一個(gè)三角形不等式的逆向
——兼擂題(109)的解答

1 背景

在△ABC中，有

考慮上述不等式的逆向，我們提出了如下擂題(109).

在△ABC中,求證

2 證明

證法1 (文武光華數(shù)學(xué)工作室 褚小光 田開(kāi)斌 潘成華提供)設(shè)s,R,r分別表示△ABC的半周長(zhǎng),外接圓與內(nèi)切圓半徑.根據(jù)三角形三角恒等式

所證不等式等價(jià)于

由Gerretsen不等式s2≥16Rr-5r2, 只需證

上式兩邊平方,約去r得

上式整理為

由歐拉不等式R≥2r,即知上式成立. 從而不等式得證.

3∑x5(y3+z3)+6∑x4y4

+99∑x4yz(y+z)≥14∑x3y3z2

+214∑x4y2z2，

上式左邊x,y,z的指數(shù)對(duì)右邊形成優(yōu)超，利用Muirhead定理知，上式成立，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z，即三角形為正三角形.

萬(wàn)惠華老師指出，利用Muirhead定理，還可以證明擂題得的下列加強(qiáng)式：

3 點(diǎn)評(píng)

(點(diǎn)評(píng)人郭要紅，2017年3月31日)本論文收到擂題解答8份，其中5份是正確的，按時(shí)間順序，作者分別是江斌(安徽，2017年2月25日)，李歆(陜西武功縣教育局教研室，2017年2月26日)，光華工作室褚小光 田開(kāi)斌 潘成華(江蘇蘇州，2017年2月27日)，董林(山東高青縣教學(xué)研究室，2017年2月28日)，萬(wàn)惠華(浙江大學(xué)，2017年3月6日).李歆，董林的證明方法與證法1一致，江斌的證明是利用變換將擂題轉(zhuǎn)化成代數(shù)不等式，利用柯西不等式等證明代數(shù)不等式成立. 本擂題得獲獎(jiǎng)?wù)呤墙笸?，?qǐng)江斌同志看到評(píng)注后與編輯部聯(lián)系.

1 陳計(jì).關(guān)于三角形的一個(gè)不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1995(3)：34.

有獎(jiǎng)解題擂臺(tái)(110)

郭要紅 (郵編：241003)

安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院)

題 設(shè)R,r分別是△ABC中的外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，則

第一位正確解答者將獲得獎(jiǎng)金100元.

擂題及解答請(qǐng)電郵至guoyaohong1108@163.com, 解答時(shí)間以電郵時(shí)間為準(zhǔn).從2017年第一期開(kāi)始，我們將連續(xù)刊載有獎(jiǎng)解題擂臺(tái)，歡迎廣大讀者踴躍提供擂題.

2017-01-05)