呂增鋒 (郵編：315731)

浙江省象山縣第二中學(xué)

基于“直觀(guān)想象”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解題策略
——以浙江省2016年高考理科第19題為例

呂增鋒 (郵編：315731)

浙江省象山縣第二中學(xué)

直觀(guān)想象是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，其指借助幾何直觀(guān)和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.直觀(guān)想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).在數(shù)學(xué)解題中，直觀(guān)想象更是不可或缺的重要思維與工具.很多看似復(fù)雜，無(wú)從下手的數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助直觀(guān)想象就可能很容易獲得解題的捷徑.下面以浙江省2016年高考理科第19題為例，談?wù)剬?duì)此的看法.

(I)求直線(xiàn)y=kx+1被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)(用a、k表示)；

(II)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

直接解法

設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,則動(dòng)圓與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù).

②

(i)f(y)=0的唯一解位于區(qū)間[-1,1]上，此時(shí)圓與橢圓最多有2個(gè)交點(diǎn).

(ii)f(y)=0的唯一解不在區(qū)間[-1,1]上，此時(shí)圓與橢圓無(wú)交點(diǎn).

1 利用圖形描述，理解問(wèn)題本質(zhì)

導(dǎo)致解題過(guò)程繁瑣的很大一部分原因是對(duì)“題意”的理解不夠透徹，沒(méi)有深入到問(wèn)題的本質(zhì).當(dāng)題目呈現(xiàn)的關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)就很難從字面上直接獲得解題的線(xiàn)索，這時(shí)如果借助“圖形描述”手段，即把“自然語(yǔ)言”轉(zhuǎn)化為“圖形語(yǔ)言”就容易找到問(wèn)題的突破口.“圖形描述”可以是學(xué)生動(dòng)手作圖，也可以是教師通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件演示.

對(duì)于上述題目來(lái)說(shuō)，解題的關(guān)鍵是要搞清楚“圓的半徑”、“交點(diǎn)個(gè)數(shù)”、“離心率”三者之間的聯(lián)系.過(guò)A點(diǎn)作一系列半徑大小不一的圓，發(fā)現(xiàn)圓與橢圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有0、1、2、3、4等五種情況，而且交點(diǎn)的個(gè)數(shù)除了與圓的半徑大小有關(guān)外，還與橢圓的圓扁程度相關(guān)，而離心率的大小決定了橢圓的圓扁程度，這就明確了條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.再類(lèi)比問(wèn)題(I)，發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)y=kx+1恰好經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A，AP就是圓與橢圓的一條相交弦.連結(jié)點(diǎn)A與交點(diǎn)，就得到一條相交弦；有幾個(gè)交點(diǎn)便有幾條等長(zhǎng)的相交弦，交點(diǎn)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為弦長(zhǎng)問(wèn)題.至此，本題的解題思路就清晰起來(lái)了.

優(yōu)化解法1

先考慮與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)的情景，然后排除這種情景，就可以得到符合條件的結(jié)論.

2 挖掘幾何意義，建立數(shù)形聯(lián)系

數(shù)與形是一種特殊的對(duì)立，在一定條件下可以實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化.數(shù)量關(guān)系獲得幾何解釋?zhuān)梢允箚?wèn)題變得直觀(guān)易懂，使人易于洞察問(wèn)題的本質(zhì).幾何問(wèn)題得到代數(shù)表示，可以使幾何直覺(jué)，合情推理等轉(zhuǎn)化為程序化操作的代數(shù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)化難為易的目的，并使人獲得對(duì)問(wèn)題的精確化、理性化的理解.

優(yōu)化解法2

假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)交點(diǎn)，則|AP|=|AQ|,則在橢圓的兩側(cè)各存在一個(gè)等腰三角形.這樣就把“線(xiàn)段長(zhǎng)度相等”的代數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為存在“等腰三角形”的幾何關(guān)系，然后根據(jù)“等腰三角形底邊中點(diǎn)”的位置關(guān)系列式求解.

3 運(yùn)用動(dòng)態(tài)想象，揭示運(yùn)動(dòng)規(guī)律

學(xué)生在視、知覺(jué)上表現(xiàn)出的最大障礙，可能就是不能有效地建立視、知覺(jué)符號(hào)和大腦中儲(chǔ)存的圖式或概念之間的聯(lián)系，而動(dòng)態(tài)想象是形成學(xué)生知覺(jué)形體特征的重要手段.動(dòng)態(tài)想象不僅包含著圖形的變化，更蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思考.按照皮亞杰的研究，動(dòng)態(tài)表象是學(xué)生數(shù)理邏輯經(jīng)驗(yàn)生成的源泉，靜態(tài)表象只能產(chǎn)生物理經(jīng)驗(yàn).動(dòng)態(tài)想象是直觀(guān)想象的翅膀，在數(shù)學(xué)解題中，運(yùn)用動(dòng)態(tài)想象，可以實(shí)現(xiàn)由被動(dòng)感知到主動(dòng)再現(xiàn)、由單一角度到多種角度來(lái)感知運(yùn)動(dòng)當(dāng)中的不變量.

首先，若把題目中的橢圓看成圓，眾所周知圓與圓最多有兩個(gè)交點(diǎn).由此我們得到啟示：橢圓越接近于圓，越不會(huì)出現(xiàn)超過(guò)3個(gè)交點(diǎn)的情況，因此，橢圓的離心率越小越好.

其次，相交弦AP的長(zhǎng)度是在變化的，易知其在橢圓上的某個(gè)位置取到最大值，只有當(dāng)AP取到最大值的位置在橢圓短軸的下端點(diǎn)時(shí)才不會(huì)出現(xiàn)4個(gè)交點(diǎn)的情景，因此，從弦長(zhǎng)最值出發(fā)，這道題的解答過(guò)程就會(huì)簡(jiǎn)潔得多.

優(yōu)化解法3

4 深入問(wèn)題源頭，獲得直觀(guān)模型

解題并不是以獲得正確答案為最終目的，而是通過(guò)經(jīng)歷一道題的解決過(guò)程，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，揭示本質(zhì)，從而獲得一類(lèi)題的解題思想與方法.正如華羅庚先生所言：“數(shù)學(xué)是一個(gè)原則，無(wú)數(shù)內(nèi)容，一種方法，到處可用.”因此，解題并不能僅停留在題目的表面，而是要深入其內(nèi)部，找到問(wèn)題的源頭，進(jìn)而獲得直觀(guān)模型.

原題 若以原點(diǎn)為圓心，橢圓的半焦距長(zhǎng)c為半徑的圓與該橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_____.

②當(dāng)b>c時(shí)，直線(xiàn)被橢圓截得的最大弦長(zhǎng)為d=2b,即為短軸長(zhǎng).

若在解題中，直接從這個(gè)“模型”入手，學(xué)生就很容易理解“交點(diǎn)個(gè)數(shù)”與“離心率”之間的關(guān)系，容易獲得“b>c”的結(jié)論，進(jìn)而直接寫(xiě)出離心率的取值范圍.

直觀(guān)想象是對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的全貌和本質(zhì)進(jìn)行的直接把握，這種直接判斷建立在針對(duì)幾何圖形長(zhǎng)期有效的觀(guān)察和思考的基礎(chǔ)之上，既有相對(duì)豐富的經(jīng)驗(yàn)積累，也有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的理性的概括和升華.因此，運(yùn)用直觀(guān)想象開(kāi)展數(shù)學(xué)解題活動(dòng)需要平時(shí)不斷地潛移默化，積累經(jīng)驗(yàn)，最終實(shí)現(xiàn)運(yùn)用自如的目的.

2016-12-28)