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        一個(gè)三角形不等式的逆向
        ——兼擂題(109)的解答

        2017-04-24 02:25:26褚小光,田開(kāi)斌,潘成華
        關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓外接圓電郵

        一個(gè)三角形不等式的逆向
        ——兼擂題(109)的解答

        1 背景

        在△ABC中,有

        考慮上述不等式的逆向,我們提出了如下擂題(109).

        在△ABC中,求證

        2 證明

        證法1 (文武光華數(shù)學(xué)工作室 褚小光 田開(kāi)斌 潘成華提供)設(shè)s,R,r分別表示△ABC的半周長(zhǎng),外接圓與內(nèi)切圓半徑.根據(jù)三角形三角恒等式

        所證不等式等價(jià)于

        由Gerretsen不等式s2≥16Rr-5r2, 只需證

        上式兩邊平方,約去r得

        上式整理為

        由歐拉不等式R≥2r,即知上式成立. 從而不等式得證.

        3∑x5(y3+z3)+6∑x4y4

        +99∑x4yz(y+z)≥14∑x3y3z2

        +214∑x4y2z2,

        上式左邊x,y,z的指數(shù)對(duì)右邊形成優(yōu)超,利用Muirhead定理知,上式成立,且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z,即三角形為正三角形.

        萬(wàn)惠華老師指出,利用Muirhead定理,還可以證明擂題得的下列加強(qiáng)式:

        3 點(diǎn)評(píng)

        (點(diǎn)評(píng)人郭要紅,2017年3月31日)本論文收到擂題解答8份,其中5份是正確的,按時(shí)間順序,作者分別是江斌(安徽,2017年2月25日),李歆(陜西武功縣教育局教研室,2017年2月26日),光華工作室褚小光 田開(kāi)斌 潘成華(江蘇蘇州,2017年2月27日),董林(山東高青縣教學(xué)研究室,2017年2月28日),萬(wàn)惠華(浙江大學(xué),2017年3月6日).李歆,董林的證明方法與證法1一致,江斌的證明是利用變換將擂題轉(zhuǎn)化成代數(shù)不等式,利用柯西不等式等證明代數(shù)不等式成立. 本擂題得獲獎(jiǎng)?wù)呤墙笸?,?qǐng)江斌同志看到評(píng)注后與編輯部聯(lián)系.

        1 陳計(jì).關(guān)于三角形的一個(gè)不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué),1995(3):34.

        有獎(jiǎng)解題擂臺(tái)(110)

        郭要紅 (郵編:241003)

        安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院)

        題 設(shè)R,r分別是△ABC中的外接圓半徑,內(nèi)切圓半徑,則

        第一位正確解答者將獲得獎(jiǎng)金100元.

        擂題及解答請(qǐng)電郵至guoyaohong1108@163.com, 解答時(shí)間以電郵時(shí)間為準(zhǔn).從2017年第一期開(kāi)始,我們將連續(xù)刊載有獎(jiǎng)解題擂臺(tái),歡迎廣大讀者踴躍提供擂題.

        2017-01-05)

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