左佳麗

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法作為當(dāng)今深化改革數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)，現(xiàn)行《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在實(shí)施建議部分就有明確要求：要引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想.一次函數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最基本的函數(shù)模型，深入發(fā)掘其中的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有十分重要的意義.本研究以北師版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)“一次函數(shù)”中的例題為例，系統(tǒng)闡述例題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

【關(guān)鍵詞】一次函數(shù) 數(shù)學(xué)思想 解題

【中圖分類(lèi)號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）15-0180-02

一、一般化與特殊化思想

波利亞在《怎樣解題》中明確指出，一般化是指“從考慮一個(gè)對(duì)象過(guò)渡到考慮包含這個(gè)對(duì)象的一個(gè)集合；或者從考慮一個(gè)較小的集合過(guò)渡到考慮一個(gè)包含這個(gè)較小集合的更大集合”.

例1 選自八年級(jí)上冊(cè)79頁(yè)

寫(xiě)出下列各題中y與x之間的關(guān)系，并判斷：y是否為x的一次函數(shù)？是否為正比例函數(shù)？

⑴汽車(chē)以60km/h的速度勻速行駛，形式路程y（km）與行駛時(shí)間x（h）之間的關(guān)系；

⑵圓的面積y （cm2）與它的半徑x （cm）之間的關(guān)系；

⑶某水池有水15m3，現(xiàn)打開(kāi)進(jìn)水管進(jìn)水，進(jìn)水速度為5m3/h，x h后這個(gè)水池內(nèi)有水ym3.

這是一道考察一次函數(shù)和正比例函數(shù)概念的例題.我們已經(jīng)知道一次函數(shù)和正比例函數(shù)的一般形式為.這道例題之所以稱(chēng)其蘊(yùn)含了一般化與特殊化的數(shù)學(xué)思想方法，主要是指兩個(gè)方面：（1）對(duì)于函數(shù)表達(dá)式的判定，當(dāng)字母變成某一個(gè)特殊的數(shù)的時(shí)候，學(xué)生是否能抓住其實(shí)質(zhì)，做出正確的判斷，這是指一般到特殊；（2）正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，而一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，這是指特殊到一般.

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本方法與思想.在研究問(wèn)題時(shí)把數(shù)和形結(jié)合考慮，把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)，或把圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化.數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，將抽象思維與形象思維結(jié)合.數(shù)形結(jié)合主要包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面.

例2 選自八年級(jí)上冊(cè)91頁(yè)

某種型號(hào)的摩托車(chē)的油箱加滿(mǎn)油后，油箱中的剩余油量y（升）與摩托車(chē)行駛路程x（千米）之間的關(guān)系如圖4—8所示.根據(jù)圖像回答下列問(wèn)題：

（1）油箱最多科儲(chǔ)油多少升？

（2）一箱汽油可供摩托車(chē)行駛多少千米？

（3）摩托車(chē)每行駛100km消耗多少升汽油？

（4）油箱中的剩余油量小于1L時(shí)，摩托車(chē)將

自動(dòng)報(bào)警.行駛多少千米后，摩托車(chē)將自動(dòng)報(bào)警？

這是一道一次函數(shù)的問(wèn)題解決型例題.將生活中的實(shí)際問(wèn)題作為問(wèn)題情境，讓學(xué)生體會(huì)一次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.結(jié)合函數(shù)圖像解決問(wèn)題.一方面考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，另一方面讓學(xué)生體驗(yàn)函數(shù)圖像對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要作用.

三、分類(lèi)討論思想

數(shù)學(xué)分類(lèi)討論思想，是指將數(shù)學(xué)對(duì)象分成幾類(lèi)，分別進(jìn)行討論來(lái)解決問(wèn)題的一種邏輯方法.有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性.分類(lèi)討論思想，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容中.

例3 選自八年級(jí)上冊(cè)80頁(yè)

我國(guó)自2011年9月1日起，個(gè)人工資、薪金所得稅征收辦法規(guī)定：月收入低于3500元的部分不收稅；月收入超過(guò)3500元但低于5000元的部分征收 的所得稅，……如某人月收入3860元，他應(yīng)繳個(gè)人工資、薪金所得稅為（3860-3500）×3%=10.8（元）.

（1）當(dāng)月收入大于3500元而又小于5000元時(shí)，寫(xiě)出應(yīng)繳所得稅y（元）與月收入x（元）之間的關(guān)系式；

（2）某人月收入4160元，他應(yīng)繳他應(yīng)繳個(gè)人工資、薪金所得稅多少元？

（3）如果某人本月繳納個(gè)人工資、薪金所得稅19.2元，那么此人本月工資、薪金收入是多少元？

這同樣是一道一次函數(shù)的問(wèn)題解決型例題.相較于前面一道題，此題最大的特色在于要用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解決問(wèn)題.事實(shí)上，這也是學(xué)生首次接觸分段函數(shù)的題目.對(duì)不同段的工資，應(yīng)繳納個(gè)人所得稅也不一樣，這就需要教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生體會(huì)分類(lèi)討論的實(shí)質(zhì).

四、數(shù)學(xué)模型思想

數(shù)學(xué)模型方法的本質(zhì)是化歸，將一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題化歸成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，之后用數(shù)學(xué)只是解決這個(gè)問(wèn)題，在翻譯回去成為現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解答.模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義.這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí).

例4 選自八年級(jí)上冊(cè)89頁(yè)

在彈性限度內(nèi)，彈簧的長(zhǎng)度y（cm）是所掛物體質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù).某彈簧不掛物體時(shí)長(zhǎng)14.5cm；當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為3kg時(shí)，彈簧長(zhǎng)16cm.寫(xiě)出y與x之間的關(guān)系式，并求當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為4kg時(shí)彈簧的長(zhǎng)度.

這是一道以其他學(xué)科（物理）為問(wèn)題情境的例題，同樣也是一次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.由于題目已經(jīng)明確說(shuō)明長(zhǎng)度y（cm）是所掛物體質(zhì)量x（kg）是一次函數(shù)，因此，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何構(gòu)建一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，即求一次函數(shù)的解析式.設(shè)出，求出的值，問(wèn)題就迎刃而解了.

只要有數(shù)學(xué)解題，就會(huì)數(shù)學(xué)思想方法.老師在教學(xué)過(guò)程中，不但要教給學(xué)生知識(shí)，更要教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的思想方法.

參考文獻(xiàn)：

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[3]馬波.中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.