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        高中數(shù)學數(shù)列問題的解題技巧探究

        2017-02-16 12:25:32王啟新
        文理導航 2017年2期
        關鍵詞:數(shù)列解題技巧高中數(shù)學

        王啟新

        【摘 要】高中數(shù)學數(shù)列問題是必修課的難點,掌握數(shù)列的解題技巧對自如應對高考中的數(shù)列問題尤為重要。本文在分析高考數(shù)列常見題型的基礎上,詳細闡述了八種數(shù)列解題技巧。

        【關鍵詞】高中數(shù)學;數(shù)列;解題技巧

        數(shù)列問題是高中必修課程中的重難點,是高中數(shù)學的重要環(huán)節(jié),在整個高中數(shù)學知識體系及高考命題中都占據(jù)著十分重要的地位,近些年,數(shù)列課程比重日漸增多,高考中經常出現(xiàn)創(chuàng)新題型,因此,在學習中掌握高考數(shù)列的命題規(guī)律及解題相關技巧顯得尤為重要。

        一、數(shù)列基礎知識一定要掌握牢

        從2003年實行新課標后,數(shù)列就被列入到必修五教材中,數(shù)列在教材中重點是等差等比數(shù)列的概念,通項及前n項和公式及應用,數(shù)列與函數(shù)的關系等;難點是等差等比數(shù)列的通項及前n項和公式的靈活應用,求一些特殊數(shù)列的前n項和等;關鍵是等差等比數(shù)列的基本元素(a1,an,Sn,d,q)間的換算及恒等變形。

        二、數(shù)列知識在高考中的地位一定要明確

        數(shù)列知識是高中數(shù)學教材中的一個獨立章節(jié),具有十分重要的地位,是必考內容,無論是全國卷還是省卷都占據(jù)一席之地。

        數(shù)列近三年在高考中的出題方向及趨勢是:一般數(shù)列問題會有5-15分值,如果兩道題常出現(xiàn)在選擇和填空中,一般考查基礎知識,分值為10分。若出現(xiàn)在解答題中,一般一道題,分值一般為10-15分。解答題近兩年在全國理科卷里出現(xiàn)的情況較少,但對于今后的學習卻不課忽視,因為數(shù)列在今后的數(shù)學學習中起著基礎作用,我們斷不可輕視。

        三、數(shù)列的常用解題技巧

        (一)掌握數(shù)列常用的數(shù)學思想

        數(shù)學思想方法成為近兩年高考考查重點,在解決數(shù)列問題時常用到的思想方法有:方程思想、等價轉化思想、類比思想、函數(shù)思想、不等式思想、分類討論思想等。解題不要囿于一種數(shù)學思想,兩種數(shù)學思想混合應用的情況很常見。

        如2013年的大綱卷(理)17題(10分):等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比數(shù)列,求{an}的通項式。

        這道題就是主要考查等差數(shù)列的通項、 前n項和公式,以及利用裂項相消法求前n項和;考查的數(shù)學思想就是方程思想、轉化思想及邏輯思維能力的。

        如2016年全國II卷,(理)17題(12分):Sn等差數(shù)列{an}的前n項和,且a1=1,S7=28,bn=[lgan],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[lg99]=1。(I)求b1,b11,b101;(II)求數(shù)列{bn}的前1000項和。也是考查等價轉化思想及分類討論思想的應用。

        (二)掌握數(shù)列的性質

        數(shù)列作為一種特殊的函數(shù),因此它具有函數(shù)的性質,比如單調性、最值、周期性等等,數(shù)列的函數(shù)性質,作為數(shù)列與函數(shù)的交匯點的知識考查,是近幾年高考試題的熱點,也是考查學生綜合能力的出發(fā)點。

        1.數(shù)列的單調性

        數(shù)列的單調性是指:一般的,如果數(shù)列{an}滿足,對于任意的正整數(shù)n,都有an+1>an(或an+1

        如2013年全國II卷(理)16題(5分):等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為_______。就是考查等差數(shù)列的前n項和公式以及通過轉化利用函數(shù)的單調性判斷數(shù)列的單調性來做答。

        2.數(shù)列的周期性是指:對于數(shù)列{an}如果存在確定的數(shù)T和n0,(T≠0,n0∈N+)使得n≥n0恒有an+T=an,則稱{an}是從第n0項起周期為T的數(shù)列

        在高考中對數(shù)列周期性的考查主要涉及到以下兩種形式的題目:(1)已知周期,求數(shù)列中的項;(2)已知數(shù)列,求周期進而解決其他問題。

        2014年全國II卷,(文)16題(5分):數(shù)列{an}滿足an+1= ,a2=2,則a1=_________。該題是填空題的壓軸題,主要考查數(shù)列的遞推關系式,且無法轉化成特殊的數(shù)列,則可通過遞推關系式求出數(shù)列中的若干項,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性特點,從而得到所求。

        另外,數(shù)列的最值在高考中考查的次數(shù)較少,這里就不贅述了。

        (三)數(shù)列的解題方法

        1.熟練基礎方法

        通項與求和公式的直接應用,只要理解并熟用等差等比數(shù)列的通項公式及求和公式即可。

        2.求數(shù)列的通項公式

        累差疊加,累商疊乘法是高考中常用的方法,從而考查對數(shù)列的掌握情況。

        3.劃歸轉化法解題

        化歸轉化技巧就是把一些不能直接解的數(shù)列問題轉化為簡單的、已知的問題來求解。例如把數(shù)列問題轉化成等差、等比數(shù)列的問題求解;或者把數(shù)列問題轉化為函數(shù)問題求解;把數(shù)列的通項公式和求和公式看成是n的函數(shù)。

        如2014遼寧高考(理)8題,(5分)設等差數(shù)列{an}的公差為d,若數(shù)列{2 an}為遞減數(shù)列,則( )

        A.d<0牘 B.d>0牘 C.a1d<0牘 D.a1d>0

        主要考查等差數(shù)列的通項公式,函數(shù)的單調性等知識,體現(xiàn)了對數(shù)列和函數(shù)的綜合考查。

        4.運用公式由sn求an

        這種類型的題目常給出Sn與n的關系,或者Sn與an的關系,進而求數(shù)列的通項公式。可利用公式

        anS1 n=1

        Sn-Sn-1 n≥2 求其通項。

        5.用數(shù)學歸納法求數(shù)列的通項公式

        數(shù)學歸納法常常也用在求解數(shù)列通項公式類型的題目中,在由遞推公式求數(shù)列的通項時,如果常規(guī)的方法難以解決,那么通常可以采用“數(shù)學歸納法”。如2008年遼寧卷(理)21題(12分),數(shù)列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(n∈N )

        (Ⅰ)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜測{an},{bn}的通項公式,并證明你的結論;

        (Ⅱ)證明:++…+<。

        此題是考查等差數(shù)列,等比數(shù)列知識,綜合運用合情推理通過觀察,找出規(guī)律,提出猜想,再利用數(shù)學歸納法證明來解題。

        6.裂項相消法

        裂項相消是分解和組合思想在數(shù)列求和中的應用,其實質是將數(shù)列中的每一項(通項)分解,然后重新組合,使之能夠消去一些項,最終達到求和的目的。

        2015年全國I卷(理)17題(12分),Sn為數(shù)列{an}的前n項和。已知an>0,an2+an=4Sn+3。

        (Ⅰ)求{an}的通項公式;

        (Ⅱ)設bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和。

        此題是考查利用an與Sn的關系求數(shù)列的通項公式以及裂項相消法求和,先利用an與sn的關系,an=Sn-Sn-1(n≥2)推導出數(shù)列{an}的通項公式,然后利用裂項相消法求數(shù)列{bn}的前n項和即可。

        7.錯位相減求和法

        在推導等比數(shù)列前n項和公式時采用的是錯位相減的求和方法,該方法中“相減”突破了學生以往“求和即相加”的固有思想,高考中常會遇到。

        由于錯位相減法計算量較大,學生在考場上有限的時間里很容易因為計算失誤失分,提高計算的準確性尤為重要。

        8.放縮法解決數(shù)列不等式

        放縮法是不等式證明的一種基本方法,而數(shù)列不等式也常常通過放縮法來證明。通常我們把數(shù)列的通項放縮成可求和或可求積的數(shù)列,進而證明結論。

        2014年全國II卷(理),17題,(12分)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3an+1。

        (I)證明:{an+}是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;

        (II)證明:++…+<。

        此題是考查數(shù)列的遞推關系,不等式的證明及數(shù)列求和等知識,而不等式的證明就用到了放縮法進行處理,一是求和中的放縮;二是求和后比較中的放縮。一般情況,數(shù)列求和中的放縮的“目標數(shù)列”為“可求和數(shù)列”,如等比數(shù)列,可裂項相消法求和的數(shù)列等。

        除以上方法外,還有分組求和法、利用構造法和單調性、歸納法解決數(shù)列不等式問題。

        四、考點變化

        等比數(shù)列的考點仍是基本量的計算,等差數(shù)列的難度略有下降,遞推數(shù)列的設置難度略有提高,位于填空題的壓軸位置,這對今后的數(shù)學學習起到一定的引導作用,就要求我們除了要有準確的計算能力,更應重視方法的研究。

        【參考文獻】

        [1]趙昱.數(shù)列問題的教學思考.遼寧師范大學碩士學位論文,2013年

        [2]華玲蓉.2010年高考數(shù)列問題類型及解題策略.基礎教育論壇,2010年11期

        [3]張維娟.高考中數(shù)列問題的解題技巧與教學研究.西北大學碩士學位論文,2015年

        [4]白曉杰.新課標下高中數(shù)學數(shù)列問題的研究.河南師范大學碩士論文,2013年

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