☉安徽省太和中學 阮飛

橢圓背景下的線線平行證明一例

☉安徽省太和中學 阮飛

著名數學教育家波利亞說過：“沒有一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經過充分的探討與研究，總會有點滴的發(fā)現，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們都能提高自己對這個解答的理解水平.”

——題記

一、問題的提出

已知兩條曲線E1=1（a＞b＞0，x＞0）和E2，過原點O的兩條不同直線l1和 l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點.證明：A1B1∥A2B2.

圖1

如圖1，不難發(fā)現曲線E1和E2分別是離心率相等的兩橢圓=1（a＞b＞0）和1（a＞b＞0，λ＞1）的一部分.試題以橢圓的相似性為背景，突出橢圓方程的

考查；滲透數形結合的思想、函數與方程的思想；強調解析幾何的基本方法——坐標法、向量的工具性.題目融平面向量、平面幾何、解析幾何知識于一體，目的是考查知識綜合運用能力.

二、問題的探索

要證明兩條不同的直線平行，教材中給出的方法有：證明兩條直線的方向向量平行、兩條直線的斜率相等（要判斷斜率是否存在）、利用平面幾何知識.

1.證明兩條直線的方向向量平行

必修4教材中給出的方法：若直線A1B1，A2B2的方向向量分別為，要證AB∥AB，1122只需證，只需證

證法1：設直線l1，l2的方程分別為y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），

同理可得B1

由于直線l1過原點，A1，A2兩點在l1上，故.通過設A1（x1，y1），A2（mx1，my1），可使用“設而不求”的方法.

證法2：A1，A2兩點在直線l1上，可設A1（x1，y1），A2（mx1，my1）（m＞0），

同理可設B1（x2，y2），B2（nx2，ny2）（n＞0），且n=λ.

所以A2（λx1，λy1），B2（λx2，λy2），

另外，結合選修4-4教材中橢圓的參數方程，我們可以把橢圓上的點的坐標設成參數方程的形式.

證法3：由題意可設A1（acosα，bsinα）

因為A1，A2在直線l1上，所以

同理可設B1（acosβ，bsinβ）

當然，我們也可以通過證明兩條不同直線的法向量平行來證明兩直線平行.有興趣的讀者不妨一試.

2.證明兩條斜率存在的直線的斜率相等

必修2教材中給出的結論：若兩條不同直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，l1∥l2?k1=k2.

結合證法2，我們有證法4：

由證法2知，A1（x1，y1），B1（x2，y2），A2（λx1，λy1），B2（λx2，λy2）.

（1）當x2-x1≠0時，kA1B1=

所以kA1B1=kA2B2，A1B1//A2B2.

（2）當x2-x1=0時，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，故A1B1∥A2B2.

綜合（1）（2）知，A1B1//A2B2.

同理，利用證法1或證法3中點的坐標，我們有和證法4類似的證法，過程略.

3.利用平面幾何知識

解析幾何是用代數方法研究幾何問題，但解題時不能一味地單純使用代數方法，應重視對平面幾何知識的挖掘.

選修4-1《幾何證明選講》中有引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

為了證“對應線段成比例”，結合選修4-4中的“點的極坐標與直角坐標的互化”的相關知識，我們可以把橢圓上的點的坐標設成極坐標的形式.

證法5：以原點為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系.設曲線E1上異于原點任意一點P的極坐標為（ρ，

得曲線E1的極坐標方程

同理可得曲線E2的極坐標方程：ρ=

又A1，A2兩點在直線l1上，可設A1（ρ1，α1），A2（ρ2，α1）. ρ1=|OA1|，ρ2=|OA2|.

則ρ1=

即ρ2=λρ1，

所以|OA2|=λ|OA1|.

同理可得|OB2|=λ|OB1|，則

同理，利用前三種證法中點的坐標，我們有和證法5類似的證法.下面以證法2中點的坐標為例.

證法6：由證法2知，A1（x1，y1），B1（x2，y2），A2（λx1，λy1），B2（λx2，λy2），

同理可得|OB2|=λ|OB1|，則

由于直線l1和l2過原點，證法2中點的坐標最簡潔.張奠宙先生說：“我們知道‘點’是不能‘計算’的.但是引入

由平面幾何知識易知A1B1∥A2B2，且了坐標，并把點看作位置向量，就可以計算了：向量可以和‘數’相乘，兩個向量可以加減，以及有數量積等等……引入向量，能夠精中求簡，‘以簡馭繁’……”

三、問題的啟示

1.突出本質，注重核心，幫助學生提升核心素養(yǎng)

解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，而坐標法是解析幾何中最基本的研究方法，其滲透了函數與方程、數形結合、分類討論、化歸與轉化等重要思想.《普通高中數學課程標準（實驗）》指出解析幾何的核心內容包括幾何圖形的代數表示——點、直線、圓錐曲線的代數表示；常見幾何圖形、幾何性質的代數表示；利用代數研究直線、圓錐曲線及直線與圓錐曲線的關系與性質.其教育價值在于通過坐標法下幾何與代數統一性的認識，幫助學生建立普遍聯系的辯證觀念，發(fā)展學生的運算求解能力，拓展學生分析、解決問題的能力.因此，高中數學教學，必須貫徹課標理念，突出數學本質，關注學科各分支的核心內容，滲透重要的思想方法，并充分挖掘其教育價值，幫助學生提升核心素養(yǎng).

2.立足教材，關注過程，重視探究，引領學生自主學習

高考源于教材，高于教材.教學中我們應當引導學生立足教材，研究教材：將教材呈現的知識形成知識網絡、將教材中的特例推廣為一般結論、將通法提升為思想方法，以期達到“八方聯系，渾然一體”的境界.同時，高考作為選拔性考試，著力于學生學習潛能與學科核心素養(yǎng)的考查.教師要合理引導學生進行自主合作、交流探究活動，使學生親身經歷知識的發(fā)生與發(fā)展過程，體會蘊涵在其中的思想方法，領悟數學問題的本質，提高學生自主探究、知識綜合運用能力，發(fā)展創(chuàng)新意識，從而引領學生自主學習.

1.周興和.高等幾何［M］.北京：科學出版社，2003.

2.波利亞.怎樣解題［M］.涂鴻，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2002.

3.唐秀穎.數學題解辭典（平面解析幾何）［M］.上海：上海辭書出版社，1983.Z