哈爾濱師范大學(xué)研究生 馬正方

數(shù)列論

哈爾濱師范大學(xué)研究生 馬正方

本文以數(shù)列為話題，以二階等差、等比數(shù)列為論點(diǎn)，對(duì)該數(shù)列進(jìn)行中肯的分析解讀，從而提出了二階等差、等比數(shù)列定律。

二階等差數(shù)列；二階等比數(shù)列；奇數(shù)項(xiàng)；偶數(shù)項(xiàng)

一、關(guān)于等差、等比數(shù)列定律

【二階等差數(shù)列定律】任何項(xiàng)數(shù)能夠滿足需要的二階等差數(shù)列（設(shè)公差為x）：（1）其中任何連續(xù)三項(xiàng)（或五項(xiàng)、七項(xiàng)、九項(xiàng)之類的奇數(shù)項(xiàng)），中項(xiàng)的平方（其他奇數(shù)項(xiàng)則與首尾兩項(xiàng)相鄰的兩項(xiàng)之積）減去首尾兩項(xiàng)之積所得的差數(shù)構(gòu)成二階等差數(shù)列（與上述關(guān)于三項(xiàng)以及括號(hào)內(nèi)相對(duì)應(yīng)此等差數(shù)列的公差分別是x2、3x2、5x2、7x2之類系數(shù)均為奇數(shù)）。（2）其中任何連續(xù)四項(xiàng)（或六項(xiàng)、八項(xiàng)、十項(xiàng)之類的偶數(shù)項(xiàng)），與首尾兩項(xiàng)相鄰的兩項(xiàng)之積減去首尾兩項(xiàng)之積所得的差數(shù)構(gòu)成二階等差數(shù)列（與上述關(guān)于四項(xiàng)以及括號(hào)內(nèi)相對(duì)應(yīng)此等差數(shù)列的公差分別是2x2、4x2、6x2、8x2之類系數(shù)均為偶數(shù)）。

例1 七項(xiàng)的二階等差數(shù)列1、3、8、16、27、41、58（從3開始，各項(xiàng)減前項(xiàng)之差為2、5、8、11、14、17這樣公差為3的等差數(shù)列）：

關(guān)于連續(xù)三項(xiàng)：32-1×8=1，82-3×16=16，162-8×27=40，272-16×41=73；如此這般，16-1=15，40-16=24，73-40=33，并且15、24、33構(gòu)成公差為9的等差數(shù)列，從而1、16、40、73構(gòu)成二階等差數(shù)列；“15、24、33”的公差9是“2、5、8、11、14、17”的公差3的平方。

關(guān)于連續(xù)四項(xiàng)：3×8-1×16=8，8×16-3×27=47，16×27-8×41=104，27×41-16×58=179；如此這般，47-8=39，104-47=57，179-104=75，并且39、57、75構(gòu)成公差為18的等差數(shù)列，從而8、47、104、179構(gòu)成二階等差數(shù)列；“39、57、75”的公差18是“2、5、8、11、14、17”的公差3的平方的2倍。

例2 九項(xiàng)的二階等差數(shù)列1、3、7、13、21、31、43、57、73（從3開始，各項(xiàng)減前項(xiàng)之差為2、4、6、8、10、12、14、16這樣公差為2的等差數(shù)列）：

關(guān)于連續(xù)五項(xiàng)：3×13-1×21=18，7×21-3×31=54，13×31-7×43=102，21×43-13×57=162；如此這般，54-18=36，102-54=48，162-102=60，并且36、48、60構(gòu)成公差為12的等差數(shù)列，從而18、54、102、162構(gòu)成二階等差數(shù)列；“36、48、60”的公差12是“2、4、6、8、10、12、14、16”的公差2的平方的3倍。

關(guān)于連續(xù)六項(xiàng)：3×21-1×31=32，7×31-3×43=88，13×43-7×57=160，21×57-13×73=248；如此這般，88-32=56，160-88=72，248-160=88，并且56、72、88構(gòu)成公差為16的等差數(shù)列，從而32、88、160、248構(gòu)成二階等差數(shù)列；“56、72、88”的公差16是“2、4、6、8、10、12、14、16”的公差2的平方的4倍。

例3 十項(xiàng)的二階等差數(shù)列3、5、10、18、29、43、60、80、103、129（從5開始，各項(xiàng)減前項(xiàng)之差為2、5、8、11、14、17這樣公差為3的等差數(shù)列）：

關(guān)于連續(xù)七項(xiàng)：5×43-3×60=35，10×60-5×80=200，18×80-10×103=410，29×103-18×129=665；如此這般，200-35=165，410-200=210，665-410=255，并且165、210、255構(gòu)成公差為45的等差數(shù)列，從而35、200、410、665構(gòu)成二階等差數(shù)列；“165、210、255”的公差45是“2、5、8、11、14、17”的公差3的平方的5倍。

二階等差數(shù)列這個(gè)名詞早已問世，我想也應(yīng)該有二階等比數(shù)列這個(gè)名詞，于是我查找大量數(shù)學(xué)書籍，竟然沒有找到。我想數(shù)學(xué)不應(yīng)該有禁區(qū)，于是經(jīng)過研究，得到了“二階等比數(shù)列定律”。

【二階等比數(shù)列定義】一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)除以前項(xiàng)所得的商數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，這個(gè)數(shù)列就是二階等比數(shù)列。

【二階等比數(shù)列定律】任何項(xiàng)數(shù)能夠滿足需要的二階等比數(shù)列（設(shè)公比為x）：（1）其中任何連續(xù)三項(xiàng)，首尾兩項(xiàng)之積減去中項(xiàng)的平方所得的差數(shù)構(gòu)成二階等比數(shù)列，公比是x2。（2）其中任何連續(xù)N（N＞3）項(xiàng)，首尾兩項(xiàng)之積減去與首尾兩項(xiàng)相鄰的兩項(xiàng)之積所得的差數(shù)構(gòu)成二階等比數(shù)列，公比也是x2。

例1 七項(xiàng)的二階等比數(shù)列2、2、4、16、128、2048、65536（從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)除以前項(xiàng)之商為1、2、4、8、16、32這樣公比為2的等比數(shù)列）：

關(guān)于連續(xù)三項(xiàng)：（首項(xiàng)）2×4-（中項(xiàng)）22=4，（亞項(xiàng)）2×16-42=16，4×128-162=256，16×2048-1282=16384；如此這般，16÷4=4，256÷16=16，16384÷256=64，并且4、16、64構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列，從而4、16、256、16384構(gòu)成二階等比數(shù)列；“4、16、64”的公比4是“1、2、4、8、16、32”的公比2之平方。

關(guān)于連續(xù)四項(xiàng)：（首項(xiàng)）2×16-（亞項(xiàng)）2×4=24，（亞項(xiàng)）2×128-4×16=192，4×2048-16×128=6144，16×65536-128×2048=786432；如此這般，192÷24=8，6144÷192=32，786432÷6144=128，并且8、32、128構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列，從而24、192、6144、786432構(gòu)成二階等比數(shù)列；“8、32、128”的公比4是“1、2、4、8、16、32”的公比2之平方。

例2 八項(xiàng)的二階等比數(shù)列2、2、4、16、128、2048、65536、4194304（從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)除以前項(xiàng)之商為1、2、4、8、16、32、64這樣公比為2的等比數(shù)列）：

關(guān)于連續(xù)五項(xiàng)：（首項(xiàng)）2×128-2×16=224，（亞項(xiàng)）2×2048-4×128=3584，4×65536-16×2048=229376，16×4194304-128×65536=58720256；如此這般，3584÷224= 16，229376÷3584=64，58720256÷229376=256，并且16、64、256構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列，從而224、、3584、229376、58720256構(gòu)成二階等比數(shù)列；“16、64、256”的公比4是“1、2、4、8、16、32、64”的公比2之平方。

二、數(shù)列是什么

哲學(xué)認(rèn)為“量變引起質(zhì)變”。不是個(gè)體，而是由N（N＞2）個(gè)數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列具有一定的規(guī)模效應(yīng)，從而能夠進(jìn)行“科學(xué)的抽象”，抽象出定理定律之類的理論知識(shí)，使人客觀、全面、本質(zhì)地認(rèn)識(shí)事物。數(shù)學(xué)工作者和數(shù)學(xué)愛好者應(yīng)當(dāng)樹立“數(shù)列價(jià)值觀”，從而豐富自己的“數(shù)學(xué)頭腦”，走“數(shù)列路線”，密切聯(lián)系數(shù)列。數(shù)列是什么？說白了，數(shù)列就是數(shù)學(xué)王國的“群眾”啊！數(shù)列具有群眾性。相信這樣的群眾，依靠這樣的群眾，尊重這樣的群眾所體現(xiàn)的規(guī)模效應(yīng)，從而讓先進(jìn)的數(shù)學(xué)文化知識(shí)大放異彩！尤其是近年來，數(shù)列方面的問題已經(jīng)成為高考的熱點(diǎn)。筆者發(fā)表的論文《“巧妙的證明”費(fèi)爾馬大定理》、《奇數(shù)之和定律破解千年懸案并且證明費(fèi)爾馬大定理》和《證明哥德巴赫猜想“1+1”并且證明“1-1”》都是走“數(shù)列路線”。

三、等差數(shù)列的普遍意義

等差數(shù)列具有相當(dāng)?shù)钠毡橐饬x，因?yàn)樽匀粩?shù)列就是公差為1的等差數(shù)列。留心處處皆學(xué)問，細(xì)微之處見精神，細(xì)節(jié)往往決定成敗??！等差數(shù)列和等比數(shù)列雖然有一定的類比關(guān)系，但是其本質(zhì)區(qū)別在于：在正整數(shù)范圍內(nèi)任何遞升的三項(xiàng)等比數(shù)列，中項(xiàng)前后兩項(xiàng)的乘積等于中項(xiàng)的平方；然而在正整數(shù)范圍內(nèi)，任何遞增的三項(xiàng)等差數(shù)列，不僅中項(xiàng)前后兩項(xiàng)的乘積，還要加上公差的平方（比等比數(shù)列多了這樣一個(gè)附加條件，即要多一個(gè)“加數(shù)”），這樣才能等于中項(xiàng)的平方?？上祟愒谙喈?dāng)長久的歷史中并沒有認(rèn)識(shí)到等差、等比數(shù)列存在如此的本質(zhì)區(qū)別。自然數(shù)列開頭的幾個(gè)數(shù)字1、2、3、4，1、2、3就是三項(xiàng)等差數(shù)列，1、2、4就是三項(xiàng)的等比數(shù)列。然而哪個(gè)人能夠明察秋毫地認(rèn)識(shí)到該等差數(shù)列存在1×3+12（公差的平方）=22，比該等比數(shù)列存在1×4=22要多一個(gè)加數(shù)，即公差的平方呢？可見熟視無睹是不行的，不留心細(xì)微之處的細(xì)節(jié)便往往“差之毫厘失之千里”，使得中項(xiàng)定理的發(fā)現(xiàn)比勾股定理的發(fā)現(xiàn)推遲了千年之久，可謂“差之毫厘失之千年”啊！中項(xiàng)定理來之不易。我勸天公多抖擻，不拘時(shí)間降定理，一道靈感劃破夜空，中項(xiàng)定理應(yīng)運(yùn)而生，正如愛迪生所言，他的發(fā)明都是百分之九十九的汗水加百分之一的靈感。靈感是什么？靈感就是天公給予勤奮者的獎(jiǎng)賞?。≈许?xiàng)定理是勾股定理的好伴侶，“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)精華。中項(xiàng)定理是勾股定理的數(shù)化，而勾股定理則是中項(xiàng)定理的形化。可愛的中國，她是數(shù)學(xué)的故鄉(xiāng)，勾股定理和中項(xiàng)定理不約而同地誕生在中國，這是歷史的選擇??！我們的祖國叫中國，我們的民族叫中華，我國的腹地叫中原，還有中庸、中和、中興、中意等等不勝枚舉，“行不行”也說成“中不中”，現(xiàn)在又有一個(gè)定理叫中項(xiàng)，可見“中”的大家族多么興旺發(fā)達(dá)??！

四、點(diǎn)贊數(shù)列有保障

數(shù)列啊數(shù)列，數(shù)多能量大，有理其中掛，你勤它就合，任你來摘拿！

數(shù)列啊數(shù)列，或三五成群的有限，或不計(jì)其數(shù)的無限，似天地的兒女，若陰陽的化身（古人把偶數(shù)視為陰數(shù)，把奇數(shù)視為陽數(shù)），在數(shù)學(xué)舞臺(tái)上表演惟妙惟肖的喜劇活戲啊！

數(shù)列啊數(shù)列，平凡而神奇，可歌又可泣。你愛數(shù)列呀，它就把自身的秘密全盤托出獻(xiàn)給你！

有道是“青春萬歲”，“理想萬歲”。我根據(jù)自己對(duì)數(shù)列的理解，我要說：

數(shù)學(xué)王國的群眾——數(shù)列萬歲！