曹辰

摘 要：對于初中生而言，幾何推理的學習存在一定的難度。利用幾何直觀，可以幫助學生把復雜的幾何問題變得簡明形象，有助于學生進行幾何推理的學習。針對如何在課堂教學中培養(yǎng)學生的幾何直觀能力和推理能力進行了一些探索。通過尺規(guī)作圖，引導學生運用“先直觀，再推理”的分析方法，提高學生解決幾何問題的能力。

關鍵詞：幾何直觀能力；推理能力；尺規(guī)作圖

一、研究背景

按照《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的規(guī)定，幾何直觀主要是指利用圖形來分析問題。恰當?shù)乩脦缀沃庇^，可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，特別是抽象的數(shù)學內容；同時，借助幾何直觀還可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明形象，有助于提高學生解決問題的能力。在中學數(shù)學階段，教師不僅要關注基礎知識和基本技能的培養(yǎng)，也要關注學生高層次能力的培養(yǎng)。其中，培養(yǎng)學生的幾何推理和幾何直觀能力是新課程標準的重要目標。

“尺規(guī)作圖”一直是培養(yǎng)學生數(shù)學幾何推理和幾何直觀能力的陣地之一。在初中數(shù)學教材中，與“尺規(guī)作圖”相關的內容主要有：（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個角等于已知角；（3）作一個角的平分線；（4）作一條線段的垂直平分線；（5）過一點作已知直線的垂線；（6）利用三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；（7）已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；（8）已知一直角邊和斜邊作直角三角形。

在教師的實際教學中，幾何直觀和幾何推理常常難以調和。前者注重直觀形象，后者注重嚴密邏輯。在許多教師眼中，“尺規(guī)作圖”常常被視為學生動手實踐和操作的載體，而忽視作圖中的幾何推理部分。本文采用引導學生先通過尺規(guī)作圖，直觀感受幾何圖形的變化規(guī)律，再通過幾何推理證明規(guī)律，最后在具體情境中應用規(guī)律的方式，對尺規(guī)作圖在初中數(shù)學幾何直觀與推理能力培養(yǎng)上的應用進行了探索。

二、問題提出

問題：如圖1，平面上存在三條互相平行的直線m，n，i，點A為平面上的直線i上確定的一點。以A為頂點，利尺規(guī)作圖畫出等邊△ABC，使得頂點B在直線m上，頂點C在直線n上。

在此題中，點A的位置已經確定。為了構造等邊三角形，隨著點B在直線m上運動，點C的位置也會隨之改變。因此，直接確定點A，點B，點C分別在三條平行線上的具體位置會有很大的難度。那么，當點B在直線m上運動時，點C的運動規(guī)律是什么呢？為了更好地研究點C的運動情況，筆者將原有問題進行了改變。

三、問題轉化

問題：如圖2，平面上存在兩條互相平行的直線i，m，點A為直線i上一點。點B在直線m上運動。以A、B為頂點，利用尺規(guī)作圖畫出等邊△ABC。探究點C的運動規(guī)律。

在改變后的問題中，可以先在直線m上確定點B的位置，再通過作圖去確定點C的位置。因此，需要在直線m上至少選取三個點B1，B2，B3（圖3），各自完成等邊三角形的作圖，再根據(jù)點C1，C2，C3的位置（圖4），通過幾何直觀去判斷點C的運動規(guī)律。

在教學過程中，當筆者完成作圖后，學生得到的初步判斷是：根據(jù)幾何直觀，點C1，C2，C3的位置在同一條直線上。在通過推理對猜想進行證明，可以先將圖4中的等邊三角形△AB2C2忽略，將問題轉化為兩個等邊三角形公共頂點的旋轉問題，如圖5。

圖5中，在連接C1C3后，易證明△AB1B3≌△AC1C3與∠AB3B1=∠AC3C1，進而可以證明直線C1C3與直線m的夾角是60°。同理，若忽略等邊三角形AB3C3的存在（圖6），也可以證明直線C1C2與直線m的夾角是60°。因此，直線C1C3、直線C1C2與直線m的夾角都是60°，所以點C1，C2，C3共線。這個結論說明，當點B在直線m上運動時，點C的運動軌跡即為圖5、6中的直線C1C3。

四、深層探究

難道每次分析問題時都要畫出兩個等邊三角形后才能確定點C的運動軌跡？能不能在確定點A的位置后，直接作出點C所在的直線？筆者帶領學生在原來的基礎上繼續(xù)探究：

在圖7中，設直線C1C3與直線m的交于點M，與直線i交于點N。作AD⊥直線m，AE⊥直線C1C3。在證明△AB1B3≌△AC1C3后，可得兩個三角形的面積相等且底邊B1B3=C1C3，因此垂線段AD=AE。

在圖7中連接線段AM，根據(jù)角平分線逆定理，AM平分∠B1MC3；因此∠B1MC3=60°。再根據(jù)直線m∥i，可證明△AMN為等邊三角形。

因此，在確定了點A的位置后，只要以點A為頂點，在平行直線m與直線i間構造等邊△AMN即可。為了構造該等邊三角形，需要先構造∠MAN=60°。作圖過程如圖8所示。圖8中新出現(xiàn)的直線即為點C的運動軌跡。

最后，筆者帶領學生重新審視最開始問題，根據(jù)上面的研究，可以根據(jù)點A與直線m的位置，直接作出點C的軌跡直線，如圖9。再結合原題，可以得到如下結論：點C既會出現(xiàn)在直線n上，又會出現(xiàn)在軌跡直線上。因此，點C位于軌跡直線與直線n的交點上。

在確定了點C的位置后，線段AC即為等邊三角形的邊長。之后再利用圓規(guī)，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧。其與直線m的交點即為點B的位置。順次連接線段，即得到符合題目要求的等邊△ABC，如圖10。

五、研究反思

在幾何教學過程中，教師往往對于幾何直觀缺乏應有的重視。教師習慣于關注推理的方法和結論，而對學生推理的思考過程有所忽視。對于一個完整的思考過程而言，往往是從對事物的初始認識開始的。尤其對初中生而言，正在經歷從“算術”到“數(shù)學”，從具體到抽象的過渡。受學生邏輯思維能力的限制，很多學生在幾何推理的學習上是有一定困難的。因此，在教師的幾何教學過程中，借助于幾何直觀、幾何解釋，讓學生通過“眼見為實”，幫助學生更好地理解和接受抽象的內容和方法，通過“圖象語言，符號語言，數(shù)學語言”三結合的方式去學習幾何，尤其是進行幾何推理的學習。在探究教學過程中，可以讓學生根據(jù)作圖，先對結論進行直觀判斷，再對結論進行嚴格證明。這樣的學習過程對于培養(yǎng)學生的幾何直觀能力和借助幾何直觀進行推理論證的能力有很大的促進作用。使用這種“先直觀，后推理”的方式，我們可以解決很多類似的尺規(guī)作圖問題。例如，在平面內任意三條直線上各取一個點，利用尺規(guī)作圖使得這三個點為等邊三角形、直角等腰三角形的頂點；或者在平面內的三個圓上各取一個點，尺規(guī)作圖使得這三個點為等邊三角形、等腰直角三角形的頂點。希望有興趣的老師可以和筆者一起研究。

參考文獻：

[1]秦德生，孔凡哲.關于幾何直觀的思考[J].中學數(shù)學教學參考，2005.

[2]劉曉玫.對“幾何直觀”及其培養(yǎng)的認識與分析[J].中國數(shù)學教育，2012.