金玉明

摘 要：直觀想象不等同于“數(shù)形結合”，是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程。主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學問題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構建數(shù)學問題直觀模型，探索解決問題的思路。

關鍵詞：核心素養(yǎng)；直觀想象；數(shù)形結合

數(shù)學學科核心素養(yǎng)主要包含以下六個方面：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體。華南師范大學數(shù)學科學院何小亞教授曾發(fā)題為《數(shù)學核心素養(yǎng)指標之反思》中，高屋建瓴，針對這六個方面逐一進行反思。其中對于第四條“直觀想象”作如此反思：把“想象”去掉，這一指標的內容實際上就是“數(shù)形結合”。這一點作為一線教師的我感覺是否有失偏頗？

在對數(shù)學問題的認識過程中，我們經(jīng)常需要借助一些實例進行分析，讓學生經(jīng)歷由直觀到抽象的過程，經(jīng)歷數(shù)學建模，解決問題。對這些實例的研究，筆者認為應當歸為直觀想象的范疇，這些內容卻有可能與幾何或者是數(shù)形結合并無關系。

一、三個實例，談一談直觀想象核心素養(yǎng)不等價“數(shù)形結合”

實例（一）：鎮(zhèn)江一中一節(jié)公開課的引入背景：“糖水加糖，糖水會變甜”這一現(xiàn)象說明了函數(shù)的一個什么性質？從本例中可以給學生一個直觀想象，那就是當一個量在增大時，另一個量隨之增大，從函數(shù)的性質來看就是函數(shù)單調遞增?！叭绾斡煤瘮?shù)的性質表示這一現(xiàn)象”就是一個直觀想象的過程。當然這個過程必須有一個完整的體系，那就是直觀想象—特殊數(shù)學模型—一般數(shù)學模型。這應當可以看作研究一個事物的運動規(guī)律，在這個現(xiàn)實、直觀的事物運動規(guī)律中并沒有出現(xiàn)任何平面幾何或者是立體幾何圖形。

實例（二）：教材中的背景材料：等比數(shù)列的引入常用的兩個例子就是“細胞分裂”和“放射性元素的衰變”。這兩個例子的出現(xiàn)給學生一個直觀感受，并想象其后出現(xiàn)的項可能具有的特征。同樣這樣的想象過程也是遵循直觀想象—特殊數(shù)學模型—一般數(shù)學模型這樣一個建模的過程。這個例子也說明直觀想象不一定與圖形有關系，可能就是數(shù)的變化規(guī)律。

實例（三）：現(xiàn)實生活中的例子：侯振挺證明巴爾姆猜想（“排除論”中的著名猜想）：候車室望著排隊上車的隊伍，回想起研究的問題，突然神思飛躍，覺得一排長長的隊伍變成一行行算式，這一個個人影都成了數(shù)學符號，一下子豁然開朗。這顯然也不能說這就是數(shù)形結合的思想方法，但這卻是直觀想象的一種形式。

二、對三個實例中直觀想象和數(shù)形結合區(qū)別的探究

由以上三個實例，讓筆者深切感受了“直觀想象”素養(yǎng)的各種形式，不只是“數(shù)形結合”思想方法，它同時還囊括了在空間中事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律等各方面，它蘊含了“數(shù)形結合”思想方法，同時也將其外延為一切規(guī)律的思考與探究。在以后的教學中，我們培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)，看樣子不只是數(shù)形結合，而是發(fā)掘從直觀到抽象之間的事物本質聯(lián)系。

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程。主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學問題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構建數(shù)學問題直觀模型，探索解決問題的思路。所以筆者認為，直觀想象不等同于“數(shù)形結合”，或者說不只是“數(shù)形結合”。當然，數(shù)形結合也是直觀想象的重要組成部分。

三、數(shù)學問題中直觀想象的地位與作用

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題、分析和解決數(shù)學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎。具體來說，就是由具體到抽象的能力。數(shù)學提出問題通常是因為某些問題得不到解決而發(fā)現(xiàn)的，這些背景材料可能是生活中的實例，特別是相鄰學科研究過程中遇到了某些問題而發(fā)現(xiàn)的，比如，牛頓在研究物理問題時創(chuàng)造出了微積分；也有可能是數(shù)學問題本身就亟待解決的，比如，大數(shù)學家歐拉在微分方程、曲面微分幾何等方面的研究。直觀想象在這些問題的發(fā)現(xiàn)中至關重要，培養(yǎng)學生的直觀想象能力也是培養(yǎng)學生數(shù)學敏感性和學習數(shù)學興趣的重要手段。

四、如何培養(yǎng)學生的直觀想象

借助教材中的背景材料培養(yǎng)學生的直觀想象能力，應當是一個行之有效的辦法，包括立體幾何、解析幾何、函數(shù)、向量中的幾何背景以及集合、數(shù)列、復數(shù)等問題中的直觀背景。對于教材中的背景材料，通常只會將其作為輔助的引入材料，忽視了其作為發(fā)現(xiàn)問題源頭的重要作用。數(shù)學的提出問題、分析問題、解決問題的過程通常都會遵循規(guī)則：特殊實例—特殊數(shù)學模型— 一般數(shù)學模型— 一般數(shù)學方法這樣一個步驟來研究，而特殊實例顯然是問題的源頭，也是問題提出的關鍵所在。我們在教學中一定要仔細研究背景材料的切入口以及與數(shù)學模型之間的關系，合理使用背景材料，引導學生從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律和模型，從而解決問題。

參考文獻：

何小亞.數(shù)學核心素養(yǎng)指標之反思[J].中學數(shù)學研究，2016（7）.

編輯 魯翠紅