哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 馮 宇

“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 馮 宇

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用較普遍，且效果較好。數(shù)形結(jié)合，即結(jié)合數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單直觀幾何圖形、位置關(guān)系與抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言的密切聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)“以形助數(shù)”、“以數(shù)解形”的目標(biāo)，提高數(shù)學(xué)解題效率。在高中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用尤其頻繁。

數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)；解題；應(yīng)用

如今，隨著我國(guó)教育制度的嚴(yán)格化，高中數(shù)學(xué)題目開(kāi)始抽象化，僅想從數(shù)方面解決問(wèn)題很難。因此，在實(shí)際的數(shù)學(xué)解題分析當(dāng)中，要想促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與運(yùn)用，必須將抽象的知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單化與直觀化。而數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用能實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，能幫助學(xué)生分析和解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高高中數(shù)學(xué)解題效率。本文主要探討“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用。

一、“數(shù)形結(jié)合”在高中數(shù)學(xué)解題中能解決的問(wèn)題分析

1.集合問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中，集合問(wèn)題是最基本的，在實(shí)際解決該類問(wèn)題時(shí)，往往需要運(yùn)用數(shù)軸及Venn圖，科學(xué)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，促進(jìn)抽象問(wèn)題的簡(jiǎn)單化，幫助學(xué)生快速而正確地解決問(wèn)題。

例：假設(shè)有兩個(gè)集合：M={（x，y）︳x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）x2-y=0，x∈R，y∈R}，求集合M∩N中的具體元素?cái)?shù)量。（答案應(yīng)為2個(gè)）

分析：通常來(lái)說(shuō)，如果依靠單純數(shù)量關(guān)系解題的話，往往運(yùn)用這種思想與方法：x2+y2=1，x2-y=0，在聯(lián)立這兩大方程之后能夠形成方程組，解答方程組以后，能得到x2+x4-1=0。通過(guò)這種方式可以得出x的值，進(jìn)而求出y值。該解題步驟較多，過(guò)程復(fù)雜，所需時(shí)間多，解題效率低。但在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想之后，就能在多次審題后得出x2+y2=1這個(gè)方程式，可以準(zhǔn)確地表示圓，x2-y=0可以表示拋物線，將這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓和拋物線之間的多個(gè)交點(diǎn)，其中圓用x2+y2=1表示，拋物線用x2-y=0表示。運(yùn)用這種數(shù)形結(jié)合的模式方法，可以在繪圖的基礎(chǔ)上得出準(zhǔn)確答案，不需要復(fù)雜的計(jì)算，且解題效率比較高。

2.函數(shù)問(wèn)題

在方程問(wèn)題的解答過(guò)程中，能轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)之間的問(wèn)題；不等式問(wèn)題可能結(jié)合題干要求與相關(guān)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，研討幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，從圖形中得出正確結(jié)果。

例：在x∈（0，2π）這個(gè)區(qū)間內(nèi)，方程sin2x=sinx的解有多少個(gè)？（答案應(yīng)為3個(gè)）

分析：若運(yùn)用單純解題方法，解題過(guò)程為：結(jié)合sin2x=2sinxcosx=sinx，可知2cosx=1，根據(jù)題目要求x∈（0，2π）可得出答案，即得方程sin2x=sinx的解有3個(gè)。雖然這種方法可行，但需一次性計(jì)算，容易由于疏忽而遺漏有效答案。而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，在相同坐標(biāo)系中繪出兩個(gè)三角函數(shù)的圖象，進(jìn)而觀察圖象，就能快速得出正確答案。

3.線性規(guī)劃問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)題目當(dāng)中，線性規(guī)劃問(wèn)題即受一系列條件的約束，求目標(biāo)函數(shù)最值。在線性規(guī)劃問(wèn)題的解決過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用最廣泛，通過(guò)觀察圖形找思想，就能實(shí)現(xiàn)抽象問(wèn)題的簡(jiǎn)單化與具體化。

4.數(shù)列問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中，可將數(shù)學(xué)看成一個(gè)特殊函數(shù)。在實(shí)際解決數(shù)列問(wèn)題的過(guò)程中，應(yīng)科學(xué)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象，通過(guò)直觀分析得出結(jié)果。

5.絕對(duì)值問(wèn)題

在絕對(duì)值問(wèn)題解答過(guò)程中，可結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，將該問(wèn)題轉(zhuǎn)換到直觀的數(shù)軸上，結(jié)合絕對(duì)值性質(zhì)明確相應(yīng)的解題范圍，最終求出絕對(duì)值。

例：已知∣x∣＞a，（a＞0），求x的取值范圍。

分析：可結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想方法轉(zhuǎn)換為數(shù)軸，如圖1，進(jìn)而結(jié)合絕對(duì)值性質(zhì)，即兩點(diǎn)之間的距離，求出x的取值范圍，即x＜-a或x＞a。

圖1

6.解析幾何與立體幾何問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中，解析幾何與立體幾何問(wèn)題的解決思想，即為數(shù)形結(jié)合思想。在實(shí)際解題過(guò)程中，應(yīng)將點(diǎn)、線、面及曲線性質(zhì)即相互之間關(guān)系的幾何問(wèn)題，轉(zhuǎn)變?yōu)閱渭兊拇鷶?shù)運(yùn)算問(wèn)題，得出正確結(jié)果。

二、“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用的改進(jìn)方法

1.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，理解數(shù)學(xué)概念

要想有效地解決高中數(shù)學(xué)題，首先必須熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念，不然容易在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理等時(shí)感到吃力。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法理解基礎(chǔ)概念，能實(shí)現(xiàn)學(xué)生感性思維到理性思維的有效轉(zhuǎn)變，促進(jìn)學(xué)生對(duì)事物本質(zhì)的理解，與此同時(shí)，還能幫助學(xué)生在解題當(dāng)中科學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與概念。

2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，分析數(shù)學(xué)例題

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過(guò)案例分析，能促使學(xué)生掌握新的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。此外，在數(shù)學(xué)例題分析當(dāng)中，通過(guò)合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，能幫助學(xué)生快速學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。比如學(xué)生在解答幾何問(wèn)題時(shí)，可將其中的語(yǔ)言翻譯為幾何知識(shí)，繪出圖形，進(jìn)行下一步的計(jì)算。

3.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，解決實(shí)踐類問(wèn)題

要想提高學(xué)生的解題能力，必須引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，多解決一些實(shí)踐類問(wèn)題。與此同時(shí)，要激發(fā)出學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣與積極性，促使學(xué)生主動(dòng)認(rèn)知數(shù)學(xué)知識(shí)，在反復(fù)練習(xí)的基礎(chǔ)上掌握數(shù)形結(jié)合思想本質(zhì)，加快解題速度，節(jié)省解題時(shí)間。

4.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)多元化解題思路

圖形直觀性很強(qiáng)，因此，學(xué)生在解題當(dāng)中可通過(guò)圖形觀察解決抽象問(wèn)題，解決解題思想局限性問(wèn)題。學(xué)生必須有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合解題意識(shí)，注意培養(yǎng)圖形感知能力。同時(shí)，學(xué)生必須認(rèn)真分析題目已知與隱含的要求與條件，確保解題結(jié)果的準(zhǔn)確性與全面性。另外，學(xué)生要結(jié)合圖形明晰題意，科學(xué)轉(zhuǎn)化與整合圖形，逐漸降低問(wèn)題解決難度，且要著重培養(yǎng)自己的空間思維能力。

綜上所述，在實(shí)際的高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法很重要，也很有效，不僅能提高學(xué)生的解題效率，還能培養(yǎng)學(xué)生的解題思維，簡(jiǎn)化高中數(shù)學(xué)問(wèn)題，值得廣泛應(yīng)用與推廣。

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