陳文淵

[摘 要]“數”和“形”是小學數學教學的研究對象，“以形助數”可以溝通幾何直觀與數學抽象之間的聯系，可以將抽象問題具體化，復雜問題簡單化，可以活躍學生思維，拓寬解題思路，提高解題能力。在教學中，教師可以通過以形表數、以形助數、以形想數、以形解數向學生滲透“數形結合”思想，使學生深刻理解數學知識。

[關鍵詞]數形結合；教學研究；數學知識

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）02-037

“數”和“形”是貫穿整個小學數學教材的兩條主線，“數”構成了數學的抽象化符號語言，“形”構成了數學的直觀化圖形語言，在研究抽象“數”的時候，往往要借助直觀的“形”，即將代數問題轉化成幾何圖形問題，把抽象的數學語言與直觀的圖形語言結合起來。

一、以形表數——連接“幾何直觀”與“數學抽象”之間的“紐帶”

概念的特點是抽象概括，是事物本質屬性的反映。概念教學是數學教學的難點，因為小學生以形象思維為主，理解抽象的概念知識有很大的難度，所以教師可以借助幾何形體，以形表數，以形引數，把抽象的概念形象化，幫助學生在直觀中理解抽象的數學知識。

例如，“乘法分配律”歷來都是學生難學，教師難教的一節(jié)課。許多教師只關注演示分配律的兩種不同表達方式，而忽略了對分配律意義的教學，學生對分配律的理解往往只停留在識記與模仿的層面，沒有真正理解概念的本質。在教學這節(jié)課時，教師應以形表數，以形引數，讓學生深刻理解乘法分配率的本質。

教師出示一個長為5厘米、寬為3厘米的長方形，讓學生用兩種方法求出長方形的周長。

生1：5×2+3×2。

生2：（5+3）×2。

師：誰能說一說算式中每一步所表示的意思？（讓學生數形結合，說出算式的意思，為理解乘法分配律做好準備）

（教師隱去圖中的具體數據。出示長方形 ，請學生寫出求長方形周長的方法）

生3：（長+寬）×2。

生4：長×2+寬×2。

生5：長+寬×2。

師：為什么生1的式子只乘以一個2，而生2的式子要乘以兩個2呢？生3的式子對不對？為什么？（學生作圖辨析，如圖1）

在這個以形表數的過程中，教師通過提問和引導作圖，有效減少（5+3）×2=5+3×2這類錯誤的出現。學生對乘法分配律的直觀模型有了更深刻的理解。

最后，教師以形引數，提取乘法分配律的符號模型，讓學生經歷符號化的過程。

師：將長方形的長和寬變成a和b，周長怎樣算？a和b可以是幾？（教師出示圖2 ，讓學生猜測并證明）

教師將周長的計算變成了線段a、b的延伸，形的延伸帶動數的擴張，使教學一下子從平鋪走向激蕩，逼迫學生逐步從借助直觀的畫圖，到看圖想象，再到改造算式的活動中，理解和內化了“分配”的實際含義，建立了意義與形式的完整聯系，成功抽取出乘法分配律的符號模型。

二、以形助數——尋找“幾何直觀”與“數學抽象”之間的“支撐”

探索規(guī)律需要較強的邏輯思維能力，而所需要的思維能力與學生的思維水平存在一定的差距，為縮短兩者之間的差距，就需要在它們之間尋找一個支撐點，而這個支撐點就是“數形結合”。

例如，用簡便方法計算 + + + +…+ ?？吹筋}目后，學生的第一反應是用異分母加減的方法計算，雖然，這樣計算比較煩瑣，但幾乎沒有學生想到用簡便方法計算。針對此現象，教師先引入另一道題：一塊正方形菜地，用它的 種茄子，用它的 種辣椒，用它的 種土豆，用它的 種韭菜，種這四種菜的總面積占這塊菜地的幾分之幾？當學生列出算式后，教師引導學生畫圖理解（如圖3）。通過觀察圖形，學生不難發(fā)現其規(guī)律：要求 + + + 的和，只要用大正方形的面積減去陰影部分的面積即可，而陰影部分的面積剛好是這塊正方形菜地的 ，從而得到簡便算法 + + + =1- = 。同時，教師啟發(fā)學生思考，依此類推再分下去，當分到 、 時，剩下的面積對應的是 、 ，再通過簡便計算就能得出相應的面積。

這一過程絕不是簡單的模仿和記憶，而是從正方形的面積入手，為學生構建數形結合的平臺，將抽象的數學知識轉化為便于學生理解的表象，從而將數與形有機地結合在一起，降低學生的解題難度，同時有利于培養(yǎng)學生的觀察能力、抽象能力、推理能力和發(fā)散思維能力。

三、以形想數——架設“幾何直觀”與“數學抽象”之間的“橋梁”

計算教學應以清晰的理論引導學生理解算理，在理解算理的基礎上掌握計算方法，使學生“知其然”，也“知其所以然”。借助直觀的圖形可以將抽象的算理形象化、簡單化，使抽象的計算過程有了形象的替代橋梁，數學不再是抽象艱澀，而變得有趣生動。

例如，“精打細算”這節(jié)課，教學目標是讓學生掌握小數除以整數的計算方法。結果學生在解題時不是丟了商中的小數點，就是在豎式中點上小數點，為什么會出現這樣的錯誤呢？究其原因，就是沒有真正理解算理。教師可以調整教學方法，借助圖形，從小數的意義上讓學生深刻理解算理。

師：這有兩道除法豎式（如圖4），你覺得哪種寫法更合理？

生1：我認為兩種寫法都合理，因為15角也就是1.5元。

生2：假設這個算式中的11.5不表示錢，而是表示一些圖形（如圖5），這樣一來第二種方法就不合理。

生3：如圖6，可以把10個正方形平均分成5份，每份分到2個正方形，剩下的一個正方形就應分成10份，變成10個0.1，和剩下的5個0.1合在一起變成15個0.1后再繼續(xù)分。把15個0.1平均分成5份，每份應分得3個0.1，3要寫在商的十分位上，豎式中的15實際上是表示15個0.1，不應寫或1.5。因此第一種寫法更合理。

多么巧妙的回答呀，一個簡單的圖形清楚地詮釋了計算的道理，令學生的印象深刻。

四、以形解數——開辟“幾何直觀”與“數學抽象”之間的“通道”

《九章算術》指出：析理以辭，解體用圖。小學數學中的問題不僅抽象，而且有的數量關系還比較隱蔽，不易被覺察或直接應用。畫圖可以幫助學生將題中隱蔽的數量關系呈現出來，通過看圖、想圖，正確分析數量關系，尋找解決問題的策略，把學生的思維引向更深處。

教師出示例題：有一塊長方形的試驗田，如果試驗田的寬增加4米，或者長增加6米，面積都比原來增加48平方米，你知道原來試驗田的面積是多少平方米嗎？學生分析該題的數量關系有一定的難度，教師可以引導學生畫圖（如圖7），讓學生看到圖形的變化過程。

通過觀察畫圖的過程，學生發(fā)現原來用48÷4就能求出長方形的長，用48÷6就能求出長方形的寬，用（48÷6）×（48÷4）就能求出長方形的面積。接著，教師給出變式練習：有一個長方形操場，長50米，寬40米。（1）如果長增加8米，面積增加多少平方米？（2）如果寬增加8米，面積增加多少平方米？（3）如果長和寬都增加8米，面積增加多少平方米？（4）如果將長方形的長和寬各減少8米，面積減少多少平方米？無論怎樣改變題目的條件，學生都能快速地解決問題。

由此看來，在教學中滲透數形結合的思想，用恰當的圖形表示其數量關系，讓隱含條件顯現，能使學生解決問題的方法更具有簡約化與創(chuàng)造性。

著名數學家華羅庚指出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”數形結合的思想滲透在數學教學的每個領域，這就要求教師在實際教學中應該努力鉆研教材，把握數形結合思想方法滲透的固著點，落實滲透數形結合思想方法的著力點，從而為學生尋找一支合適的“長篙”，引領學生的思維向更深處漫溯。

（責編 李琪琦）