江蘇省高郵市車邏鎮(zhèn)初級中學(xué) 劉 菲

有效運用數(shù)學(xué)實驗 解決數(shù)學(xué)思維瓶頸
——一道試題中運用數(shù)學(xué)實驗的可行性紀實

江蘇省高郵市車邏鎮(zhèn)初級中學(xué) 劉 菲

董林偉主任對數(shù)學(xué)實驗的概念是這樣界定的：“為獲得某種數(shù)學(xué)理論，檢驗?zāi)硞€數(shù)學(xué)猜想，解決某類數(shù)學(xué)問題，實驗者運用一定的物質(zhì)手段，在數(shù)學(xué)思維活動的參與下，在典型的實驗環(huán)境中或特定的實驗條件下所進行的一種數(shù)學(xué)實踐探索活動。它是通過動手動腦‘做’數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，是學(xué)生運用有關(guān)工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等）在數(shù)學(xué)思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數(shù)學(xué)驗證或探究活動?！蓖ㄟ^數(shù)學(xué)實驗，可以適當降低學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的難度，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進程與學(xué)生的思維水平和經(jīng)驗背景更趨科學(xué)合理。在實驗過程中，學(xué)生可以通過操作與體驗積累基本活動經(jīng)驗，加深對數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟與理解，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，從而形成解決問題的方法，進而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、試題

如圖，一個小圓沿著一個五邊形的邊滾動，如果五邊形的各邊長都和小圓的周長相等，那么當小圓滾動到原來位置時，小圓自身滾動的圈數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.10

在一次考試中，這道試題的得分率非常低，通過方法的引導(dǎo)和點撥，大部分學(xué)生仍無法理解為什么是6周，還會有“5條邊不應(yīng)該是5周嗎”的問題存在，于是教者就想到設(shè)計一個“圓繞著圖形滾動”的數(shù)學(xué)實驗，通過動手操作直觀形象地發(fā)現(xiàn)圓繞著圖形滾動的運動軌跡，從而解決這個問題。

二、實驗設(shè)計

（一）實驗?zāi)康?/p>

經(jīng)歷圓形硬紙片在不同軌道上滾動的操作過程，探究圓在不同軌道上滾動時圓心的路徑及路徑長，提高學(xué)生解決問題的能力。

（二）實驗準備

圓形硬紙片（留有小孔圓心），直尺，可調(diào)節(jié)角度的活動角，三角板。

（三）實驗內(nèi)容與步驟

活動一：在直線上無滑動地滾動圓。

將圓形硬紙片沿著直尺邊緣無滑動地滾動。

（1）描出圓心運動的路徑，觀察此運動路徑是什么圖形？

（2）若圓的半徑為r，圓滾動一周時，圓心運動的路徑長是多少？為什么？

（3）若線段AB＝4πr，則半徑為r的圓從點A無滑動地滾動到點B需轉(zhuǎn)圈；

活動二：在折線上無滑動地滾動圓。

1.將圓形硬紙片沿著可調(diào)節(jié)角度的活動角邊緣無滑動地滾動。（活動角可調(diào)節(jié)為90°，60°，任意角α）

（1）描出圓心運動的路徑，觀察此運動路徑是什么圖形？

（2）①若∠BAC＝90°，角的兩邊AB＝2πr，AC＝2πr，則半徑為r的圓從點B無滑動地滾動到點C需轉(zhuǎn)圈；

②若∠BAC＝60°，角的兩邊AB＝2πr，AC＝2πr，則半徑為r的圓從點B無滑動地滾動到點C需轉(zhuǎn)圈；

③若∠BAC＝α，角的兩邊AB＝2πr，AC＝2πr，則半徑為r的圓從點B無滑動地滾動到點C需轉(zhuǎn)圈。

2.將圓形硬紙片沿著三角板的邊緣無滑動地滾動一圈。

（1）想一想：圓心運動的路徑是什么圖形？

（2）畫一畫：描出圓心運動的路徑，與你的想象是否一致？

（3）算一算：計算半徑為r的圓形紙片滾動一圈圓心運動的路徑長，路徑長與三角板三邊長度之間有何關(guān)系？

（4）思考：如果圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動，圓心運動的路徑又如何？

活動三：在曲線上無滑動地滾動圓。

1.取兩個半徑相等的圓形硬紙片，固定其中一個，另一個沿著其邊緣無滑動地滾動一周。

（1）想一想：圓心運動的路徑是什么圖形？

（2）畫一畫：描出圓心運動的路徑，與你的想象是否一致？

（3）算一算：半徑為r的圓形紙片滾動一周，圓心運動的路徑長與圓形紙片的周長之間有何關(guān)系？

2.任意畫一條曲線，將圓形硬紙片沿著這條曲線的邊緣無滑動地滾動。

（1）想一想：圓心運動的路徑是什么圖形？

（2）畫一畫：描出圓心運動的路徑，與你的想象是否一致？

（3）說一說：圓心運動的路徑長與曲線的長之間有何關(guān)系？

（四）實驗設(shè)計說明

本實驗是為新蘇科版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》九年級上冊第2章“對稱圖形——圓”涉及的問題而設(shè)計的，通過圓在直線上、折線上、曲線上的無滑動地滾動，探究其圓心運動的路徑及路徑長，提高學(xué)生解決問題的能力。首先，通過圓在直線上無滑動地滾動的操作過程，直觀發(fā)現(xiàn)圓心運動路徑的形狀，感受“等距”特征。再通過計算路徑長，弄清圓滾動時圓心運動的路徑和圓移動的距離之間的關(guān)系。然后通過圓在折線上無滑動地滾動的操作過程，先畫后猜想圓心運動路徑的形狀，驗證猜想的正確性，計算路徑長度，并想象與思考圓在三角形內(nèi)部邊緣無滑動地滾動的情形。最后，圓在曲線上無滑動地滾動，感受圓心運動的路徑與曲線的長之間的關(guān)系。

三、實驗感悟

《課標》（2011年版）中明確指出：“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生素養(yǎng)的重要標志。幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要標志，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在‘做’的過程和思的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累的。”本案例中，操作與思考并行，思行結(jié)合的學(xué)習(xí)方式，促成學(xué)生對數(shù)學(xué)的認識從感性向理性飛躍。試想，如果沒有親身體驗，有些學(xué)生就無法理解圓在五邊形上滾動需要6圈，多出的1圈是怎么來的……實驗后，學(xué)生不僅僅理解了以上問題，還有了其他思考：圓在矩形的內(nèi)部沿著邊的邊緣無滑動地滾動會涉及哪些問題？甚至有些學(xué)生都能自己設(shè)計問題。顯然，這些思考成果離不開實驗活動，而實驗活動中的思考又促成了活動經(jīng)驗的積淀。

數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的設(shè)計，不能簡單地受任務(wù)驅(qū)動，僅僅為了讓學(xué)生動手操作而缺乏具有適宜的數(shù)學(xué)思維成分的設(shè)計，否則將難以達成理想的預(yù)設(shè)教學(xué)效果。像這樣的數(shù)學(xué)實驗設(shè)計就順其自然，順應(yīng)學(xué)生的需求，數(shù)學(xué)實驗中有動手操作，也有思維的發(fā)展，一切都順理成章，教學(xué)效果也比較顯著，更重要的是學(xué)生很容易地解決了自己想要解決的問題，成就感油然而生，從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，也提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[1]董林偉．初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的理論與實踐[M].南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2013：6.

[2]錢云祥．數(shù)學(xué)實驗：讓數(shù)學(xué)思考走向深刻[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015.10：4-6.

[3]董林偉主編．義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)實驗手冊九年級全一冊.

【備注：本文系省第11期教研重點課題《初中數(shù)學(xué)實驗課程資源的開發(fā)與利用》（課題編號2015JK11-Z066）的階段性成果之一】

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