☉江蘇省如皋中學(xué)沙涓

發(fā)揮課本例習(xí)題的教學(xué)能力

☉江蘇省如皋中學(xué)沙涓

課堂教學(xué)除完成教學(xué)計劃及傳授知識，筆者認為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，最主要的目的就是讓學(xué)生的思維得到最充分的發(fā)展，只有這樣才能促進有效教學(xué)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.對于學(xué)生的關(guān)注，無論花多少時間，都是值得的.在課堂上，我們一定要給學(xué)生充分的思維空間，作為教師只有緊緊圍繞培養(yǎng)和提高學(xué)生思維能力來實施教學(xué)，才算是抓住了教學(xué)的本質(zhì)和核心.抓住課本例習(xí)題，可以發(fā)揮其最大的功能.本文筆者結(jié)合近年高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐，談?wù)勛约涸诶谜n本例習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生探究能力方面的一些體會.

一、關(guān)注一題多解，激發(fā)學(xué)生的探究興趣

課本中的例題，基礎(chǔ)性與典型性極強，而且有很深的內(nèi)涵.大部分是一題一解，解題的目標明確，符合大多數(shù)學(xué)生的認知要求.如果我們在教學(xué)中能充分挖掘例題的潛能，放手讓學(xué)生大膽探索，引導(dǎo)學(xué)生從多角度思考問題，廣泛、綜合地應(yīng)用所學(xué)的知識，找到多種解題方法.這樣能更有效地發(fā)揮學(xué)生的邏輯思維、發(fā)散思維，提高全面分析問題、解決問題的能力，起到把所學(xué)知識融會貫通的作用.一題多解不僅體現(xiàn)了解題能力的強弱，更重要的是其具有開放式思維的特點，是一種培養(yǎng)創(chuàng)新能力的重要思維方法.因此，一題多解應(yīng)當成為學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識和探索數(shù)學(xué)思維規(guī)律的重要手段.

案例1已知一個等差數(shù)列前10項和是310，前20項的和是1220，求前30項的和.

在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義、通項公式及前n項和公式.請同學(xué)們運用所學(xué)知識解決下面問題，并要求學(xué)生從多角度思考，可以得出不同的解法.多數(shù)學(xué)生由于之前通過預(yù)習(xí)，再加上剛剛學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，抓住等差數(shù)列的基本量a1和d，通過解方程，進而求出結(jié)果.這正是我們學(xué)習(xí)數(shù)列要深刻體會的思想和方法，應(yīng)牢固掌握.于是不難想到的第一種方法：

所以S30=3×302+1×30=2730.

這時引導(dǎo)學(xué)生進一步思考，得用等差數(shù)列的性質(zhì)，大膽猜想，前10項、前20項、前30項有其中的規(guī)律，看看還有沒有其他的解法呢？學(xué)生議論紛紛，有人發(fā)現(xiàn)了如下的解法.

解法三：猜想數(shù)列S10，S20-S10，S30-S20也是等差數(shù)列.（可以證明）

所以2（S20-S10）=（S30-S20）+S10，

即S30=3（S20-S10）=3（1220-310）=2730.

這正是后面習(xí)題中要求我們證明的一個結(jié)論.這一結(jié)論反映了等差數(shù)列的又一個性質(zhì)，用它處理有關(guān)問題簡潔而明快.此時學(xué)生的探究問題的興趣和熱情更加高漲，思維活躍起來，大家積極思考，大膽猜想，由解法二和解法三的啟示，會得到又一解.

解法四：由解法二知，Sn=an2+bn，兩邊同時除以n得求出a1和d，就可求出S30=2730.（詳解略）

這的確是一種非常好的解法，但我們?nèi)绻屑氂^察等差數(shù)列的前n項和公式的特點，再與我們學(xué)過的函數(shù)結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生進一步思考.這時學(xué)生會想到采用待定系數(shù)法可以解決.于是得出下面的解法二：

解法二：設(shè)Sn=an2+bn（a，b為待定系數(shù)），得，從而構(gòu)造一個新的數(shù)列｝，且也是一個等差數(shù)列.

此法構(gòu)造了一個新的數(shù)列，靈活運用了課本上的結(jié)論，處理問題干凈利索，思維有深度，見解獨特，構(gòu)造合理.看來探究是沒有止境的.還有更好的解法嗎？請同學(xué)們課后認真思考.其實還可以證明如下結(jié)論：

在數(shù)列｛an｝中，如果Sm=a，Sn=b，則

利用此結(jié)論也可以解決以上問題.

解法五：因為S10=310，S20=1220，即m=10，n=20，

以上方法中雖不是解決該問題的最簡單最直接的方法，但通過這樣的廣泛思考，大膽探索，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了新的結(jié)論，也進一步加深了學(xué)生對概念的理解和掌握，激發(fā)了同學(xué)們探究知識的欲望，培養(yǎng)了他們的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維.教材中的例題是編者從茫茫題海中精挑細選后才確定的，不僅具有問題的典型性、代表性和示范性，更具有學(xué)后反思的探索性和創(chuàng)造性.因此教師應(yīng)對例題進行深挖掘，幫助和引導(dǎo)學(xué)生進行再創(chuàng)造、綜合運用所學(xué)知識，把所學(xué)知識融會貫通，找出不同的解題方法.在這樣的理念下，通過一道普通例題的多角度多方位反思、提練，促使學(xué)生從例題進行自主探索，進而提高學(xué)生自己解決問題的能力、對知識的遷移能力，達到觸類旁通的效果.

二、引導(dǎo)變式推廣，培養(yǎng)學(xué)生的探究習(xí)慣

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，從課本例習(xí)題出發(fā)，進行變式教學(xué)，無論從內(nèi)容還是方法上都有著“固體拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”的效果.通過例習(xí)題的變式練習(xí)，學(xué)生不僅可以全面、深刻地掌握和理解知識，還能在很大程度上提升學(xué)生的思維品質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生探索、研究問題的能力.所以，有效的例習(xí)題變式訓(xùn)練也是培養(yǎng)學(xué)生探究習(xí)慣的途徑之一.

案例2如圖1，在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD.當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？（人教版選修2-1第41頁）

解：設(shè)M（x，y），P（x0，y0），則x20+=4.

圖1

代入上述方程得x2+（2y）2=4，即

所以點M的軌跡為橢圓.

點評：問題本身并不難，但我們可以進一步的理解：橢圓是圓按一定方向的壓縮，圓是橢圓按一定方向的拉伸.從這一角度理解，筆者發(fā)現(xiàn)很多題目可以是這道題目的變式.

變式1已知定直線l與平面α成60°角，點P是平面α內(nèi)的一動點，且點P到直線l的距離為3，則動點P的軌跡是什么？

變式3已知橢圓C與橢圓C的公共點個數(shù)為多少？

由以上的知識可知，橢圓和圓之間確實存在一些類似的關(guān)系，在圓中有kPA·kPB=-1，那么在橢圓中，kPA1·kPA2的值呢？帶著這樣的疑惑、猜測以及嚴格的推理論證.筆者得到橢圓中如下的性質(zhì)：

性質(zhì)2：若AB是橢圓（當斜率存在時）.

由此可見，變式教學(xué)是提高課堂效率的有效途徑，它可以改善當前數(shù)學(xué)教學(xué)中的機械使用例習(xí)題教學(xué)的現(xiàn)狀，有利于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)探究的習(xí)慣.

教材始終是最重要的第一手教學(xué)資源.教師要能夠充分利用第一手資源，就要深入潛心仔細研究教材，復(fù)習(xí)中，采用一題多解的方法，多層次、多角度地思考問題，把單薄的知識系統(tǒng)化，織成較寬的知識面.通過一題多解、多題一解的方法，了解知識的內(nèi)在聯(lián)系，深入理解及掌握所學(xué)的知識.只有這樣才能真正實現(xiàn)“把數(shù)學(xué)冰冷的美麗轉(zhuǎn)化為火熱的思考”.

三、引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，提升學(xué)生的探究能力

高中數(shù)學(xué)新教材增加了有關(guān)“合情推理”的內(nèi)容.這不僅能夠使學(xué)生相對完整地接觸各種推理方式，而且能使學(xué)生學(xué)會歸納、類比、猜想.其中，歸納猜想是高中生應(yīng)掌握的一種很重要的推理能力，而以往的教學(xué)常常對此有所忽視.著名的“四色猜想”、“費馬猜想”、“哥德巴赫猜想”等命題就曾在極大程度上推動了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，書寫出輝煌的歷史.因此，在中學(xué)教學(xué)階段，教師不但要有意識地鼓勵學(xué)生大膽地進行歸納猜想，還應(yīng)該努力指導(dǎo)他們實現(xiàn)從猜想到證明的過程，從而加深對問題的認識，提升探究數(shù)學(xué)問題的能力.

案例3觀察以下各等式：

分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明.

（人教版必修4第128頁習(xí)題3.1B組第3題）

這是立意深刻、內(nèi)涵豐富的一道好題，它以特殊角的三角函數(shù)證明題為基礎(chǔ)，考查一類三角恒等式的證明和推廣，進而檢測學(xué)生思維的靈活性和歸納、總結(jié)、猜想、研究、探究能力.本題證法很多，限于篇幅，筆者不一一列出，現(xiàn)給出部分推廣，供讀者參考：

推廣1：若兩角β-α=30°或β-α=150°上式仍成立，

推廣2：若兩角α+β=30°或α+β=150°上式仍成立，

推廣3：若兩角β-α=60°或β-α=120°上式仍成立，

推廣4：若兩角α+β=60°或α+β=120°上式仍成立，

推廣5：若兩角β-α=45°或β-α=135°上式仍成立，

推廣6：若兩角α+β=45°或α+β=135°上式仍成立，

以上幾個變式推廣與原題的本質(zhì)基本相同，角度差都是我們常見的特殊角，類似的結(jié)論還可以推廣出很多，證明方法和前面證明方法也是類似的，那么上述規(guī)律是否還可以繼續(xù)推廣呢？我們觀察上述兩種形式的公式，

三角恒等式一：sin2α+cos2β-2sin（α+β）sinαcosβ= cos2（α+β）.

三角恒等式二：sin2α+cos2β-2sin（α-β）sinαcosβ= cos2（α-β）.（限于篇幅，證法略）

上述證明推廣變式引申出三角恒等式則考查了學(xué)生觀察、思考、歸納、總結(jié)、探究的類比能力和歸納總結(jié)能力.所以我們要樹立對問題和習(xí)題探究理念，面對一個具體的課本上的問題或高考題，透過表象，揭示出問題的規(guī)律和本質(zhì)，這不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生的探究數(shù)學(xué)能力，還可以培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的美好情感.

四、關(guān)注學(xué)生類比遷移，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識

類比遷移是利用已有問題的解答思路來解決相類似問題的一種解題策略.通過“類比遷移”例習(xí)題的訓(xùn)練，可以使學(xué)生在類比中模仿、探究、創(chuàng)新，有利于學(xué)生看透相類似問題的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維，提高分析與解決問題的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的探究意識.

案例4類比直角三角形的勾股定理，提出猜想——在直角三棱錐（3個面兩兩垂直的三棱錐）中，斜面面積的平方等于三個直角面面積的平方和.（人教A版選修2—2第74頁）

偉大的數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說過：類比是一個偉大的引路人，許多立體幾何問題可以從平面幾何中的類比得到.立體幾何是建立在平面幾何的基礎(chǔ)上，平面內(nèi)許多的概念、公式與性質(zhì)可以類比推廣到空間幾何中，得到許多美麗的結(jié)論和性質(zhì)，實現(xiàn)“空間問題平面化”.因此，教師應(yīng)借助該例題所包含的數(shù)學(xué)思想方法，類比直角三角形的其他性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生提出直角三棱錐相類似的結(jié)論，并給予證明.

類比遷移：針對“直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊邊長的一半”，提出猜想：直角三棱錐中，中面面積等于斜面面積的，其中“中面”表示過直角三棱錐的直角頂點及斜面任意兩邊中點的截面.

解析：如圖2，在三棱錐P-ABC中，直線PA，PB，PC互相垂直，且D、E分別是線段AC、BC的中點，那么PD=AC，PE=BC，DE∥A AB，DE=AB，因此△PDE≌△CDE，所以面積比為

圖2

拉普拉斯認為“甚至在數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具，也是歸納和類比”.為此，筆者為了鞏固得到的成果，布置學(xué)生課后嘗試將三角形其他性質(zhì)類比聯(lián)系到直角三棱錐中，“使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的‘再創(chuàng)造’過程”.

對照教材中的例習(xí)題，教師設(shè)計的例題應(yīng)該精一點、活一點，這樣學(xué)生就能學(xué)得好一點.數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，重視一題多解、習(xí)題變式、歸納猜想、類比遷移等教學(xué)方式的應(yīng)用，可以促進學(xué)生思維的遷移，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)探究的良好習(xí)慣.Z