筅江蘇省張家港市塘橋高級中學(xué)徐靜

回歸教材，注重開發(fā)
——小議復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)計

筅江蘇省張家港市塘橋高級中學(xué)徐靜

復(fù)習(xí)教學(xué)是怎么上的？從教師設(shè)計的層面來看，筆者發(fā)現(xiàn)一個有趣的規(guī)律：大都年輕的教師，復(fù)習(xí)教學(xué)中問題的難度越大，而且試題的選擇往往千奇百怪，最好是技能超高、難度最大；隨著年齡增大，中年教師往往注重知識的系統(tǒng)性，試題難度并不是越難越好，但是問題的層次性呈現(xiàn)得更為恰當(dāng)；而那些更高水平的名師或特級教師，他們對于問題的設(shè)計往往顯得更返璞歸真，都是以最為簡單通俗易懂的問題切入，循循善誘幫助學(xué)生理解知識、運用知識.

從近年來高考試題的分析來看，命題專家也盡可能以教材試題為基準，進行深度挖掘，從立足教材出發(fā)，通過編制高于教材的試題考查學(xué)生的知識運用能力.因此回歸教材、注重開發(fā)成為近年來教師復(fù)習(xí)教學(xué)的主流設(shè)計思路.

一、以概念為本設(shè)計

數(shù)學(xué)概念是高考命題必考的方向，而概念的考查有不少的層次性，既可以是最基本的概念考查，也可以是概念本質(zhì)的深層次理解，這種考查的復(fù)習(xí)設(shè)計往往需要教師多加以研究并進行復(fù)習(xí)設(shè)計的探索命制.來看一個概念教學(xué)的設(shè)計.

案例（一）《函數(shù)》復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計

設(shè)計1（函數(shù)概念復(fù)習(xí)）：請學(xué)生回顧函數(shù)概念，能否用自己的語言描述學(xué)過的函數(shù)概念？

分析：復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)計要從教材基本概念入手，教師請學(xué)生用自己的語言描述，考慮其知識是否真正掌握，屬于簡單設(shè)計.

設(shè)計2（函數(shù)圖示結(jié)構(gòu)）：請學(xué)生列舉函數(shù)關(guān)系的具體實例和圖像.

分析：進一步考查學(xué)生知識體系中對于函數(shù)實例的掌握程度，主要是讓學(xué)生掌握函數(shù)關(guān)系涉及的是“一對一對應(yīng)和多對一對應(yīng)”，不存在“一對多對應(yīng)”，屬于簡單設(shè)計.

設(shè)計3（概念本質(zhì)挖掘）：存在函數(shù)滿足，對任意x∈R都有_____________.（填寫符合題意的函數(shù)序號）

變式1：函數(shù)y=f（x）的定義域為［-1，1］，求函數(shù)y= f（x+1）的定義域.

變式2：函數(shù)y=f（x-1）的定義域為［-1，1］，求函數(shù)y= f（x+1）的定義域. 4x；④f（sinx）=|x-1|.

分析：利用剛剛回顧的設(shè)計2，考查更深層次的函數(shù)概念理解.利用設(shè)計2考慮怎么樣的對應(yīng)關(guān)系可以上升為函數(shù)關(guān)系？只能是一對一和多對一的對應(yīng)關(guān)系，即這樣的對應(yīng)法則才是函數(shù)法則.從設(shè)計3來說，筆者顯然將問題向前推進了一大步，是典型的基于教材、注重開發(fā)編制后的概念問題.學(xué)生對于設(shè)計3的問題大都顯得不太理解，說明其對于函數(shù)概念的學(xué)習(xí)更多依舊停留在表象.其實筆者對于問題的命制是層層遞進的，編制設(shè)計2恰恰是對設(shè)計3做好鋪墊的.以④為例，不妨令x=0和x=π，則f（0）=1以及f（0）=π-1，顯然對于變量x= 0而言，是一種“一對多”的對應(yīng)關(guān)系，是不可能存在這樣的函數(shù)關(guān)系f（x），其余類似可思考，易得正確答案為②.

設(shè)計4（定義域的復(fù)習(xí)）：函數(shù)概念中涉及函數(shù)三要素，其中最重要的要素是定義域的理解，而定義域的難點在于對抽象函數(shù)定義域的復(fù)習(xí).給出一系列定義域概念的復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計：

變式3：函數(shù)y=f（x）的定義域為［-1，1］，求函數(shù)y= f（x+1）+f（x-1）的定義域.

變式4：函數(shù)y=f（x）的定義域為［-1，1］，求函數(shù)y= f（x+a）+f（x-a）（a∈R）的定義域.

分析：問題1以具體函數(shù)的定義域為切入點，為后續(xù)問題做好鋪墊.引入變式1～4，思考抽象函數(shù)定義域如何求解？主要是兩個角度：第一，定義域到底指的是問題中的什么？第二，整體思想的理解和運用是否到位？有了這樣的設(shè)計，將抽象函數(shù)定義域的問題復(fù)習(xí)到位.

設(shè)計5（抽象性質(zhì)復(fù)習(xí)）：對定義域為R的函數(shù)f（x），表達式f（a+x）=f（b-x）與f（a+x）+f（b-x）=0的理解.

分析：從抽象函數(shù)的定義域出發(fā)，教師設(shè)計相關(guān)抽象性質(zhì)的復(fù)習(xí)，自然而然的引申輻射.從學(xué)生掌握來看，學(xué)生對上述性質(zhì)的理解尚不到位，借助圖形化手段加強學(xué)生對于上述性質(zhì)的理解.以f（a+x）=f（b-x）為例，對定義域為R的函數(shù)而言，即x任意變化情況下，作出其草圖如圖1所示：

圖1

圖2

抽象代數(shù)式f（a+x）=f（b-x）所表示的含義：自變量x1=a+x與x2=b-x到它們的中間位置距離相等，其函數(shù)值也相等，隨著x的變化，但是自變量x1=a+x與x2=bx的函數(shù)值永遠相等，故其運動軌跡如圖1所示，函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線成軸對稱.類似地，抽象代數(shù)式f（a+x）+f（b-x）=0所表示的含義：自變量x1=a+x與x2=b-x到它們的中間位置距離相等，其函數(shù)值互為相反數(shù)，隨著x的變化，但是自變量x1=a+x與x2=b-x的函數(shù)值永遠互為相反數(shù)，故其運動軌跡如圖2所示，函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點成中心對稱.

從上述從函數(shù)概念出發(fā)，筆者進行了層層遞進式的概念式復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計，從教材出發(fā)、注重了復(fù)習(xí)的開發(fā)，從而讓復(fù)習(xí)教學(xué)體現(xiàn)了一定的有效性和高效性.筆者認為，概念式復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計是體現(xiàn)教師對于教材理解力的一種設(shè)計，其需要教師關(guān)注高考新的形勢、以及自身對于數(shù)學(xué)概念的理解，兩者更為有效的結(jié)合才能設(shè)計更為自然的復(fù)習(xí)教學(xué).

二、以例題為根設(shè)計

以教材例題進行有效的開發(fā)，是教師對于知識點運用的一種理解設(shè)計.從應(yīng)試角度來看，不少高考試題的確進行了一定程度的改編，其本質(zhì)、框架來源于教材例題，這是教師復(fù)習(xí)教學(xué)回歸教材、注重開發(fā)需要關(guān)注的第二個方向.

案例（二）遞推數(shù)列通項求解

問題2：必修5第69頁B組題習(xí)題5：“選菜問題”：學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一有A、B兩種菜可供選擇.調(diào)查資料表明，凡是在這星期一選A菜的，下星期一會有20%改選B菜；而選B菜的，下星期一會有30%改選A菜，用an、bn分別表示在第n個星期選A的人數(shù)和B的人數(shù)，若a1=300，求a100.

這是典型的線性遞推數(shù)列求通項模型，其根本是教材試題的體現(xiàn)，經(jīng)過加工在不少高考真題中出現(xiàn).

設(shè)計1：數(shù)列｛an｝滿足a1=1，且an+1=2an+1，求數(shù)列an的通項.

分析：利用待定系數(shù)法an+1+x=2（an+x），易得x=1，因此數(shù)列滿足，所以｛an+1｝是等比數(shù)列.這是以教材問題為范本，進行了數(shù)據(jù)的簡單化處理，首先引導(dǎo)學(xué)生對于教材問題進行原理上的理解，從而解決教材問題.

設(shè)計2：數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通項an.

分析：錯解往往是這樣構(gòu)造：an+1+x=2（an+x），根據(jù)待定系數(shù)法得到x=n-2，因此因此數(shù)列｛an+n-2｝是等比數(shù)列，進而求解通項公式.對比正解：令an+λn+ u=2［an-1+λ（n-1）+u］，整理得an=2an-1+λn-2λ+u.由待定系數(shù)法知所以an+n=2［an-1+（n-1）］（n≥2），即｛an+n｝是以a1+1為首項，2為公比的等比數(shù)列，得an=2n-n.

思考錯解和正解為什么不同？顯然是錯解中的整體性構(gòu)造未達到整體思想，錯也是顯而易見的，設(shè)計2也為后續(xù)教師更好地開發(fā)做好了鋪墊.有興趣的讀者也可以思考下面類似問題：

2015年江蘇卷第11題：數(shù)列｛an｝滿足a1=1，且an+1-an= n+1（n∈N*），求數(shù)列前10項的和.

設(shè)計3：數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+n2，求通項an.

分析：利用設(shè)計2的整體性構(gòu)造思路，令an+1+λ（n+ 1）2+u（n+1）+v=2（an+λn2+un+v），整理得an+1=2an+λn2+（u-2λ）n+v-u-λ.

設(shè)計4：數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+3n，求通項an.

有興趣的讀者可以進一步進行設(shè)計和創(chuàng)編.

以教材中的問題為本，進行回歸教材的設(shè)計和開發(fā)，讓數(shù)學(xué)問題不再是孤立的尋求解決，而是進行有效的、高效的以專題形式的探索，這種探索對于學(xué)生復(fù)習(xí)教學(xué)而言才是更為高效的，是教師復(fù)習(xí)教學(xué)尋求和探索的.

1.劉興明.對高一學(xué)生函數(shù)概念理解的調(diào)查研究［D］，2008.

2.劉長春.在數(shù)列教學(xué)中實施變式教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2013.

3.殷偉康.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中追問的特征與時機［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2013.