王文強(qiáng)

【摘要】介紹了范希爾理論的幾何思維水平以及所對應(yīng)的教學(xué)階段，針對這兩個主要內(nèi)容，對照小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，提出對當(dāng)今小學(xué)幾何教學(xué)的若干啟示.

【關(guān)鍵詞】范希爾理論；幾何思維水平；幾何教學(xué)

范希爾理論符合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，對于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“圖形與幾何”的教學(xué)存在著重要的意義.在新課程實(shí)施以來，我們的課堂發(fā)生了許多變化，然而，我們可以發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)中有的教材的安排或者是作業(yè)的難度所需要的語言或者是能力常常超出學(xué)生的思維水平，而幾何概念相對是比較枯燥的，這樣很容易使學(xué)生喪失學(xué)習(xí)興趣.再加上有的老師雖然注重數(shù)學(xué)聯(lián)系生活實(shí)際，但是卻停留在表面，并沒有引導(dǎo)學(xué)生將幾何概念從生活實(shí)際中抽象出來，這一系列的問題都亟待我們?nèi)ソ鉀Q.

一、范希爾理論的基本綜述

（一）范希爾理論的內(nèi)容

范希爾理論是荷蘭的范希爾夫婦根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知理論，結(jié)合自身在幾何教學(xué)中所面臨的問題研究所得到的用來刻畫學(xué)生的幾何思維水平的理論.范希爾理論的核心內(nèi)容有兩個，一是幾何思維的五個水平，二是與之對應(yīng)的五個教學(xué)階段.

1.幾何思維水平

（1）水平0：視覺

兒童通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，能畫圖或模仿畫出圖形，初步描述圖形，但無法通過圖形的特征或要素名稱來分析圖形，也無法對圖形做概括的論述.

例如，有的兒童可能會區(qū)分直線圖形和曲線圖形，但對于同類的圖形，如：正方形和平行四邊形，則不能正確地區(qū)分.

（2）水平1：分析

兒童能分析圖形的組成要素及特征，并且在此基礎(chǔ)上了解圖形的一些特性，利用特性解決幾何問題，但無法解釋性質(zhì)間的關(guān)系，也無法了解圖形的定義.

例如，這個階段的兒童可能會區(qū)分長方形和三角形，因?yàn)椤伴L方形長得像門，而三角形不像門”，卻可能不會區(qū)分正方形和菱形，因?yàn)樗麄兌际欠降?，像“手帕”，所以他們是一樣?

（3）水平2：非形式化的演繹

兒童能建立圖形以及圖形內(nèi)部性質(zhì)之間的關(guān)系，能探索圖形的內(nèi)在屬性和其包含關(guān)系，使用公式與定義及發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)做演繹推論，但不能了解證明與定理.

例如，長方形是特殊的平行四邊形，可能比較難以理解.

（4）水平3：形式的演繹

學(xué)生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”，“公理”和“定理”的意義，確信幾何定理是需要邏輯演算才能建立的，能猜測并嘗試用演繹方式證實(shí)其猜測，能夠以邏輯推理解釋幾何學(xué)中的公理，定義定理等，也能推理出新的定理，建立定理間的關(guān)系網(wǎng)

例如，他們可以把任何一個四邊形分割成兩個三角形，從而由三角形的內(nèi)角和是180°，推導(dǎo)出四邊形的內(nèi)角和是360°.

（5）水平4：嚴(yán)密性

能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ?，以分析比較不同的幾何系統(tǒng)，如歐式幾何和非歐幾何.

這五個水平是順次的，但卻又是不連續(xù)的.學(xué)生在進(jìn)入某一個水平之前，必須要掌握好在這之前的水平的大部分內(nèi)容.

2.幾何教學(xué)階段

（1）階段1：學(xué)前咨詢

教師和學(xué)生就學(xué)習(xí)對象進(jìn)行雙向交流，教師了解學(xué)生情況，并且?guī)椭鷮W(xué)生理解要學(xué)習(xí)的課題，而學(xué)生提出問題，觀察術(shù)語等，以確定下一步的學(xué)習(xí).

（2）階段2：引導(dǎo)定向

教師為學(xué)生仔細(xì)地安排活動順序，使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)進(jìn)行的方向，逐漸熟悉這一結(jié)構(gòu)的特性.

（3）階段3：闡明

通過前面的經(jīng)驗(yàn)和教師盡可能少的提示，讓學(xué)生在明白術(shù)語的前提下表達(dá)自己的看法，開始形成學(xué)習(xí)的關(guān)系系統(tǒng).

（4）階段4：自由定向

學(xué)生碰到多步作業(yè)和能以不同方式完成的作業(yè)（一題多解），于是他們可以進(jìn)行自主探索，并在探索的過程中逐漸地獲得經(jīng)驗(yàn)，通過明確學(xué)習(xí)對象之間的關(guān)系來確定學(xué)習(xí)領(lǐng)域的方向.

（5）階段5：整合

學(xué)生回顧自己所用的方式并形成一種觀點(diǎn)，對象和關(guān)系被統(tǒng)一內(nèi)化為一個新的思維領(lǐng)域，教師做全面的評述幫助學(xué)生完成這一過程.

二、范希爾理論對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

范希爾認(rèn)為幾何思維各水平間的學(xué)習(xí)成長歷程，主要來自教學(xué)的組織與方法以及教材的選擇和使用，而不是隨著年齡成長和心理成熟而自然而然地提升的.合理地運(yùn)用范希爾理論有助于教師為學(xué)生構(gòu)建學(xué)習(xí)環(huán)境，提高教學(xué)效率.下面結(jié)合范希爾理論談?wù)勂鋵πW(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示.

（一）聯(lián)系生活實(shí)際，合理創(chuàng)設(shè)情境

范希爾理論中對于水平2的分析能力的培養(yǎng)告訴我們要注重數(shù)學(xué)聯(lián)系生活實(shí)際，善于引導(dǎo)學(xué)生將幾何概念從生活實(shí)際中抽象出來.然而，很多老師只是停留在表面，例如三角形的認(rèn)識，只會一味地從三角形的標(biāo)準(zhǔn)圖引出概念，這樣很容易讓學(xué)生喪失學(xué)習(xí)幾何的興趣.要在學(xué)生熟悉的生活實(shí)踐中挖掘數(shù)學(xué)材料作為教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受到數(shù)學(xué)的親切.這件工作貌似容易，其實(shí)并不簡單.要求研究者要熟悉作為教育的數(shù)學(xué)，同時要了解相應(yīng)年齡段學(xué)生的生活、興趣以及心理狀況.

在馮玉新老師上的“圓的認(rèn)識”一課中，老師首先課件出示，16個人站成一排，比賽誰先搶到籃球，老師問結(jié)果如何呢？學(xué)生很快地反應(yīng)：“最中間那個同學(xué)應(yīng)該最快搶到球.”還有的學(xué)生說：“這樣比賽不公平.”老師再次追問，“那你們認(rèn)為怎樣站才比較公平？”學(xué)生回答：“以球?yàn)橹行膰梢粋€圓形.”于是，就自然而然地引出所學(xué)的課題，這樣的新課導(dǎo)入，與學(xué)生們的生活實(shí)際緊緊聯(lián)系，激發(fā)了學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的興趣.

其實(shí)，在我們的生活中，可以找到無數(shù)與“圖形與幾何”的教學(xué)相對應(yīng)的模型.例如，在教學(xué)“認(rèn)識圖形”時，就有各種各樣常見的樓房、積木、食品罐、籃球分別與長方體、正方體、圓柱、球這些立體圖形對應(yīng).在教學(xué)“圖形的運(yùn)動”時，電梯、動車的升降，摩天輪、風(fēng)扇葉子的旋轉(zhuǎn)以及卡通圖片、剪紙中的對稱等等都是圖形變換的現(xiàn)象.而教學(xué)“圖形與位置”時，則可以利用學(xué)生的上、下學(xué)、商場購物等情境來展開教學(xué)，這些都有利于學(xué)生空間觀念的形成.

（二）結(jié)合認(rèn)知規(guī)律，進(jìn)行合理預(yù)設(shè)

在范希爾理論“引導(dǎo)定向”教學(xué)階段，老師為學(xué)生仔細(xì)地安排活動順序，這要求教師備課時做好合理預(yù)設(shè)，做到結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律來對教材加以理解、研究和再創(chuàng)造，那么，不僅教師教得輕松，學(xué)生也學(xué)得愉快.

在四年級下冊的“三角形的三邊關(guān)系”中，教材的編寫意圖是：讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)探究活動，歸納出“三角形任意兩邊的和大于第三邊”的結(jié)論，這樣的編寫，給老師的教指明了方向，但是學(xué)生對為什么要用這四組小棒試搭三角形覺得很茫然，課堂活動變得很盲目，學(xué)生只能機(jī)械地遵循教師的指導(dǎo)去做.于是，潘小明老師大膽地進(jìn)行了“再創(chuàng)造”，片段如下：

師：你們知道給每人發(fā)兩根小棒干什么嗎？

生1：因?yàn)檎n題是三角形邊的關(guān)系，我以為會發(fā)三根小棒讓我們擺三角形的，可是只發(fā)了2根，我就不知道干什么了.

生2：可能是擺角用的.

師：不是用來擺角的，確實(shí)是用來擺三角形的.

生3：三角形是有三條邊，需要三根小棒，你發(fā)兩根，我們怎么擺呢？

教師出示：現(xiàn)有兩根小棒，一根長3厘米，另一根長5厘米，再配上一根多長的小棒，就能圍成一個三角形？有幾種配法？

師：將你要配的小棒畫在紙上，你有幾種配法都在紙上畫出來.

學(xué)生獨(dú)立思考著，操作著……

這樣，只給學(xué)生兩根小棒，讓學(xué)生自己去創(chuàng)設(shè)第3根小棒，促使學(xué)生自己去思考需要怎樣的一根小棒呢？化被動的盲目操作為主動的實(shí)驗(yàn)探究，符合了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律及幾何思維水平特征，讓課堂變得更靈活.

（三）注重增強(qiáng)體驗(yàn)，發(fā)展空間觀念

我們可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)小學(xué)生都處于范希爾理論的水平0和水平1的層次，少部分人處于水平2，這說明學(xué)生的幾何思維水平發(fā)展符合范希爾理論不連續(xù)性的特點(diǎn)，從一個思維水平到另一個思維水平的過渡是跳躍的，也是極為不易的，所以我們?nèi)粘＝虒W(xué)中要善于增強(qiáng)學(xué)生的體驗(yàn)，讓學(xué)生通過自身的動手、操作、實(shí)踐，不斷獲得數(shù)學(xué)活動的體驗(yàn)，增強(qiáng)他們的空間觀念，從而幫助學(xué)生盡快地實(shí)現(xiàn)思維水平的過渡.例如，李艷玲老師“長方體的認(rèn)識”的教學(xué)片段：

師：現(xiàn)在拿出你準(zhǔn)備的一個長方體物體，仔細(xì)地摸一摸，告訴老師你有什么感覺？

生：我摸到了有平平的、光光的感覺……

生：我感到了扎扎的、癢癢的、硬硬的……

師：哪些地方平平的？那些地方癢癢的？

生（邊操作邊說）：這個地方是平平的，這個地方會扎扎的、癢癢的，這條線硬硬的.

師：像這樣，平平的地方是長方體的面，扎扎的、癢癢的是長方體的頂點(diǎn)，硬硬的線就叫作長方體的棱.

教師再用規(guī)范的語言介紹長方體各部分的名稱：面、棱、頂點(diǎn).

這樣子讓學(xué)生在自我動手操作中感受到了長方體的特征，增強(qiáng)了他們的空間觀念，讓抽象的概念變得具體可感.

（四）強(qiáng)調(diào)因材施教，提高教學(xué)效率

在第0層，也就是視覺期，這個時候孩子主要是通過看，觀察實(shí)物，由實(shí)物的輪廓來辨認(rèn)形體或者是圖形.教師必須抓住學(xué)生的年齡特征，特定的年齡，意味著特定的思維特征.低年級的學(xué)生認(rèn)識平面圖形和立體圖形，基本上都是先觀察實(shí)物，再通過輪廓來識別，而且在認(rèn)識的時候用的不一定是標(biāo)準(zhǔn)語言.比如，長方形會說瘦瘦的、長長的、像門的樣子；說正方形，方方正正的；說圓形是以前吃過的餅干或者說是硬幣的樣子.對于這個層次，其核心就是要有大量感知性的活動.使用卡片、小棒等教學(xué)用具讓學(xué)生“分一分、擺一擺”，讓兒童從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)中獲得概念.小學(xué)中、高年級的兒童，則已逐漸進(jìn)展到分析階段，這時候的教學(xué)，可以安排適當(dāng)?shù)挠^察及實(shí)際驗(yàn)證的方法，分析圖形的構(gòu)成要素及圖形的性質(zhì).

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