☉湖北省沙市中學(xué) 夏旭凡

一道習(xí)題的思考

☉湖北省沙市中學(xué) 夏旭凡

已知圓的方程x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程.（此題是《高中數(shù)學(xué)解題題典》第二章第二節(jié)圓第29題，P1033）

解（略）：切線方程為xx0+yy0=r2.

此切線方程簡(jiǎn)潔明了，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，此時(shí)也許我們會(huì)想到當(dāng)點(diǎn)M（x0，y0）在圓x2+y2=r2內(nèi)部，外部時(shí)xx0+yy0= r2有什么幾何意義呢？這樣的幾何意義在橢圓、雙曲線、拋物線上同樣適用嗎？

對(duì)于圓：

（一）已知圓的方程x2+y2=r2，平面內(nèi)非原點(diǎn)的點(diǎn)M（x0，y0），直線方程l為xx0+yy0=r2.求證：原點(diǎn)到M的距離為a，圓的半徑r，原點(diǎn)到直線xx0+yy0=r2的距離b成等比數(shù)列且OM⊥l.

（二）已知M（x0，y0）是圓x2+y2=r2內(nèi)一點(diǎn)，則直線xx0+ yy0=r2與圓x2+y2=r2相離.

（三）已知M（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓的切線交圓x2+y2=r2于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則直線AB的方程為xx0+yy0=r2.

如圖1，原點(diǎn)為O，設(shè)直線OM與AB交于點(diǎn)N，顯然，△OAM為直角三角形，AN為斜邊上的高.

r2=OA2=OM·ON且OM⊥AB.

由上面的結(jié)論（一）得直線AB的方程為xx0+yy0=r2.

圖1

（一）當(dāng)點(diǎn)M在橢圓內(nèi)時(shí)，直線l與橢圓相離；

（二）當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上時(shí)，直線l與橢圓相切；

證明（一）：構(gòu)造新坐標(biāo)系

新坐標(biāo)系下的方程為圓C：x′2+y′2=1，點(diǎn)M（x0，y）0在新坐則橢圓在標(biāo)系下為圓C上的點(diǎn)）.根據(jù)推論一直線=1與圓x′2+y′2=1相離.

同理可以證明（二），（三）.

對(duì)于雙曲線：已知點(diǎn)M（x0，y0）在雙曲線=1上，則直線l與雙曲線相切.

即直線MN得斜率與漸近線的斜率相等，與雙曲線幾何性質(zhì)矛盾.

對(duì)于拋物線：已知點(diǎn)M（x0，y0）在拋物線y2=2px上，則y0y=p（x+x0）是拋物線y2=2px的切線.

設(shè)：直線與拋物線y2=2px有兩個(gè)不同公共點(diǎn)M（x0，y0），N（x1，y1），則

點(diǎn)M，N重合，與假設(shè)矛盾.

所以y0y=p（x+x0）是拋物線y2=2px的切線.

當(dāng)點(diǎn)在雙曲線兩支之間和點(diǎn)在拋物線外時(shí)有類似性質(zhì)，讀者可以用類似方法研究.Z