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        例說(shuō)反證法

        2017-08-08 02:36:31浙江鎮(zhèn)海中學(xué)沈紅正
        數(shù)學(xué)大世界 2017年19期
        關(guān)鍵詞:反證法證法實(shí)數(shù)

        浙江鎮(zhèn)海中學(xué) 沈紅正

        例說(shuō)反證法

        浙江鎮(zhèn)海中學(xué) 沈紅正

        反證法是證明數(shù)學(xué)命題的一種間接證法,關(guān)于它的本質(zhì),有些學(xué)生總認(rèn)為反證法其實(shí)就是證明原命題的逆否命題,事實(shí)上,這種認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的。為了說(shuō)明問(wèn)題,先給出一個(gè)經(jīng)典習(xí)題的五種證明方法。

        原題:求證:a,b,c為正實(shí)數(shù)的充要條件是:a+b+c>0,且ab+bc+ca>0和abc>0。

        分析 必要條件顯然成立,而充分性的證明必須綜合考慮a+b+c>0,且ab+bc+ca>0和abc>0,不易找到突破口,故嘗試反證法。

        證法五:假設(shè)a,b,c不全為正實(shí)數(shù),則a,b,c中至少有一個(gè)為非正實(shí)數(shù)。

        ①若三個(gè)都是非正實(shí)數(shù),不妨設(shè)a≤0,b≤0,c≤0,則abc≤0,與abc>0矛盾。

        ②若兩個(gè)是非正實(shí)數(shù),不妨設(shè)a≤0,b≤0,c>0,則:

        當(dāng)a+c≤0時(shí),有a+b+c≤0,這與條件a+b+c>0矛盾;

        當(dāng)a+c>0時(shí),有ab+bc+ca=b(a+c)+ac≤0,與ab+bc+ca>0矛盾。

        ③若只有一個(gè)非正實(shí)數(shù),不妨設(shè)a≤0,b>0,c>0,則abc≤0,與abc>0矛盾。

        綜上可知,假設(shè)錯(cuò)誤,故a,b,c為正實(shí)數(shù)。

        比較以上五種方法,我們可以看到,它們都是在肯定條件的同時(shí)否定結(jié)論,并以此為依據(jù),進(jìn)行正確的推理,分別得到了矛盾(這是反證法的關(guān)鍵),但它們的矛盾形式是不一樣的,證法一與假設(shè)矛盾,證法二自相矛盾,證法三和五與題設(shè)條件矛盾,證法四與事實(shí)矛盾(這就是反證法的多樣性)。進(jìn)一步分析我們還發(fā)現(xiàn),證法三和五得到矛盾的途徑是不一樣的,證法三是綜合運(yùn)用假設(shè)和條件abc>0的情況下得到與a+b+c>0矛盾;而證法五是完全根據(jù)假設(shè)條件(a,b,c不全為正實(shí)數(shù))得到與題設(shè)條件矛盾,這正好證明了原命題的逆否命題:若a,b,c不全為正實(shí)數(shù),則a+b+c≤0,或ab+bc+ca≤0,或abc≤0。

        一般地,反證法就是欲證“pq?”,可以肯定它的條件,而否定它的結(jié)論q(用﹁q表示),在的條件下,經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出矛盾,即得到一個(gè)假命題“。如果在推導(dǎo)矛盾的過(guò)程中只用﹁q,而沒(méi)有用題設(shè)條件p做前提,且推導(dǎo)出的結(jié)果是﹁p,那么這樣證明的命題才是逆否命題,如證法五;如果在推導(dǎo)矛盾的過(guò)程中用了題設(shè)條件p做前提,如證法三,或推導(dǎo)出的結(jié)果不是﹁p,如證法一、二、四,那么這樣就不是證明逆否命題。

        所以,說(shuō)“反證法就是證明原命題的逆否命題”,僅是用反證法證明命題“pq?”時(shí)推出矛盾的一種特殊情況,將這一特殊情況理解為本質(zhì)是不對(duì)的。如果這樣去理解,那么在尋找矛盾時(shí)只會(huì)局限于與題設(shè)的矛盾,降低反證法的威力。因此,在學(xué)習(xí)反證法時(shí)必須明白其實(shí)質(zhì)是“證明命題的否定是錯(cuò)誤的”,而不是“證明否命題是錯(cuò)誤的”,從而靈活運(yùn)用這一方法去解決問(wèn)題。

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