李啟超　張燕

【摘要】甘志國先生在文獻[1]中指出2015年北京高考理科數(shù)學壓軸題的命題背景是一類“數(shù)學黑洞”問題，并且作為對2015年壓軸題的推廣，在文末提出了一個猜想. 本文中我們指出這個猜想在一般情況下不成立，然后借助初等數(shù)論歐拉定理等知識給出該猜想成立的一個充分條件和嚴格證明.

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學；歐拉定理；原根；循環(huán)軌道；數(shù)學黑洞

1 “數(shù)學黑洞”的概念與相關(guān)例題

已知定義在有限集合S={a1，a2，…，an}到自身的映射σ：S→S，如果對于集合S的某個非空真子集S0={b1，b2，，…，bm}S滿足σ（bi）=bi+1， 1≤i

我們指出，很多“數(shù)學黑洞”型問題在離散動力系統(tǒng)理論、組合圖論和數(shù)論的研究中有重要意義. 事實上，近年來很多高考數(shù)學題和競賽題目往往有著深刻的高等數(shù)學背景，例如2010年北京高考數(shù)學壓軸題背景是通信技術(shù)中的糾錯碼理論[3]，2014年北京高考數(shù)學壓軸題背景是多工序流水線時間最優(yōu)化問題[5]，這些數(shù)學題目新穎大氣，數(shù)學思想豐富，有效地擴展了廣大考生的數(shù)學視野.

文獻[1]中，甘志國先生指出2015年北京高考理科數(shù)學壓軸題的命題背景就是一種“數(shù)學黑洞”型問題，為方便讀者我們將問題陳述如下：

問題1（2015年北京卷理科第20題）已知數(shù)列{an}滿足：a1∈[WTHZ]N[WTBX]*且a1≤36，

從而a1=1 時，|M|=8.

容易知道，當?shù)钠瘘ca1為奇數(shù)時，M={an[JB（|]n∈[WTHZ]N[WTBX]*[JB）]}中元素個數(shù)才可能有最大值.

① 當a1為奇數(shù)， 且不是3的倍數(shù)時，a3，a4，…都是4的倍數(shù)且不是3的倍數(shù)，a3，a4，…只能在{4， 8， 16， 32， 28， 20}中取值，此時|M|中最多有8個元素.

② 當a1為奇數(shù)，且是3的倍數(shù)時，a3，a4，…都是12的倍數(shù)，a3，a4，…只能在{12， 24， 36}中取值，此時|M|中最多有5個元素.

綜上，M={an[JB（|]n∈[WTHZ]N[WTBX]*[JB）]}中元素個數(shù)最大值為8. 證畢.

說明我們將在本文第二節(jié)說明循環(huán)軌道的長度與初等數(shù)論中的歐拉定理相關(guān)，并嚴格證明問題一的一種推廣形式.“數(shù)學黑洞”型問題及其解題思想在近年來的高考和數(shù)學競賽中時有出現(xiàn)，我們再試舉一例：

問題2（2015年北京高中數(shù)學知識應(yīng)用競賽決賽第五題）有一種叫做“嚴格對插洗牌”的撲克牌洗牌方法，每洗一次牌（牌的張數(shù)是偶數(shù)）） 即是完成如下兩步操作：

①將這疊牌（2n 張）的前 n 張分為第一組，后 n 張為第二組；

②從兩組中按順序依次交替摸牌，直至摸完為止，依照摸出的順序?qū)⑴婆懦梢慌?比如，對于A、2、3、4、5、6這6張牌，并依此順序從左到右排成一排，第一次嚴格對插洗牌之后的牌序變?yōu)锳、4、2、5、3、6.問題：

（1）對于順序為1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的10張牌，經(jīng)過2017次嚴格對插洗牌之后，第5張是什么牌？標記為9的牌在哪個位置？

（2）如果對于任意排好順序的20張牌，最少經(jīng)過多少次嚴格對插洗牌之后，牌的順序變回到初始位置？

分析解決本題第（2）小問的關(guān)鍵是引入字母，將每次“洗牌”描述成一個映射，并且觀察到這個映射的迭代將陷入“數(shù)學黑洞”.

解答（1）洗牌后第5張牌是3；標記為9的牌是第8張，過程略.

（2）容易觀察到，每次“洗牌”不改變第一張和最后一張牌的編號. 我們不妨將處于中間的（2n-2）張牌重新編號為1，2，…，k，…，2n-2，每次洗牌，這些牌的位置序號一直在變化.每次洗牌看做一個映射，則牌的位置序號變化滿足映射：

2x（mod（2n-1））， x∈{1，2，…，2n-2}.

映射σ是這2n-2張牌所成集合到自身的一個映射，滿足

σk（x）=2kx（mod 2n-2），k=1，2，3…，

這個數(shù)列只能在{1，2，…，2n-2}中取值，后一項由前一項唯一決定，因而當k足夠大時，數(shù)列將陷入循環(huán)，即陷入“數(shù)學黑洞”.

經(jīng)過k次洗牌后，原來編號為x的牌位置序號變成

2kx（mod（2n-1））.

若經(jīng)過k次洗牌后，牌的順序回到初始位置，k須滿足2k≡1（mod（2n-1）），當2n-1=19時，不難直接驗證得，k 至少為φ（19）=18. 所以，至少要經(jīng)過18次洗牌后，牌的順序回到初始位置.

2甘志國先生的一個猜想與初等數(shù)論

甘志國先生在文[1]的結(jié)尾處提出了一個猜想，陳述如下：

致謝我們感謝北京師范大學數(shù)學科學學院童行偉教授的有益的修改建議.

參考文獻

[1]甘志國. 2015年高考北京卷數(shù)學（理科）壓軸題的背景是數(shù)學黑洞問題[J]. 中學數(shù)學雜志，2015（7）：42-45.

[2]潘承洞， 潘承彪. 初等數(shù)論[M]. 北京：北京大學出版社. 1992.

[3]李啟超， 榮賀. 從高中數(shù)學試題到糾錯碼理論[J]. 數(shù)學通報， 2016， 55（4）：47-51.

[4]Michael Ecker著， 劉強譯. 數(shù)學黑洞的魅力[J]. 世界科學， 1993（10）：6-6.

[5]華羅庚，王元. 數(shù)學模型選談[M].大連：大連理工出版社.