黃小寧●

廣東省廣州市天河區(qū)(510631)

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憑中學數(shù)學常識發(fā)現(xiàn)數(shù)學課本一系列重大錯誤
——讓中學生也能一下子認識2300年都無人能識的直線段

黃小寧●

廣東省廣州市天河區(qū)(510631)

區(qū)間[0，x]∪(x，x+1]的子區(qū)間[0，x]之外還有正數(shù)；…；…；…這一系列中學數(shù)學常識使中學生也能一下子認識：①5千年都無人能識的自然數(shù)；②幾千年都無人能識的R外正數(shù)；③2300年都無人能識的等長卻不“等勢”從而不合同的直線段(光滑曲線可看成由直線段組成)——推翻2300多年“幾何起碼常識”：形狀、大小相同的圖形必合同.不識這類“更無理”的數(shù)和直線段使2300多年初等幾何和中學幾百年解析幾何一直將各異直線段誤為同一線段，從而使康脫推出病態(tài)的“直線段部分點可與全部點一樣多”.兩沒空隙的等長直線段分別包含不一樣多的點從一側(cè)面顯示2300年“點無大小”公理并非“不容置疑”，因長度不變且沒空隙的直線段能包含多少個點是與點的長有關(guān)的.保距變換概念揭示同樣是無窮長的射線，此線的長可大于彼線的長.

N外標準自然數(shù)；貌似重合的偽二重直線(段)(只有重疊關(guān)系而無重合關(guān)系)；推翻平行公理；推翻百年自然數(shù)公理和百年“R完備、封閉”論；區(qū)間族；合同圖形以及合同點；伸縮變換

人類認識自然數(shù)已有5千多年，認識直線(段)已有2300多年，中學數(shù)學的區(qū)間[0，2]等等均是無窮集.“科學”共識：數(shù)學，尤其是關(guān)于自然數(shù)和最簡單、基本的圖形：直線段方面的中學知識絕不可能有重大錯誤更不可能有一系列….“反科學”的神話般發(fā)現(xiàn)來自于太淺顯的：①幾何起碼常識c：相等的圖形必合同.②集合起碼常識d：所謂數(shù)集A=B是說A的元與B的元可一一對應(yīng)相等即有x?y=x(表A各元x均有與之對應(yīng)相等的數(shù)y∈B且B各元y均有與之對應(yīng)相等的數(shù)x∈A)，故A=B的必要條件是有x?y即A、B分別包含一樣多個元.③區(qū)間概念.④下述不等式起碼常識s.

質(zhì)點x移動到新位置成點x′還是移動前的點即移動前后的點只有位置差別而無別的差別.圖形A各點保距偏離原位生成的B≌A.A≌B≠A是說A與B只有錯位的差別而無別的差別.用各不同材料(金、鐵、銅、鋁、…)制成許多形狀、大小相同的實心球，用木、紙、塑料、面粉、煤粉、…做成的球，…；各球并非只有位置差別而無別的差別.同樣，本文發(fā)現(xiàn)有無窮多沒空隙的等長直線段(構(gòu)造直線段的材料是“點”)彼此均無合同關(guān)系——從一側(cè)面顯示其分別由各不同的材料點組成——說明同樣是“點”，此線段A的元點與彼線段B(與A等長且不≌A)的元點并非只有位置差別那么簡單；人類由認識直線段到發(fā)現(xiàn)這類用而不知的直線段竟須歷時2300多年！但若擔心廣大高中生(應(yīng)熟悉非常簡單易懂的保距變換概念)看此科普文后還不能認識這類直線段那就是污蔑其是弱智群體了.當然錯誤的應(yīng)試教育會將正常人育成….關(guān)鍵是要求真務(wù)實而不要“求分務(wù)(文)憑”.

1.憑中學數(shù)學常識發(fā)現(xiàn)：①5千年都無人能識的自然數(shù)；②中學幾百年重大錯誤：搞錯y=n+1的值域而將兩異數(shù)列誤為同一數(shù)列

關(guān)鍵不在學習了前人多少知識而在能否運用所學知識見前人所未能見從而創(chuàng)造出前所未有的知識.與x相異或相等的數(shù)均可表為y=x+△x(△x可=0也可≠0).設(shè)本文所說變數(shù)都可形象化為沿一維空間“管道”G運動的動點(可固定一下)，n個變數(shù)可形象化為同在G內(nèi)的n個動點.G內(nèi)x軸各點變換為還在G內(nèi)的點x+△x=y形成元為點y的點集還在G內(nèi).

只有兩個點的點集{點a，點b}，設(shè)想a、b是閉直線段B的兩端點，這兩點繞B中任一點旋轉(zhuǎn)是保距運動.至少有兩元的點(數(shù))集A保距變?yōu)辄c(數(shù))集B就稱A≌B——表示A與B可通過保距變換而重合.

設(shè)A={x}表A各元均由x代表，變數(shù)x的變域是A；A任兩異元x與x+△x之間的距離是變量|△x|>0.a∈x軸變號為-a的幾何意義是點a繞點x=0旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)辄c-a∈x軸.直線段A={x}=[-1，3]?x軸繞點x=0旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)榫€段B={-x}=[-3，1]?x軸，B沿x軸正向保距前移距離2變成C={y}(y=x+△x=-x+2)=[-1，3](?x軸)=A，這A通過旋轉(zhuǎn)和平移變?yōu)镃=A是保距變換：x?y=-x+2.因相等的圖形(點集)必合同，故有

h定理1 至少有兩元的點(數(shù))集A={x}=B={y}的必要條件是A≌B，這等價于|△x|=|△y|即△y=±△x，以及y=y(x)=±x+c——表明y=±x+c以外的一切y=y(x)的定義域必≠值域.

證1A=B≌B時A與B的元x與y必可有一一對應(yīng)關(guān)系：x?y=y(x)，在此關(guān)系下y+△y中的△y=y(x+△x)-y(x)，A=B≌B說明A各元x變?yōu)閥(x)(x?y(x))組成B={y(x)}=A不一定是沒變換的恒等變換但一定是保距變換;由A≌B的定義，|△x|=|x+△x-x|=|y(x+△x)-y(x)|=|△y|；而當且僅當y=y(x)=±x+c時才有△y=y(x+△x)-y(x)=±(x+△x)+c-(±x+c)=±△x.

證2A={1，2，3}各元x=1，2，3.x=1時異于x=1的元x+△x=1+△x可=2與3，△x可=1與2；x=2時與其相異的x+△x=2+△x可=1與3∈A，△x可=-1與1；x=3時x+△x=3+△x可=1與2∈A，△x可=-2與-1.所以△x的變域是{3，±2，±1}，|△x|的變域是{1，2，3}.至少有兩元的B={y}任兩異元y與y+△y間的距離是|△y|，顯然若A=B則|△y|必=|△x|；同樣，A可是別的至少有兩元的點集，…….證畢.

若A≌B則A與B可通過保距變換而重合，A的任何一部分C(至少有2元)?A都不可通過保距變換而與A重合(注：直線段的一部分線段可彈性伸長，但這不是保距變換.).據(jù)此應(yīng)有

h幾何常識：至少有4元的點集A的任何一部分C(至少有兩元)?A都不可≌A.

A={1，2，3，4}各元x有相應(yīng)的△x,B={1，2}各元x也有相應(yīng)△x；這兩△x是不同的變量，因此△x中x的變域是A而彼△x中x的變域是B?A.

R所有正數(shù)x組成A，定義域為A的y=1/x>0、y=x2>0和y=1/x2等等的值域B=A嗎？因各y(x)都是y=±x+c以外的函數(shù)，故據(jù)h定理1各y的值域均≠A,這里的A各元x>0變?yōu)閥=y(x)組成元為y的B不≌A均不是保距變換；同理，定義域為R+=A∪{0}的y=x2≥0的值域≠R+，….本文表明本文作者以往論文中的相應(yīng)結(jié)論是正確的，但論據(jù)中的“A={x}=B={y}的必要條件是y=±x+0”應(yīng)改為：A=B的必要條件是y=±x+c；相應(yīng)“|y|=|x|”應(yīng)改為：A任兩異元間的距離|△x|=B任兩異元間的距離|△y|>0.

定義：若點P與點P′重合或雖不重合但只有位置差別而無別的差別，就稱P合同于P′記為P≌P′.相互合同的點可通過移動而重合，不合同的點不可重合而只可重疊.

將直線段A的一端點涂成紅點，保距運動將A的紅點(或中點)變?yōu)樾戮€段B≌A的紅端點(或中點)，…；將相片(像素點的集合)中人的左眼變?yōu)樾孪嗥腥说淖笱郏粚⒆鴺讼礿變?yōu)樾伦鴺讼礿′≌j.復(fù)平面z=x+iy的x軸z1=x+i0各點z1=x到x軸的對稱中心點z1=x=0的距離|z1|=|x|(x的變域是x軸)不隨直線z1=x的保距變換而變換，例直線z1=x繞點z1=0反時針旋轉(zhuǎn)θ角成直線z2=x(cosθ+isinθ)=xcosθ+ixsinθ=X+iY≌x軸，此線z2各點z2=xcosθ+ixsinθ到此線的中心z2=0的距離|z2|還=|x|.同樣……

證1 坐在汽車里各人x與司機(或車內(nèi)任一位置)的距離ρ(x)分別是ρ(x1)=a，ρ(x2)=b，ρ(x3)=c，…，所有ρ組成M={a，b，c，…}，ρ(x)是變域為M的距離函數(shù)；因各人x相對于車是不動而沒相對位移的，故ρ(x)不可隨車的勻速直線運動而變?yōu)閯e的變量；若急剎車ρ就可變?yōu)棣选洹佴?同樣A變?yōu)锽≌A只是A作改變空間位置的剛體運動，各元點相對于圖形是沒相對位移的，這就使ρ與ρ′必是同一距離變量.

證2：設(shè)A={x}≌B={y(x)}，A各元點x到A任一點x0的距離ρ=|x-x0|，B各元點y(x)到點y0(x0)∈B的距離ρ′=|y(x)-y0(x0)|，由A≌B的定義ρ′=ρ；同樣，A與B可是n≥2維空間圖形，…….證畢.

人類5千年來一直認定各已知自然數(shù)n∈N與1(或2,3，...)的和n+1(或n+2,n+3，...)均是已知自然數(shù)∈N.一切已知自然數(shù)n組成N?R各元n均有后繼標準自然數(shù)n+1.挖去R軸一點x就空出一位置“洞”x說明R軸由點與容納點的位置洞兩部分組成.將x軸的射線x≥0(各x∈R)中的非自然數(shù)點x都挖去就得有許多空位漏洞的有洞射線n≥0(n的變域是N)，設(shè)想在各空位內(nèi)灌入粘結(jié)劑從而將各點連接起來.有洞射線(點集)N={n}各點n≥0沿N正向保距平移距離1成為點n的后繼點y=n+1>n生成由一切后繼點y組成的有洞射線(點集)H={1，2，…，n+1，…}(n≥0的變域是N)≌N,即H是射線y=n+1≥1.挖去有洞射線N的起點n=0就得N的子部射線N+={1，2，…，n+1,…}?N.保距變換將射線的起點變?yōu)樾律渚€的起點.射線N+各點n≥1到該線的起點n=1的距離是n-1≥0(n≥1的變域是N+)而射線H各點n+1≥1到該線起點n+1=1的距離是n+1-1=n≥0(n的變域是N)，據(jù)h定理2,N+不≌H從而更≠H.因N+各n≥1都是其左鄰n-1∈N的后繼n∈后繼集H,故H包含N+，包含N+的H≠N+說明H中必至少有一N+外自然數(shù)n+1(>n)=t>N+一切自然數(shù)n.對N任何(一切)元n均有區(qū)間[0，n]，….變域為N的n被限制只能代表區(qū)間Q=[0，n]∪(n，n+1]∪(n+1，n+2]∪…∪…的各子區(qū)間[0，n](n的變域為N)內(nèi)的自然數(shù)，當n由小到大遍取N一切數(shù)n時[0，n]的長度n-0=n由0→∞而變至能長到包含N一切數(shù)n；據(jù)區(qū)間概念在各[0，n](n的變域為N)之外還有用而不知的自然數(shù)n+1=t>n以及t+1>t等等>N一切數(shù)n∈[0，n]，因Q中區(qū)間族{[0，n]|n的變域為N}遠不可包含一切標準自然數(shù).詳論見[1].人類由認識自然數(shù)到發(fā)現(xiàn)t竟須歷時5千多年！但若擔心熟悉區(qū)間概念和幾何常識c的億萬學生看此文后還不能立刻認識這“特異”的t那就是污蔑其是弱智群體了.誤以為“N對加法封閉”使自有函數(shù)概念幾百年來數(shù)學一直認定N+=H從而使康脫推出病態(tài)的：N～N+?N.

2.人類由發(fā)現(xiàn)無理數(shù)到發(fā)現(xiàn)“更無理”數(shù)竟須歷時2500年

R各數(shù)x均有對應(yīng)數(shù)x/2.不等式起碼常識s：說00可遍比A一切數(shù)x都小而取A外數(shù)(同樣x可>y的變域內(nèi)的一切數(shù)y)，說A=(1，2]?R就是說式中y可0可0且≤1由大到小取值而由1處出發(fā)→0遍取A=(0，1]?R一切數(shù)x時[x，1]的長|1-x|(x由1→0)由0→1地逐漸變長而長到包含A一切元x∈[x，1]，據(jù)區(qū)間概念在各[x，1](x的變域是A=(0，1]?R，將各[x，1]中的x都提取出來組成的集是A)之外至少有一正數(shù)x/20被限制只能在[x，1]?(0，1]內(nèi)取值.可見常識s和區(qū)間概念表明定義域為A的y=x/2>0的值域中有用而不知的R外正數(shù)y0=x0/2

L={x}=(0，2]?R的子部A=(0，1]?L各數(shù)元x變?yōu)閥=2x(△y=2△x)∈L組成L′={y=2x}(0<2x≤2)～A.L任兩異元的距離是|△x|，而L′任兩異元的距離是|△y|=|2△x|，據(jù)h定理1，L≠L′.包含L′的L≠L′——說明L內(nèi)還有數(shù)學一直未能察覺的L′外數(shù)——說明L′?L.L各元也均可由y>0代表，L內(nèi)滿足h式y(tǒng)=2x>x=y/2∈A的元y的全體組成了L′，L′?L外的數(shù)y∈L是不滿足h式的“更無理”數(shù)y(>y/2>0)，即此y的對應(yīng)數(shù)y/2不可∈A從而是A和R外的正數(shù)

圓周x2+y2=1有一半徑B與線段[0，1]?x軸重合.B繞圓心反時針旋轉(zhuǎn)使B由∥x軸變到⊥x軸，B在x軸的正投影T就相應(yīng)不斷縮短使T兩端點的距離ρ由=1逐漸變小到=0致兩端點重合.自由落體的高h≥0也是由大到小取值的.稍有一點頭腦的人都知由大到小取值的ρ≥0必取盡其變域J所有正數(shù)后才能取0即ρ必取到無正數(shù)可取了才取0.但有“定理”斷定ρ→0每取一正數(shù)ρ后總還有后續(xù)正數(shù)如ρ/2∈J要取而總不能取到無正數(shù)可取從而更談不上能取0——尖銳自相矛盾！所以如所述J必有最小正數(shù)元ρ1(文[2]嚴格證明了R有最小正數(shù)元⊕)使ρ1/2是J外正數(shù)，ρ→0取ρ1后就無正數(shù)可取了.產(chǎn)生邏輯悖論是因主觀認識與客觀實際不符.由大到小取值且變域為[0，1]?R的x→0有最后一次的取值：取0，即其取數(shù)過程是有完有了的.真正的無窮集必是“無窮無盡”與“有窮有盡”的對立統(tǒng)一體，不能只識其“無窮”的一面而不識其“有窮”的另一面.詳論見[1].

3.區(qū)間概念讓中學生也能一下子認識幾百年都無數(shù)學家能察覺的中學數(shù)學重大錯誤：定義域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2]中學幾百年函數(shù)“常識”：“定義域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2]”其實是違反區(qū)間概念和集合常識d的肉眼直觀錯覺.U={x}=[0，2]的子部V=[0，1]?U各元x變?yōu)閥=2x∈U組成U′={y}～V.U′≠U即0≤x≤2中x的變域是U=[0，2]，但0≤2x≤2(x的變域是V)中y=2x(△y=2△x)的變域≠U.理由：

①|(zhì)△y|=|2△x|>|△x|，據(jù)h定理1U′={y=2x}不≌U={x}，從而更≠U.幾百年“U=U′～V”使康脫誤以為V～U?V.

②因U′一個不漏的一切正數(shù)元均由y=2x>x>0中的y代表,故據(jù)常識s該式表示至少有一正數(shù)x∈V?U小于U′一切正數(shù)y.U=[0，2]=[0，x]∪(x，2x)∪[2x，2]中的[2x，2]中的2x>0且≤2,由2處出發(fā)→0遍取U′一切正數(shù)y=2x∈U時,[2x，2]的長|2-2x|(2x由2→0)由0→2地逐漸變長而長到包含U′一切正數(shù)2x∈[2x，2]，據(jù)區(qū)間概念在各[2x，2](2x遍取U′一切正數(shù)2x)之外至少有一正數(shù)x∈V?U小于U′一切正數(shù)2x∈[2x，2]，關(guān)鍵是2x>0被限制只能在[2x，2]內(nèi)取值即2x>0,不可遍取U=[0，2]一切正數(shù).

③U′各元y=2x的對應(yīng)數(shù)x∈V的全體組成的集是V?U而非U，沒人能證U′各元2x∈U與U各元x可一一對應(yīng)(配對)，即如[3]所述沒一配對法能使U=[0，2]各元x都有“配偶”y=2x∈U′——說明U′～V?U不可～U即U與U′不“等勢”.U=[0，2]各數(shù)都由x代表，其中有一類數(shù)可表為y=2x(x∈V?U)，而也可由y=2x代表，所有y組成的集記為B(=U′).B=U′各元2x?x∈V能與V各元x一一對應(yīng)只說明B=U′～V?U而不能說明U～V?U.“U各數(shù)x都有對應(yīng)數(shù)α=x/2”時，U中有一類數(shù)可表為y=2α(α=x/2)=x(不限制α必∈U)而也可由y=2α代表，所有y組成I.因有x?y=2(x/2)=x故I=U.U各數(shù)都由x代表的同時也都可由y=2α代表，但卻不可也都可由y=2x(x∈V)代表，因x?y=2x=x不能成立，故無人能證B=U.

4.以上知識讓中學生也能一下子認識2300多年都無人能識的直線段一下子認識R外正數(shù)——存在沒合同關(guān)系的點

對R(包含一切已知正數(shù))各正數(shù)元x>0均有對應(yīng)數(shù)y=x+3、y=3x、等等，均有區(qū)間[0，x]等.人類自識正有理數(shù)和加法幾千年來一直認定各已知正數(shù)x∈R的對應(yīng)x+3均是已知正數(shù)∈R，然而區(qū)間概念和常識s推翻此認定.區(qū)間[0，x]∪[x，y=x+3]中的x>0由小到大遍取R一切正數(shù)x時[0，x]就長到包含R一切正數(shù)x，極顯然：據(jù)區(qū)間概念在各[0，x](x>0遍取R一切正數(shù))之外還有正數(shù)y=y1=x1+3大于R一切正數(shù)x∈[0，x]；而y1的對應(yīng)數(shù)y1+3和3y1等等均>y1.同樣…，所以已知正數(shù)∈R全體僅是正數(shù)全體的滄海一粟.可見“R各元x均有對應(yīng)數(shù)x+3且R對加法封閉”中的R是自相矛盾的非集.

點集A：各點x沿x軸正(負)向保距前(后)移變成點x+常數(shù)c≠x形成點集B就不可還=A了，因B各點x+c都在點x的前(后)面，從而使各x+c與各x不可一一對應(yīng)重合相等,各x只可與各x+c≠x中的x一一對應(yīng)相等而不可與各x+c本身一一對應(yīng)相等.初中生就須正確認識：一次函數(shù)y=x/2的定義域即函數(shù)x=2y的值域；y=x-3的定義域即函數(shù)x=y+3的值域；…運動坐標系的坐標軸可沿軸保距平移.說R軸即x軸各元點x可沿軸保距前移變?yōu)辄cx+△x=x+3=y就是說R軸可沿軸正向保距平移距離3變?yōu)樵獮辄cy=x+3的y=x+3軸≌x軸.其余類推.y=x+3軸=x軸嗎即定義域為x軸的y=x+3的值域y=x+3軸=x軸嗎？據(jù)常識s說y=x+3>x中x遍取R一切數(shù)就是說y可遍比R一切數(shù)x都大而取R外數(shù)y；上述也已證有數(shù)y1>R一切數(shù)；x軸各元x只可與各x+3∈y=x+3軸中的x一一對應(yīng)相等而不可與各x+3本身一一對應(yīng)相等.不識這類用而不知的y1使中學一直搞錯y=x+3的值域.在保距平移變換:x?x+常數(shù)△x中，顯然當且僅當△x=0時才可有x?x+△x=x;可見集合起碼常識d表明直線A沿本身保距平移非0距離后就≠A了，世人在初中階段就搞錯了y的值域而將兩異直線誤為同一線.x軸沿本身保距平移距離|c|≠0變成X=x+c軸(≌x軸)=x軸嗎？在x?x+c中當且僅當c=0時才可有x?x+c=x;x軸的子部射線x≥0各點x≥0到該線起點x=0的距離是x≥0，而X=x+c軸的子部射線X=x+c≥0各點X≥0到該線起點X=0的距離是X=x+c≥0(c≠0)，據(jù)h定理2射線X≥0不≌射線x≥0從而更≠射線x≥0——由此知X軸≠x軸.

半直線是直線的一半.據(jù)第一節(jié)的h幾何常識x軸的半直線：射線x≥0不≌它的子部射線x≥3.顯然若射線x≥0與射線x≥3(各x∈R)均為x軸的半直線則其必等長從而必有≌關(guān)系.射線x≥0各點x≥0到該線起點x=0的距離是x≥0，而射線x≥3各點x≥3到該線起點x=3的距離是x-3(x≥3)≥0，據(jù)h定理2兩射線不合同——反映兩線不等長使射線x≥3并非x軸的半直線——說明點x=3不可是x軸的中心，同樣…——說明同樣是無窮長的射線，此線的長可>彼線的長.文[2]嚴格證明了R軸有最大元x=?，這更有力說明點x≠0不可是x軸中心.x軸各點x到x軸的對稱中心x=0的距離是|x|，y=x+3軸(≌x軸)各點y到y(tǒng)=x+3軸的“中心”y=0的距離是|y=x+3|≠|(zhì)x|，據(jù)保距變換概念點y=0不是y=x+3軸的中心，點y=x+3=3(x=0)才是y軸中心；可見保距變換概念說明“直線(點集)A上任一點x0都將A分成以x0為分界點的兩半部分，x0是A的對稱中心.”是對直線的重大錯誤認識.

據(jù)“橡皮幾何”和仿射幾何，平面和直、射線等也有伸縮變換.射線x≥0可伸縮為射線kx(正常數(shù)k≠1)≥0.李惠玲等教授：“一維空間里的坐標變換無非是平移和反射[4].”其實這是極片面認識，因直線(段)還有一類非常重要的伸縮變換.例⊥x軸的y軸有向著x軸的正壓縮變換：變?yōu)閅=y/2軸.伸縮變換是仿射變換中的最簡單變換.一維空間管道G內(nèi)R軸各元點x變?yōu)檫€在G內(nèi)的點x+△x=kx=y(正常數(shù)k≠1)生成元為點y=kx的y=kx軸(疊壓在R軸上)是伸縮變換，可將y軸記為kR軸(高等幾何一直認定R軸伸縮變換成kR軸還=R軸)；伸縮變換是非保距變換，故kR軸不≌R軸；R軸各元點x到R軸的對稱中心x=0的距離是|x|，而kR軸各元點y=kx(△y=k△x)到kR軸的中心y=kx=0的距離是|kx|≠|(zhì)x|(k≠1)，據(jù)h定理2kR軸不≌R軸——推翻舉世公認2300年的公理：凡直線必合同(“等長的直線段必合同”的理論依據(jù)是此理).所以中學幾百年“定義域為R的y=kx的值域=R”其實是被偽二重直線迷惑的肉眼直觀錯覺.將各異直線誤為同一線自然就會將各異直線段誤為同一線段.

直線段Z={x}=[0，2]?R軸的子部D=[0，1]?Z各元點x變?yōu)辄cy=x+△x=2x∈2R軸生成元為點y=2x(△y=2△x)的Z′(～D)={y=2x}=[0，2]?2R軸覆蓋在Z上.“Z′=Z”其實是被偽二重線段迷惑.理由：

①Z=[0，2]?R各點x到Z的中心x=1的距離ρ=|x-1|而Z′=[0，2]?2R各點y=2x到Z′的中心y=2x=1的距離ρ′=|2x-1|≠ρ;|△y|=|2△x|>|△x|.據(jù)h定理2或h定理1,Z′={y=2x}不≌Z={x}從而更≠Z——說明中學幾百年解析幾何一直將用而不知的直線段Z′誤為Z.②Z′各元y=2x的對應(yīng)數(shù)x∈D?Z的全體組成的集是D?Z而非Z，類似第3節(jié)所述沒人能證Z′各元2x與Z各元x可一一對應(yīng)(配對)，即Z′～D?Z而不可～Z——說明Z′的元點少于Z的元點.兩沒空隙的等長線段Z與Z′分別包含不一樣多的點從一側(cè)面顯示2300年“點無大小”公理并非“不容置疑”，因長度不變的直線段能包含多少個點是隨著點的變大(小)而變少(多)的.有人以“Z′=Z”為據(jù)斷定Z′～Z，然而以上一系列論據(jù)證明Z′≠Z.由Z與Z′分別包含不一樣多的點也知Z′不≌Z.

用h定理1、2檢驗知課本上類似這樣將兩不“等勢”從而不合同的線段Z′～D和Z?D誤為同一線段的幾百年錯誤比比皆是——使康脫誤以為“直線段的部分點可與全部點一樣多”；詳論見[5].真正建立在此重大錯誤之上的理論必是錯上加錯的更重大錯誤，但限于篇幅本文無法詳談.顯然有偽二重線段相應(yīng)就有偽合同線段.元點間的距離由|△x|>0變大近千倍而變?yōu)閨△y|=1000|△x|，這一來元點之間還能“親密無間”嗎？極顯然：沒空隙的直線段D=[0，1]?R軸各元點x沿R軸平移變?yōu)辄cy=x+△x=1000x≌點x生成元為點y=1000x的線段K=[0，1000]?1000R軸；如[6]所述這類不改變元點個數(shù)的增距變換使元點與元點之間拉開了一段距離從而使其所占據(jù)的空間變長了約千倍，這一來K就不能和D一樣沒空隙了即K的元點y之間不能有“親密無間”的關(guān)系了，除非各元點y都相應(yīng)膨脹變大從而使點y=1000x不≌點x∈D，否則就不合邏輯了.“直線段被拉長了，但作為圖形的一部分的元點卻沒增加也沒被‘拉扯’大”——這顯然是不合科學常理的自相矛盾.所以2300年“點無大小”使幾何學自相矛盾.詳論見[2].

z=x+iy平面上的直線z=x+ikx(y=kx中的k是常數(shù))可伸縮成元是點cz的直線cz(正實常數(shù)c≠1是伸縮因子)疊壓在直線z上，直線z≠直線cz的理由：①伸縮變換是非保距變換即直線z不≌直線cz.②w=z與w=cz不是同一關(guān)于z的函數(shù)使其圖象不相等.③說直線z與直線cz重合就是說兩線的差別為0：cz-z=z(c-1)=0即說z=0——與z是直線矛盾.所以xy面上直線i：ax+by=0伸縮成直線j：c(ax+by)=0是≠直線i的.例直線i：

x-y=0(x與y=x的變域均為R)…(1)

伸展成元是點(X=2x，Y=2y)的直線j：

2x-2y=0(X=2x與Y=2y的變域均為2R)…(2)

疊壓在直線i上但≠直線i.滿足方程(2)與(1)的點(x，y)的全體組成的集均是直線i，但滿足方程(2)的點(X=2x，Y=2y)的全體組成的集是直線j≠i.(2)中：x的變域是R而X=2x的變域是2R≠R，….——這使關(guān)于X=2x、Y=2y的方程(2)與關(guān)于x、y的方程(2)有根本區(qū)別，而不同的方程，其圖象也是不同的.同樣，方程(1)：2(x/2)-2(y/2)=0若是關(guān)于x/2=X(x的變域是R)、y/2=Y的方程則其圖象不是直線i(因Y=X=x/2的定義域是(1/2)R≠R)；…；若(1)中x與y的變域均為cR(正常數(shù)c≠1)則其圖象不是直線i；….注：對于常數(shù)項≠0的直線方程可選擇適當?shù)男伦鴺嗽c使常數(shù)項=0.(x/3)2+(y/2)2=1的圖象是什么？若其是關(guān)于x、y的方程則圖象是橢圓，若是關(guān)于x/3=X、y/2=Y的方程則圖象是單位圓——反映不同的方程(不同的函數(shù)關(guān)系)有不同的函數(shù)關(guān)系圖象.搞錯自變量就會搞錯函數(shù)關(guān)系從而畫錯函數(shù)關(guān)系圖.可見中學幾百年解析幾何和幾百年一次函數(shù)理論對直線的認識一直存在極重大缺陷和錯誤.

不明上述真相就有：凡直線必合同；從而有2300多年“幾何起碼常識”：有一交點的兩直線中一線繞交點旋轉(zhuǎn)使兩線夾角=0，兩線就重合了.

x軸伸縮變換為y=kx軸(正常數(shù)k≠1)，有等長線段：A=[0，b]?x軸和A′=[0，b]?y=kx軸，A各點x到A的中心x=b/2的距離ρ=|x-b/2|而A′各點y=kx(△y=k△x)到A′的中心y=b/2的距離ρ′=|kx-b/2|≠ρ；|△y|=|k△x|≠|(zhì)△x|.據(jù)h定理2或h定理1A不≌A′.

y=kx軸中的k≠1可取無窮多正數(shù)說明有無窮多長度均=b的直線段互不合同.可見2300多年“等長的直線段必合同”其實是被偽合同線段迷惑的肉眼直觀錯覺.線段D=[0，1]?x軸各點x變?yōu)辄cX=x+△x=xk(正常數(shù)k≠1)≥0組成元為點X=xk(0≤xk≤1)的D′覆蓋在D上(非保距變換)；中學幾百年函數(shù)“常識”：“D′=D”其實是被偽二重集迷惑.理由：D不≌D′；X=xk是y=±x+c以外的函數(shù)，據(jù)h定理1X的定義域D≠值域D′——說明D′是用而不知的點集！

R軸可伸縮變換成kR軸使R2平面可伸縮成(kR)2平面；….z=x+iy平面可伸展成2z平面疊壓z面上(非保距變換).z面有圓盤A?z面：|z|≤1，2z面也有圓盤B?2z面：|2z|≤1，數(shù)學一直認定A=B≌B.其實這是肉眼直觀錯覺.A?z面各點z到A的圓心z=0的距離是|z|≤1，而B?2z面各點2z到B的圓心2z=0的距離是|2z|≤1，據(jù)h定理2A不≌B.

同理可證空間中有無窮多大小相同的圓球體(橢球體)不合同.例設(shè)正常數(shù)k≠1，有半徑均=1的圓球體A：x2+y2+z2≤1和B:X2+Y2+Z2≤1，其中X=kx、Y=ky、Z=kz，相應(yīng)有X=kx軸、Y=ky軸、Z=kz軸以及相應(yīng)空間(kR)3；A各點(x,y,z)到A的球心x=y=z=0的距離是(x2+y2+z2)1/2≤1,而B各點(X，Y，Z)到B的球心的距離是((kx)2+(ky)2+(kz)2)1/2≤1，據(jù)h定理2,A不≌B，兩者是偽合同球體；相應(yīng)有偽合同球面.對球體的認識存在重大缺陷與錯誤自然就使人推出“分球怪論”等怪論.

據(jù)h定理2可證在二維和三維空間中分別都有無窮多形狀、大小相同的各種各類的圖形均不合同.

希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》有平行公理：平面A上：有直線a及a外一點D，過D有且只有一條直線b∥a.其實直線b沿本身保距平移或伸縮成直線c還∥a但c≠b——說明有無窮多各異直線均過點D且∥a，但其均≠b.這說明c不是A的子集，盡管c在A上.詳論見[7].

5.人的思想須與實際相符——“點無大小”使幾何學一直不能自圓其說——試提出符合實際的“點”概念

“元點是組成直線A的部分”，顯然若A各部分都=0則A的長就只能=0.人的思想須與實際相符.與實際相符的理論才能用于指導(dǎo)科學實踐.以上表明人類2300多年一直將偽合同、偽重合圖形誤為合同、重合圖形，堅持2300年的“點無大小”就無法糾正此重大錯誤從而化解數(shù)學危機.否定客觀存在的“更無理”的數(shù)和圖形猶如醫(yī)學否定前所未見的非典病毒，是致命錯誤.錢學森非常重視逆向思維，“點無大小”的逆向思維是：點有大小.文[2]證明R軸可由大小都一樣的“分子”點：長為⊕(⊕是無窮小正數(shù)，⊕/2是R外正數(shù)，…)的正方形點：⊙(放大到肉眼可見的圖象)組成，各點如原子有原子核那樣有中心，這中心稱為點的核心(設(shè)是圓形)，其直徑D是比⊕>>>D高級的無窮小正數(shù)；規(guī)定：兩點間的距離是它們的核心的連線的長，閉直線段的長度是兩端點間的距離.若無有刻度線的量尺就不能量出線段的長，須有度量兩元點間距離的思維量尺，其刻度線的寬度=點的核心的直徑D，在此量尺下量出：D=0，兩相鄰元點間的距離是點的長度.同樣在相應(yīng)思維量尺下量出元點的長度=0即點的長只是相對的0而非絕對的0.R軸可伸縮為kR軸(正常數(shù)k≠1)(可由長、寬都是k⊕的正方形點組成).

R軸可是一元點□· 作相應(yīng)直線運動劃出的寬為⊕的無窮長長方形.有大小和核心的質(zhì)點p(可與□· 的形狀、大小相同也可不同)從R軸的位置x=0處出發(fā)沿R軸“軌道”正向運動，當與出發(fā)處相距1+⊕/2時其位置坐標x=1+⊕/2是R外正數(shù)，…；這說明動點p很多時候所處位置都不可用R內(nèi)數(shù)表示，但這又有什么關(guān)系呢？其運動劃出的直線段完全可不是R軸的子集.上文說明R2面的R軸伸縮成kR軸不能還是R2面的子集了，雖其還在R2面上；…文[2]證明點集與數(shù)集有根本區(qū)別，數(shù)形結(jié)合須躍出根本誤區(qū).用積分法來求直線段A=[2，3]?R軸的長需將其看成由無窮多部分組成，各部分的長|dx|不必限制一定∈R而完全可是比⊕小的正數(shù)即各部分可比R軸的元點還短小從而不是R軸的子集；同樣求定義域為A的曲線段y=y(x)的長時須將曲線段看成由無窮多子部組成，不必限制各子部均；….其余類推.射影幾何有點列定義：“動點在一條定直線上平移所產(chǎn)生的圖形稱為點列.那條直線稱為點列的底[8].”顯然這動點沿點列的底連續(xù)平移所產(chǎn)生的圖形(點列)是直線段F，F(xiàn)可以不是其底的子部.在R2平面內(nèi)放置一對相交的坐標軸就能表示平面各元點的位置，但坐標軸無須一定是平面的子集.

物理學要知自由落體z在各時刻的速度就須研究z的非0位移，而這位移的長ρ須可<“任意給定”的正數(shù)ε，當ε=普朗克長度數(shù)P時非0的ρ<ε就是

設(shè)數(shù)學內(nèi)的所有正數(shù)組成S+，上文說明若S+各元x均有對應(yīng)正數(shù)kx(k是非1正數(shù))、x2等等，則并非所有kx都還在S+內(nèi).其實不必害怕使用S+外正數(shù)進行推理，借用S+外正數(shù)同樣能得正確結(jié)論，可將S+內(nèi)正數(shù)稱為目標正數(shù)，將S+外正數(shù)稱為輔助正數(shù)；借助輔助數(shù)可求出目標數(shù)，這好比借助房子以外的腳手架可造出房子一樣.但限于篇幅本文無法詳談.

6.結(jié)語

不明上述真相的老師們一直都在以訛傳訛誤人子弟從而使受教育者打歪成才的基礎(chǔ)(“基礎(chǔ)不牢地動山搖”)，是否及時糾正與每一人的切身利益息息相關(guān).h定理讓億萬中、大學生也能一下子認識5千多年都無人能識的自然數(shù)，一下子認識2300多年都無人能識的無窮多各種各類的偽合同、偽重合圖形；不識這類比虛數(shù)更“虛”的自然數(shù)和圖形使康脫誤入百年歧途推出康健離脫的病態(tài)理論.破除迷信、解放思想、實事求是才能創(chuàng)造幾千載難逢的神話般世界奇跡使數(shù)學發(fā)生革命飛躍：一下子躍進到認識“更無理”的數(shù)和圖形的時代.備注：已對本文采取法律公證等法律保護措施.

[1]黃小寧.數(shù)列、集合、邏輯學起碼常識暴露課本一系列重大錯誤——數(shù)列起碼常識否定5千年“常識”：無最大自然數(shù)[J]，科技視界，2015(32)：5.

[2]黃小寧.著名數(shù)學家朱梧槚的發(fā)現(xiàn)揭示課本有一系列重大錯誤——發(fā)現(xiàn)最小、大正數(shù)推翻百年集論破解2500年芝諾著名世界難題[J]，科技視界，2014(10)：70.

[3]黃小寧.兩集相等概念推翻百年集論和幾百年函數(shù)“常識”——課本重大錯誤：定義域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2][J]，數(shù)學學習與研究，2015(3):117.

[4]李惠玲等.集合與面積[M]，南寧：廣西教育出版社，1999：79.

[5]黃小寧.不等式、集合、幾何起碼常識凸顯課本一系列重大錯誤——讓2300年都無人能識的直線段一下子暴露出來[J]，數(shù)學學習與研究，2016(5):151.

[6]黃小寧.“時空量子化”的關(guān)鍵：糾正數(shù)學課本一系列重大錯誤——證明實數(shù)軸有最小、大正數(shù)點推翻百年集論[J]，科技信息，2011(17)：38.

[7]黃小寧.幾何、集合起碼常識暴露中學數(shù)學一系列重大錯誤——幾何起碼常識讓5千年都無人能識的自然數(shù)一下子暴露出來[J]，科技視界，2016(3)：92.

[8]孫澤瀛.近世幾何學[M].北京：高等教育出版社，1959：55.

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