王 勇 (郵編：441000)

湖北省襄陽市第一中學

復 習考 試

幾何概型
——悄然興起的高考熱點

王 勇 (郵編：441000)

湖北省襄陽市第一中學

縱觀近年高考試題及高考模擬試題，幾何概型問題頻頻出現(xiàn)，這類問題新穎別致，構思精妙，極富思考性和挑戰(zhàn)性.幾何概型的概率求解一般分三步：①判斷試驗是否為幾何概型；②將試驗構成的區(qū)域和所求事件構成的區(qū)域轉化為幾何圖形，并加以度量(如長度、面積、體積或角度)；③應用幾何概型的概率公式求概率.下面結合實例分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

1 與長度有關的幾何概型

例1 (2016·全國甲卷高考題文8)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒.某一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為( )

圖1

點評 本題結合線段圖考查與長度有關的幾何概型.考查分析、解決實際問題的能力及運算求解能力.

例2 (2016·全國乙卷高考題)某公司的班車在7:30，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是( )

圖2

解析 如圖2，7:50至8：30之間的時間長度為40分鐘，而小明等車時間不超過10分鐘是指小明在7:50至8:00之間或8:20至8:30之間到達發(fā)車站，此兩種情況下的時間長度之和為20分鐘，由幾何概型的概率計算公式知所求概率為

,故選

B

.

點評 本題結合線段圖考查幾何概型的概率計算公式.考查分析、解決實際問題的能力及運算求解能力.

解析 利用直線與圓相交的條件及幾何概型求解.

點評 本題考查直線與圓的位置關系及幾何概型.通過直線與圓相交求k的取值范圍，考查轉化與化歸思想，通過求概率考查對幾何概型概念的理解能力及運算求解能力.

解析 先利用對數(shù)函數(shù)的單調性解出不等式，再根據(jù)幾何概型的概率計算公式求出概率.

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)性質的應用和幾何概型.求解對數(shù)不等式考查了運算求解能力，幾何概型概率的求解考查了創(chuàng)新應用意識.

例5 (2015·重慶市高考題)在區(qū)間[0,5]上隨機地選擇一個數(shù)p,則方程x2+2px+3p-2=0有兩個負根的概率為______.

解析 先根據(jù)方程有兩個負根求得p的取值范圍，然后利用幾何概型的概率計算公式求出概率.

因為方程x2+2px+3p-2=0有兩個負根x1、x2,

點評 本題考查一元二次方程根的分布和幾何概型.根據(jù)一元二次方程根的分布情況建立不等式組，求p的取值范圍，考查了邏輯思維能力與運算求解能力.將一元二次方程根的分布與概率相結合，體現(xiàn)了化歸意識在解題中的應用.

例6 (2016·長沙市模擬題)平面上畫了一組彼此平行且相距2a的平行線.把一枚半徑r

解析 設“硬幣不與任一平行線相碰”為事件A.

圖3

如圖3，在兩相鄰平行線間畫出與平行線間距為r的兩平行虛線，則當硬幣中心落在兩虛線間時，與平行線不相碰.

點評 本題中把硬幣不與平行線相碰轉化為硬幣中心到平行線的距離是關鍵，可方便地確定事件A的區(qū)域長度和所有可能結果的區(qū)域長度.將概率問題轉化為幾何問題來計算是幾何概型的精華所在.

2 與面積有關的幾何概型

圖4

解析 先求陰影部分的面積，再根據(jù)幾何概型的概率計算公式求出概率.

點評 本題考查定積分的幾何意義和幾何概型.結合圖形求解面積，考查了識圖能力、運算求解能力和數(shù)形結合思想.

解析 根據(jù)復數(shù)的模構造出基本事件空間和隨機事件對應的幾何圖形，轉化為面積的比值.

點評 本題主要考查復數(shù)的模、幾何概型以及直線與圓的位置關系等.通過將復數(shù)的模的關系式轉化為圓面考查抽象概括能力，利用面積求幾何概型的概率考查轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想、運算求解能力及創(chuàng)新應用意識.

A.p1

C.p3

圖6

點評 本題考查約束條件表示的平面區(qū)域及幾何概型.把問題抽象概括為幾何概型問題求解，考查了轉化與化歸思想的應用.在比較概率大小時，考查了數(shù)形結合思想的應用.

例10 (2013·四川省高考題)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈.這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮.那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是( )

解析 結合線性規(guī)劃，利用幾何概型求解.

圖7

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃和幾何概型的應用.將實際問題轉化為線性規(guī)劃和幾何概型問題求解，考查了轉化與化歸思想、創(chuàng)新應用意識以及運算求解能力.

圖8

點評 本題考查奇函數(shù)及其性質，利用割補法求解商標區(qū)域的面積進而求解概率，充分彰顯了數(shù)學的對稱美、和諧美、簡單美和奇異美.通過求概率考查數(shù)形結合思想和運算求解能力.

3 與體積有關的幾何概型

圖9

例12 (2016·青島市調考題)如圖9，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E、H分別是棱A1B1、D1C1上的點(點E與B1不重合)，且EH//A1D1,過EH的平面與棱BB1、CC1相交，交點分別為F、G.設AB=2AA1=2a.在長方體ABCD-A1B1C1D1內隨機選取一點，記該點取自于幾何體A1ABFE-D1DCGH內的概率為p,當點E,F分別在棱A1B1、BB1上運動且滿足EF=a時，則p的最小值為( )

點評 本題由2010年福建省高考題改編而成，考查立體幾何的有關知識、幾何概型、基本不等式的應用等.考查空間想象能力、運算求解能力及“正難則反”的思想方法.

圖10

點評 如果試驗的全部結果所構成的區(qū)域可用體積來度量，那么就要結合問題的背景，選擇好觀察角度，準確找出構成事件A的區(qū)域體積及試驗的全部結果構成的區(qū)域體積，再根據(jù)幾何概型的概率計算公式計算即可.

4 與角度有關的幾何概型

例14 (2016·南昌市調考題)在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點作射線OC,則使得∠AOC和∠BOC都小于30°的概率為______.

圖11

點評 當涉及射線的運動，扇形中有關落點區(qū)域問題時，長以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，切不可用線段代替，這是兩種不同的度量手段.作射線OD、OE,使∠AOD=30°,∠AOE=60°是求解本題的關鍵.

例15 (2016·宜昌市模擬題)在等腰Rt△ABC中，過直角頂點C在∠ACB的內部任意作一條射線CM交AB邊于點M,則AM小于AC的概率為______.

分析 在∠ACB內的射線CM是均勻分布的，所以射線CM在∠ACB內的任何位置都是等可能的.因為AM的大小與點M在AB上的位置有關，為了確保AM

圖12

解析 如圖12所示，在AB上截取AC′=AC,連接CC′,則∠ACC′=∠AC′C,在△CAC′中，因為∠A=45°,所以∠ACC′=67.5°.

點評 解答本題時，要特別注意“在∠ACB的內部任意作一條射線CM交AB邊于點M”這句話，由此確定“測度”是角度.如果把這句話改為“在線段AB上找一點M”，則問題的情境立刻發(fā)生改變，相應的“測度”應改為線段的長度.

5 隨機模擬問題

圖13

點評 本題考查幾何概型及隨機模擬.通過隨機模擬的應用考查轉化與化歸思想，通過幾何概型的計算考查數(shù)形結合思想和運算求解能力.

圖17

內隨機拋擲1000顆圖釘，則落在黃色圖形內的圖釘數(shù)約為( )

A.866B.500C.300D.134

點評 本題以古代數(shù)學文化為背景考查幾何概型的知識，既考查了考生對基礎知識的掌握情況，又弘揚了中國古代優(yōu)秀的數(shù)學文化.該題引導考生提高人文素養(yǎng)、傳承民族精神，樹立民族自信心和自豪感.

2016-12-26)