☉江蘇省高淳高級中學(xué)祝輝

漫談函數(shù)奇偶性

☉江蘇省高淳高級中學(xué)祝輝

初中函數(shù)教學(xué)并沒有給擁有特殊對稱的函數(shù)以性質(zhì)界定，但在幾何教學(xué)中給出過軸對稱和中心對稱的概念.從圖形上來講，軸對稱和中心對稱是學(xué)生比較認可的美學(xué)特征，但是高中函數(shù)奇偶性卻讓不少學(xué)生認識到了函數(shù)性質(zhì)的抽象性，成為學(xué)生學(xué)習(xí)不小的障礙.從教學(xué)現(xiàn)狀來看，奇偶性教學(xué)更多地是依賴判別標準判斷函數(shù)奇偶性，而往往缺失了對奇偶性觀察、思考、理解、實驗.而這些卻恰恰是奇偶性性質(zhì)教學(xué)的靈魂.

蘇教版主編單墫先生多次在不同場合對“如何教？為什么這樣教？教學(xué)功利性？”等問題提出過不少建議：我們的教學(xué)大都是本末倒置的，課堂上應(yīng)該花百分之七十的時間理解教材，分析例題，想一想為什么選用這樣的例題？如何將濃縮的教材知識給予好好的稀釋.但是現(xiàn)階段教學(xué)卻是花百分之三十的時間在教材上草草了事，花更多的時間在做教輔資料，這種教學(xué)根本沒有理解數(shù)學(xué).筆者認為，從課程標準的角度來說，顯然后者的教學(xué)是令人擔(dān)憂的.那么如何上好一節(jié)課？如何將形式化的函數(shù)奇偶性演繹得通俗易懂？本文從案例的角度拋磚引玉跟大家交流，懇求讀者指正.

一、實驗繪制

奇偶性概念是比較抽象的，尤其對于剛剛接觸抽象概念的高一新生來說，直接使用形式化的數(shù)學(xué)語言會讓學(xué)生難以理解.筆者采用了一個課前動手實踐的方式，首先從生活中獲取感性認識.

布置課前預(yù)習(xí)作業(yè)：

（1）請找到生活中四種不同的具備軸對稱、中心對稱特性的物品；

（2）請找到四種不完全對稱的物品；

（3）請繪制四個不同的具備軸對稱、中心對稱的函數(shù)圖像；

圖1

（4）繪制四個不具備對稱性的函數(shù)圖像.生：找到了一些物品，比如蝴蝶、銀行的標記、中國古代的太極八卦、中國移動的標記，分別存在軸對稱和中心對稱.還用幾何畫板畫了一些函數(shù)，比如y=x2，y=x+等等.

師：這些圖形和函數(shù)不僅具備了一定的美感，而且在研究這樣的圖形或函數(shù)時，我們可以只需要花一半的時間進行研究即可，這也為為我們很多的生活運用，諸如利用對稱建造房屋等減少了設(shè)計精力.

設(shè)計意圖：圖1為學(xué)生找尋的具備對稱美的物品和函數(shù).用學(xué)生親身的體驗和思考，感受生活中的對稱美，以及所學(xué)函數(shù)中具備對稱美的函數(shù).選擇具備對稱性和不具備對稱性都自主探索的原因是，為后續(xù)理解奇偶性概念中“任意”兩字作好鋪墊，也暗示了學(xué)習(xí)奇偶性的目的——花一半的力氣研究整個函數(shù).

二、課堂交流

有了課前的探索和思考，請學(xué)生對比交流各自找到的具備對稱性的物品或函數(shù)，特別要請學(xué)生說一說不具備對稱性的物品或函數(shù)為什么不具備對稱性？（給出學(xué)生找到的不具備對稱的物品或函數(shù)數(shù)例）

生：從圖2我們發(fā)現(xiàn)，要對稱的物品或函數(shù)必須處處存在對稱性，而那些不具備對稱性的物品或函數(shù)，只需要某一處不對稱就可以了.比方說，被蟲咬過的樹葉，左邊存在破損處而右邊完好無損，所以顯然是不對稱物品.

師：好.這種不對稱體現(xiàn)在某一處即可，大家觀察得很仔細.相比需要對稱，要說明沒有對稱性顯得非常容易.請同學(xué)們來總結(jié)下軸對稱和中心對稱的表述.

設(shè)計意圖：本課的設(shè)計用了大幅學(xué)生作品，既從情感上讓學(xué)生感到所學(xué)所做有一定的價值，又潛移默化中讓學(xué)生感受：對稱是需要處處對稱的（即數(shù)學(xué)語言“任意性”滲透），不對稱只需要找到一處不對稱即可（即數(shù)學(xué)語言“存在性”滲透）.

三、建構(gòu)概念

生：軸對稱可以這樣表述：存在一條直線，可以讓圖形關(guān)于這條直線翻折完全重合.

師：這是一種感性的表述，我們將其對應(yīng)f（x）=x2來進行函數(shù)軸對稱的數(shù)學(xué)歸納.

生：只需要函數(shù)在對稱軸左邊每一個點關(guān)于直線都有對應(yīng)點，這樣的函數(shù)具備了軸對稱.

師：好！“每一個點”這句話說得很到位！今天我們先給對稱軸為y軸的函數(shù)抽象成精準表述：對任意的自變量x∈D（定義域），都有f（-x）=f（x），稱函數(shù)f（x）為偶函數(shù).（需要注意：偶函數(shù)是一種特殊的對稱函數(shù)，其關(guān)于y軸對稱）同樣，你能表述中心為原點的中心對稱函數(shù)的概念嗎？

生：對任意的自變量x∈D（定義域），都有f（-x）= -f（x），稱函數(shù)f（x）為中心在原點的中心對稱函數(shù).

師：是的.中心在原點的中心對稱函數(shù)，我們稱其為

奇函數(shù).有了這兩種最為特殊的對稱函數(shù)模型，以后研究其他對稱函數(shù)模型，無非是平移的問題了.任意性這三個字，同學(xué)們從圖形中都理解到位了，那么轉(zhuǎn)換為更通俗易懂的數(shù)學(xué)知識對應(yīng)了你學(xué)過的哪一個知識點呢？

生：左右兩邊要完全一樣！應(yīng)該是每一個點對應(yīng)！也就是三要素中最基本的定義域需要滿足對稱性！

師：說得很好！即定義域需要關(guān)于原點對稱！這是解決奇偶性的第一步！若定義域為［-2，1］呢？你想想會怎么樣？

生：圖形肯定不對稱！從上面我們舉出的一系列物品和函數(shù)圖像就可以知道！

設(shè)計意圖：這樣的作法讓學(xué)生對于概念中“任意”兩字的理解迅速到位，為后續(xù)解決奇偶性問題作好鋪墊.

四、小試牛刀

試題類型（一）

①f（x）=x3，x∈R；②f（x）=x2，x∈［-2，2］；

③f（x）=x2-1，x∈［-2，2）；④f（x）=x3-x，x∈（0，+∞）.

設(shè)計意圖：從概念出發(fā)，判別基本初等函數(shù)的單調(diào)性.從兩個方面入手：第一是定義域的觀察；其次是概念代數(shù)屬性運用：f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），也可以從圖形的角度作圖判斷.

試題類型（二）

設(shè)計意圖：從復(fù)合函數(shù)的角度入手，給出了幾個復(fù)雜函數(shù)模型，從定義的角度入手，利用f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）的變形式解決問題.對于學(xué)生而言，復(fù)雜函數(shù)或復(fù)合函數(shù)奇偶性需要善于應(yīng)用表達式的變形，讓學(xué)生靈活體會不同函數(shù)模型選擇不同表達式變形的處理技術(shù).

試題類型（三）

①f（x）=g（4+x）+g（4-x）（x∈R）；

設(shè)計意圖：試題選擇的最高層次是面向抽象函數(shù)和分段函數(shù)的使用，我們知道在抽象函數(shù)中使用奇偶性定義判斷是一個難點，鑒于具體表達式的缺失，導(dǎo)致學(xué)生判斷時易出現(xiàn)問題；分段函數(shù)更是難點，因為對于表達式f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）而言，每次需要選擇不同的表達式，這一點學(xué)生往往缺乏正確的判斷，教學(xué)中將這一環(huán)節(jié)弄清楚，可以破解分段函數(shù)奇偶性.下面給出簡要分析：

①它具有對稱性，因為（f-x）=g（4-x）+g（4+x）=（fx），所以（fx）是偶函數(shù)，不是奇函數(shù).

五、后續(xù)

奇偶性是函數(shù)性質(zhì)的難點和重點，通過上述感性認知——理性總結(jié)——鞏固訓(xùn)練，我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于奇偶性概念的理解和運用比傳統(tǒng)啟發(fā)式教學(xué)有了更高的認識，主要體現(xiàn)在：

（1）實驗探索來說，讓學(xué)生感受了數(shù)學(xué)背景下的物品，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之用，更讓學(xué)生感受了生活中無處不在的對稱美；從感受中又提煉了隱藏于物理屬性下數(shù)學(xué)本質(zhì)——軸對稱和中心對稱，讓學(xué)生理解上升了一個思想層次.

（2）任意性理解來說，奇偶性定義中最難的是任意性的理解，通過實驗我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于“任意性”的理解非常到位，即判斷奇偶性第一準則需要考查定義域的對稱性，若定義域沒有對稱性，則一定是非奇非偶函數(shù).

（3）教學(xué)的新思考：以往的教學(xué)往往是在課堂上探索對稱性，筆者并不認同，從教學(xué)成熟性角度來說，筆者建議這些探索以二十分鐘實驗的方式作為預(yù)習(xí)階段實現(xiàn)，這樣的好處既不用匆匆忙忙在課堂教學(xué)中去實現(xiàn)這一探索，也讓整個教學(xué)不處在一直“追趕”的環(huán)節(jié)中，實現(xiàn)了課堂教學(xué)的充分性.

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2.柴賢亭.數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題設(shè)計［J］.教學(xué)與管理，1999（10）.

3.沈恒.淺談中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的適度形式化［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2010（5）.Z