筅江蘇省張家港市樂余高級中學(xué)張森焱

高考中的遞推數(shù)列分類例說

筅江蘇省張家港市樂余高級中學(xué)張森焱

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重點(diǎn)內(nèi)容，關(guān)于遞推數(shù)列的考查是其中的一個(gè)難點(diǎn)，它類型多，解法靈活，技巧性強(qiáng)，是考查學(xué)生邏輯推理與轉(zhuǎn)化化歸能力的良好載體，也是近年來高考?？嫉膬?nèi)容.下面介紹對遞推數(shù)列的幾種考查方式，以期拋磚引玉.

一、考查遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解

遞推關(guān)系是給出一個(gè)數(shù)列的重要形式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是得出一個(gè)數(shù)列的基本途徑，也是轉(zhuǎn)化與化歸重要數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用——化抽象為具體.

方法1：運(yùn)用累加法求解

這種方法適用于：在數(shù)列｛an｝中，首項(xiàng)a1已知，且滿足an+1=an+f（n），數(shù)列｛f（n）｝是可以求和的.

例1已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=an+1 n（n+1），求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

所以結(jié)合已知得

以上n個(gè)等式相加得

方法2：運(yùn)用累乘法求解

它適用于：在數(shù)列｛an｝中，首項(xiàng)a1已知，且滿足an+1=

an·f（n），數(shù)列｛f（n）｝是可以求出乘積的，通?！（1）·a1，常見f（n）有以下2種類型：

（ii）f（n）=kan，（ak≠0，a≠1），即數(shù)列｛f（n）｝為等比數(shù)列，其中a為公比，首項(xiàng)為ka.

例2在數(shù)列｛an｝中，已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

方法3：構(gòu)造等差數(shù)列法求解

將所求的數(shù)列遞推關(guān)系式變形，構(gòu)造等差數(shù)列.

例3在各項(xiàng)不為零的數(shù)列｛an｝中，已知a1=1，an-1=，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

常見構(gòu)造的等差數(shù)列的形式有三種：

一是形如an+1=p·an+qn（p，q為非零常數(shù)，且p≠1，q≠1，p=q），此類數(shù)列解決的思路是，在an+1=p·an+qn的兩邊同除以qn+1，即是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；

三是形如an=p·Sn·Sn-1（n≥2）（p為非零常數(shù)），解題思路是先利用an=Sn-Sn-1（n≥2）代換an，得Sn-Sn-1=p·Sn·Sn-1，然后兩邊同時(shí)除以Sn-1·Sn，得，-p為公差的等差數(shù)列.

方法4：構(gòu)造等比數(shù)列法求解

例4在數(shù)列｛an｝中，已知a1=1，有an+1=3an+2n+1，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

n以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即

形如an+1=qan+d（d（q-1）≠0）的遞推關(guān)系，都可運(yùn)用構(gòu)造等比數(shù)列的方法，來求其通項(xiàng)公式.具體做法是：設(shè)an+1+x=q（an+x），由an+1=qan+d解得是公比為q的等比數(shù)列，從而求其通項(xiàng)公式.

方法5：先猜后證

這種數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，需要先求出這個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，尋找其規(guī)律，猜想其結(jié)果，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.

例5在數(shù)列中｛an｝中，已知對任何正整數(shù)n恒成立，求數(shù)列的前4項(xiàng)，猜測其通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.

解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=1.

應(yīng)有an=n（2n-1）=2n2-n，下面應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.

①當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，結(jié)論當(dāng)然成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即ak=2k2-k，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.

綜合①與②得，對任何正整數(shù)n，an=2n2-n恒成立.

遞推數(shù)列的類型多種多樣，求解遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的方法也有很多；可是，只要我們辨清它是哪種類型，用對應(yīng)方法解決它即可；萬變不離其宗，很明顯它們的實(shí)質(zhì)是通過合理、適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、化歸，轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獾炔顢?shù)列或等比數(shù)列的有關(guān)問題而已.

二、考查不等遞推關(guān)系

不等遞推關(guān)系型時(shí)常出現(xiàn)在一般的競賽或?？贾校祟悊栴}呈現(xiàn)簡潔，看似平淡無奇，卻極富韻味.

例6已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，若f（1）=1.

（1）求f（2005）的值；

（2）求f（2007）的值.

解：（1）聯(lián)想等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，試用疊加法.

由f（x+3）≤f（x）+3這個(gè)“不等遞推關(guān)系式”，得f（2005）≤f（2002）+3，f（2002）≤f（1999）+3，f（1999）≤f（1996）+ 3，…，f（4）≤f（1）+3，將這668個(gè)不等式兩邊相加得f（2005）≤f（1）+3×668=2005.

由f（x+2）≥f（x）+2這個(gè)“不等遞推關(guān)系式”，得f（2005）≥f（2003）+2，f（2003）≥f（2001）+2，f（2001）≥f（1999）+2，…，f（3）≥f（1）+2，將這1002個(gè)不等式兩邊相加，得f（2005）≥f（1）+2×1002=2005.

據(jù)“兩邊夾法則”，得f（2005）=2005.

（2）【思路一】仿（1）直接疊加不便求解，可嘗試將已知遞推式變形后再使用疊加法.

由f（x+2）≥f（x）+2，得f（x+1）+2≤f（x+3），又f（x+3）≤f（x）+3，所以f（x+1）+2≤f（x）+3，即f（x+1）≤f（x）+1.

由f（x+1）≤f（x）+1，得f（2007）≤f（2006）+1，f（2006）≤f（2005）+1，f（2005）≤f（2004）+1，…，f（2）≤f（1）+1，將這2006個(gè)不等式兩邊相加，得f（2007）≤f（1）+2006=2007.

由f（x+2）≥f（x）+2，得f（2007）≥f（2005）+2，f（2005）≥f（2003）+2，f（2003）≥f（2001）+2，…，f（3）≥f（1）+2，將這1003個(gè)不等式兩邊相加，得f（2007）≥f（1）+2×1003= 2007.據(jù)“兩邊夾法則”，得f（2007）=2007.

【思路二】思路一操作起來比較麻煩，若能把“不等遞推關(guān)系式”轉(zhuǎn)化為“相等遞推關(guān)系式”，則問題就變得熟悉了.

同思路一中步驟，得f（x+1）≤f（x）+1，①

由f（x+2）≥f（x）+2，得f（x+1）≥f（x-1）+2.又由f（x+3）≤f（x）+3，得f（x-1）≥f（x+2）-3.所以f（x+1）≥f（x-1）+2≥f（x+2）-3+2=f（x+2）-1≥f（x）+2-1=f（x）+1，即f（x+1）≥f（x）+1.②

綜合①②知，f（x+1）=f（x）+1.所以通項(xiàng)為f（n）（n∈N*）的數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)f（1）=1，公差d=1，

所以f（2007）=1+（2007-1）×1=2007.

【思路三】思路二應(yīng)用“兩邊夾法則”，變“不等遞推關(guān)系式”為“相等遞推關(guān)系式”，然后用等差數(shù)列的知識使問題求解得到簡化.若對解法的探究就此止步，是否意猶未盡？聯(lián)想數(shù)列求某一項(xiàng)的值常用周期數(shù)列法，故一鼓作氣作如下探索.

f（x+3）≤f（x）+3圳f（x+3）-（x+3）≤f（x）-x，且f（x+2）≥f（x）+2圳f（x+2）-（x+2）≥f（x）-x，為此構(gòu)造函數(shù)g（x）= f（x）-x，則g（1）=f（1）-1=0，且g（x+3）≤g（x），g（x+2）≥g（x）.

通項(xiàng)為g（n）（n∈N*）的數(shù)列是周期數(shù)列，且其周期T=1圯g（2007）=g（1）=0圯f（2007）=g（2007）+2007=2007.

三、考查遞推數(shù)列的值域

對于數(shù)列｛an｝，若設(shè)集合M=｛an|n∈N*｝，則M是數(shù)列｛an｝的值域．?dāng)?shù)列的值域有可能成為高考的新亮點(diǎn).

例7已知無窮數(shù)列｛an｝滿足an+1=-2a（nn∈N*），若集合M=｛an|n∈N*｝中只有二個(gè)元素，求數(shù)列｛an｝首項(xiàng)a1的值．

解：顯然a1≠a2（若a1=a2，則a3=f（a2）=f（a1）=a1，其中f（x）=x2-2x，依此類推數(shù)列｛an｝為常數(shù)列，與已知矛盾），從而a3=a2與a3=a1中有且只有一個(gè)成立．

（1）當(dāng)a3=a2時(shí)-2a2=a2，則a2=0，或a2=3．若a2=0，則a1=0（舍去，此時(shí)an=0），或a1=2；若a2=3，則a1=3（舍去，此時(shí)an=3），或a1=-1．

（2）當(dāng)a3=a1時(shí)，（-2a）12-2（-2a）1=a1，即a（1a1-3）（-a1-1）=0，則a1=0（舍去，此時(shí)an=0），或a1=3（舍去，此時(shí)an= 3），或

綜上a1的取值有

事實(shí)上，本例只不過是函數(shù)的不動點(diǎn)與二階周期點(diǎn)在數(shù)列值域問題中的一個(gè)應(yīng)用.先熟悉兩個(gè)概念——函數(shù)的不動點(diǎn)與二階周期點(diǎn)：已知函數(shù)y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，則稱為函數(shù)y=f（x）的不動點(diǎn)；已知函數(shù)y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0且f（x0）≠x0，則稱為函數(shù)y=f（x）的二階周期點(diǎn)．當(dāng)a1=2時(shí)，｛an｝為：2，0，0，…；當(dāng)a1=-1時(shí)，｛an｝為：-1，3，3，…這兩種情況說明a2是函數(shù)f（x）=x2-2x的不動點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，｛an｝為：a1，a2，a1，a2，…，這時(shí)a1，a2是函數(shù)f（x）=x2-2x的二階周期點(diǎn)．同樣依此類推若｛an｝的值域M為三元集，問題本質(zhì)是函數(shù)的不動點(diǎn)與三階周期點(diǎn)．