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        涉及三角形傍切圓半徑的一個不等式猜想的證明

        2017-04-24 02:25:06姜衛(wèi)東郵編264210
        中學數(shù)學教學 2017年2期
        關鍵詞:內切圓外接圓三邊

        姜衛(wèi)東 (郵編:264210)

        山東省威海職業(yè)學院信息工程系

        初 數(shù)研 究

        涉及三角形傍切圓半徑的一個不等式猜想的證明

        姜衛(wèi)東 (郵編:264210)

        山東省威海職業(yè)學院信息工程系

        設△ABC的三邊長分別為a、b、c,三邊上的高為ha、hb、hc,傍切圓半徑分別為ra、rb、rc,半周長為s,外接圓和內切圓半徑分別為R、r,面積為△.

        尹華焱老師在[1]中提出了100個涉及三角形Ceva線、傍切圓半徑的不等式猜想,其中的第86個猜想為

        HCX-86 在三角形△ABC中,有

        本文將證明①成立.

        證明 先證①左端不等式

        應用柯西不等式可得

        由三角形中的恒等式

        ra+rb+rc=4R+r,

        可知,欲證①左端不等式,只需證

        由Gerretsen不等式s2≥16Rr-5r2及歐拉不等式R≥2r,易知上式成立.從而①式左端獲證.

        下面證明①右端不等式

        由已知的公式

        可知

        同理可得

        從而

        注意到文[2](第130頁,推論2.1.2)給出的不等式

        由③和④立得②右端不等式.

        注記1 由證明過程可知,如下更強的結論成立

        ⑤等價于如下不等式

        注記2 2016年12月,安振平老師在其新浪博客中提出如下問題:

        問題3347[3] 在△ABC中,a、b、c、R、r分別表示三邊長,外接圓半徑和內切圓半徑,求證

        1 尹華焱.100個涉及三角形Ceva線、傍切圓半徑的不等式猜想[M]//楊學枝.不等式研究.拉薩:西藏人民出版社,2000:313-322

        2 楊學枝,尹華焱.我國研究三角形中半角三角函數(shù)不等式情況綜述。楊學枝。不等式研究,拉薩:西藏人民出版社,2000:123-174

        3 安振平.問題3347:又一個三角形中的不等式,見(http://blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650102xbbd.html)

        2016-12-20)

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