xué)生真正把數(shù)學(xué)知識學(xué)活、用活，用腦子做題；既有利于教師進一步研究教材教法，更有利于引導(dǎo)學(xué)生對思維薄弱環(huán)節(jié)的學(xué)法思考，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識和能力。

綜上所述，在實施素質(zhì)教育的今天，既要全面落實“減負(fù)”工作，又要真正做到“減負(fù)不減質(zhì)”，這就要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，立足于學(xué)生學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)，加強對學(xué)生學(xué)法的指導(dǎo)，“改變教學(xué)方法，從教知識變?yōu)榻趟伎肌?，變“結(jié)果教學(xué)為過程教學(xué)”。日常教學(xué)要起到學(xué)生學(xué)習(xí)方法的示范作用，教給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，努力營造出有利于學(xué)生思維發(fā)展的氛圍，在教學(xué)中滲透并引導(dǎo)學(xué)法幫助、指導(dǎo)學(xué)生研究并掌握學(xué)習(xí)方法。體現(xiàn)“以學(xué)為中心的理念”，在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生探究與發(fā)現(xiàn)，教會學(xué)生反思解題過程、發(fā)現(xiàn)題目的本質(zhì)、體會所包含的數(shù)學(xué)思想，是有助于增強學(xué)生學(xué)習(xí)效果、培養(yǎng)思維能力、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的。本文從數(shù)學(xué)圖形變換的問題談幾點粗淺體會。

參考文獻：

[1] 馮克誠，于 明，吳 霓.課堂學(xué)生學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)全書——數(shù)學(xué)部分[M].北京：國際文化出版社，1996.

[2] 柳 斌.中國著名特級教師教學(xué)思想錄[M].南京：江蘇教育出版社，1996.

[3] 周明星.①教育創(chuàng)新途徑與趨勢——數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)策略[M].②教育創(chuàng)新與應(yīng)試創(chuàng)新——學(xué)習(xí)方法創(chuàng)新[M].北京：中國人事出版社，1999.

（作者單位：浙江省嘉興市南湖區(qū)鳳橋鎮(zhèn)中學(xué) 314000）