☉湖北省沙市中學(xué) 夏旭凡
一道習(xí)題的思考
☉湖北省沙市中學(xué) 夏旭凡
已知圓的方程x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程.(此題是《高中數(shù)學(xué)解題題典》第二章第二節(jié)圓第29題,P1033)
解(略):切線方程為xx0+yy0=r2.
此切線方程簡(jiǎn)潔明了,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美,此時(shí)也許我們會(huì)想到當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2=r2內(nèi)部,外部時(shí)xx0+yy0= r2有什么幾何意義呢?這樣的幾何意義在橢圓、雙曲線、拋物線上同樣適用嗎?
對(duì)于圓:
(一)已知圓的方程x2+y2=r2,平面內(nèi)非原點(diǎn)的點(diǎn)M(x0,y0),直線方程l為xx0+yy0=r2.求證:原點(diǎn)到M的距離為a,圓的半徑r,原點(diǎn)到直線xx0+yy0=r2的距離b成等比數(shù)列且OM⊥l.
(二)已知M(x0,y0)是圓x2+y2=r2內(nèi)一點(diǎn),則直線xx0+ yy0=r2與圓x2+y2=r2相離.
(三)已知M(x0,y0)是圓x2+y2=r2外一點(diǎn),過點(diǎn)M作圓的切線交圓x2+y2=r2于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則直線AB的方程為xx0+yy0=r2.
如圖1,原點(diǎn)為O,設(shè)直線OM與AB交于點(diǎn)N,顯然,△OAM為直角三角形,AN為斜邊上的高.
r2=OA2=OM·ON且OM⊥AB.
由上面的結(jié)論(一)得直線AB的方程為xx0+yy0=r2.
圖1
(一)當(dāng)點(diǎn)M在橢圓內(nèi)時(shí),直線l與橢圓相離;
(二)當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上時(shí),直線l與橢圓相切;
證明(一):構(gòu)造新坐標(biāo)系
新坐標(biāo)系下的方程為圓C:x′2+y′2=1,點(diǎn)M(x0,y)0在新坐則橢圓在標(biāo)系下為圓C上的點(diǎn)).根據(jù)推論一直線=1與圓x′2+y′2=1相離.
同理可以證明(二),(三).
對(duì)于雙曲線:已知點(diǎn)M(x0,y0)在雙曲線=1上,則直線l與雙曲線相切.
即直線MN得斜率與漸近線的斜率相等,與雙曲線幾何性質(zhì)矛盾.
對(duì)于拋物線:已知點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線y2=2px上,則y0y=p(x+x0)是拋物線y2=2px的切線.
設(shè):直線與拋物線y2=2px有兩個(gè)不同公共點(diǎn)M(x0,y0),N(x1,y1),則
點(diǎn)M,N重合,與假設(shè)矛盾.
所以y0y=p(x+x0)是拋物線y2=2px的切線.
當(dāng)點(diǎn)在雙曲線兩支之間和點(diǎn)在拋物線外時(shí)有類似性質(zhì),讀者可以用類似方法研究.Z