江蘇省張家港市暨陽(yáng)高級(jí)中學(xué) 童先峰

根植課本，耕耘課堂
——高三一輪復(fù)習(xí)《橢圓》的教學(xué)實(shí)踐與思考

江蘇省張家港市暨陽(yáng)高級(jí)中學(xué) 童先峰

喬治·波利亞說(shuō)：“也許你要解答的題目很平常，但是它如果激起了你的好奇心，并使你的創(chuàng)造性發(fā)揮出來(lái)，而且你用自己的方法解決了它，那么你就能經(jīng)歷那種緊張的狀態(tài)，而且享受那種發(fā)現(xiàn)的喜悅……”這段話說(shuō)明在平時(shí)的教學(xué)中，我們教師要采用“遵循課程標(biāo)準(zhǔn)、緊扣考試說(shuō)明、根植課本素材、立足教考合一、突出思想方法、耕耘優(yōu)效課堂”的組織方式開展探究教學(xué)活動(dòng)，依托經(jīng)典題，給學(xué)生提供探究問題的平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)“授之以漁”，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定良好的知識(shí)基礎(chǔ)和思維保障。

下面，筆者以高三一輪復(fù)習(xí)圓錐曲線《橢圓》一課為例，就教學(xué)過(guò)程中如何讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)發(fā)現(xiàn)、發(fā)生、發(fā)展的探究過(guò)程與同行交流，敬請(qǐng)指正。

一、基本情況

授課對(duì)象：學(xué)生系高三物生實(shí)驗(yàn)班，學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科興趣盎然。

教學(xué)目標(biāo)：（1）探索發(fā)現(xiàn)不同方式刻畫橢圓的內(nèi)在聯(lián)系并進(jìn)行適度拓展；（2）激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的探究精神及學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的意識(shí)。

二、片段實(shí)錄

1.創(chuàng)設(shè)情境

引例：已知A（-3,0），B（3,0），直線PA,PB相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明此軌跡是何種曲線。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)課本習(xí)題的探求，帶著一份親切和樸實(shí)，激發(fā)學(xué)生解決問題的信心與興趣，使學(xué)生順利進(jìn)入探究問題的環(huán)節(jié)，有助于學(xué)生打開思維。

2.探究拓展

（1）追根溯源：?jiǎn)栴}1：你能由此將問題一般化，形成新的數(shù)學(xué)問題嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)師生共同探究發(fā)現(xiàn)橢圓除了高二時(shí)學(xué)的“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是一個(gè)常數(shù)”定義外，還可以通過(guò)“平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的斜率之積為常數(shù)”來(lái)刻畫，讓學(xué)生學(xué)有所得，學(xué)有所獲，進(jìn)一步激發(fā)探究問題的勇氣和力量。

（2）探究關(guān)聯(lián)：?jiǎn)栴}2：接下來(lái)讓我們一起再來(lái)對(duì)橢圓定義和推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行一次反思和探索，看能否有所發(fā)現(xiàn)？

【設(shè)計(jì)意圖】將問題情境形成橢圓的嶄新命題有機(jī)蘊(yùn)含于原來(lái)推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程，并衍生出圓錐曲線（橢圓）的統(tǒng)一定義，從而幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)在推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程中，因化簡(jiǎn)路徑的不同，所最終呈現(xiàn)的結(jié)論流芳溢彩，各有千秋，而后將圓與橢圓方程進(jìn)行類比，從另一層面更好地說(shuō)明橢圓的斜率定義的必然。

（3）逆向探究：?jiǎn)栴}3：我們?cè)倩氐絾栴}1，接下來(lái)一起進(jìn)行逆向研究，請(qǐng)思考問題1的逆命題是什么？結(jié)論是否成立？

（4）深度探究：?jiǎn)栴}4：如果將結(jié)論中的長(zhǎng)軸換成經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的任意一條弦，結(jié)論是否成立？

（5）延伸探究：?jiǎn)栴}5：請(qǐng)同學(xué)們課后繼續(xù)思考：能否將上述結(jié)論類比遷移到雙曲線中?

【設(shè)計(jì)意圖】以探索和應(yīng)用橢圓的性質(zhì)為載體，逐層深入，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷橢圓性質(zhì)的生成和應(yīng)用過(guò)程，使知識(shí)與能力得到升華，有助于學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、教學(xué)反思

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)間占了整個(gè)高中教學(xué)近三分之一的時(shí)間，復(fù)習(xí)課質(zhì)量的高低直接影響了學(xué)生數(shù)學(xué)能力的形成?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》明確提出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索，動(dòng)手實(shí)踐、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方法的轉(zhuǎn)變”。因此筆者感到，要真正改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的探究能力，必須將數(shù)學(xué)探究教學(xué)植根于日常教學(xué)活動(dòng)中，讓探究教學(xué)成為高三復(fù)習(xí)“常態(tài)”。

1.把握問題起點(diǎn)，突出能力立意

探究活動(dòng)起點(diǎn)太低,學(xué)生會(huì)覺得沒有探究的必要，不能激發(fā)學(xué)生探究的興趣；起點(diǎn)太高，學(xué)生無(wú)法在已有的知識(shí)方法與所要探究的對(duì)象之間建立有效的聯(lián)系，從而失去探究的信心。因此，在本節(jié)課探究設(shè)計(jì)中，筆者從課本的一道習(xí)題出發(fā)，通過(guò)軌跡方程中數(shù)據(jù)的關(guān)系提出問題，繼而引導(dǎo)學(xué)生反思橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，進(jìn)而得到橢圓斜率定義，并揭示出三個(gè)定義之間的聯(lián)系：實(shí)質(zhì)是源于方程的不同形式。這樣的設(shè)計(jì)也符合學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”原則，使大多數(shù)學(xué)生能主動(dòng)參與到探究活動(dòng)中來(lái)，從而讓大多數(shù)學(xué)生實(shí)現(xiàn)“跳一跳能摘到”，而不是僅針對(duì)少數(shù)數(shù)學(xué)尖子生而設(shè)計(jì)。

2.強(qiáng)化探究設(shè)計(jì)，引領(lǐng)知識(shí)延展

合情推理是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)歸納、類比、一般化、特殊化等思維方式去提出新問題是探究的重要途徑。本節(jié)課還通過(guò)橢圓與圓的類比，發(fā)現(xiàn)橢圓的斜率定義與圓的性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，充分揭示知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引發(fā)學(xué)生通過(guò)歸納、類比、一般化等方式不斷提出問題、解決問題并將探究成果應(yīng)用到高考題的解決中去，激發(fā)學(xué)生對(duì)這些性質(zhì)的進(jìn)一步研究和探索的興趣，同時(shí)，還可以在很大程度上減少探究的盲目性，提高學(xué)生的探究效率。

3.注重思想方法，耕耘優(yōu)效課堂

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》明確提出，教師應(yīng)成為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的組織者、指導(dǎo)者、合作者，教師應(yīng)該為學(xué)生提供較為豐富的數(shù)學(xué)探究課題的案例和背景，引導(dǎo)和幫助而不是代替學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題。在本節(jié)課中，筆者緊緊圍繞橢圓定義這個(gè)最基本的核心知識(shí)點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步的研究和探索，在整個(gè)探究過(guò)程中，教師主要貢獻(xiàn)是為學(xué)生攀登思維高峰搭建好“腳手架”,較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，從而不斷提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。