☉安徽省太和中學(xué) 阮飛

橢圓背景下的線線平行證明一例

☉安徽省太和中學(xué) 阮飛

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：“沒有一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分的探討與研究，總會有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們都能提高自己對這個(gè)解答的理解水平.”

——題記

一、問題的提出

已知兩條曲線E1=1（a＞b＞0，x＞0）和E2，過原點(diǎn)O的兩條不同直線l1和 l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點(diǎn)，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點(diǎn).證明：A1B1∥A2B2.

圖1

如圖1，不難發(fā)現(xiàn)曲線E1和E2分別是離心率相等的兩橢圓=1（a＞b＞0）和1（a＞b＞0，λ＞1）的一部分.試題以橢圓的相似性為背景，突出橢圓方程的

考查；滲透數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想；強(qiáng)調(diào)解析幾何的基本方法——坐標(biāo)法、向量的工具性.題目融平面向量、平面幾何、解析幾何知識于一體，目的是考查知識綜合運(yùn)用能力.

二、問題的探索

要證明兩條不同的直線平行，教材中給出的方法有：證明兩條直線的方向向量平行、兩條直線的斜率相等（要判斷斜率是否存在）、利用平面幾何知識.

1.證明兩條直線的方向向量平行

必修4教材中給出的方法：若直線A1B1，A2B2的方向向量分別為，要證AB∥AB，1122只需證，只需證

證法1：設(shè)直線l1，l2的方程分別為y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），

同理可得B1

由于直線l1過原點(diǎn)，A1，A2兩點(diǎn)在l1上，故.通過設(shè)A1（x1，y1），A2（mx1，my1），可使用“設(shè)而不求”的方法.

證法2：A1，A2兩點(diǎn)在直線l1上，可設(shè)A1（x1，y1），A2（mx1，my1）（m＞0），

同理可設(shè)B1（x2，y2），B2（nx2，ny2）（n＞0），且n=λ.

所以A2（λx1，λy1），B2（λx2，λy2），

另外，結(jié)合選修4-4教材中橢圓的參數(shù)方程，我們可以把橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)成參數(shù)方程的形式.

證法3：由題意可設(shè)A1（acosα，bsinα）

因?yàn)锳1，A2在直線l1上，所以

同理可設(shè)B1（acosβ，bsinβ）

當(dāng)然，我們也可以通過證明兩條不同直線的法向量平行來證明兩直線平行.有興趣的讀者不妨一試.

2.證明兩條斜率存在的直線的斜率相等

必修2教材中給出的結(jié)論：若兩條不同直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，l1∥l2?k1=k2.

結(jié)合證法2，我們有證法4：

由證法2知，A1（x1，y1），B1（x2，y2），A2（λx1，λy1），B2（λx2，λy2）.

（1）當(dāng)x2-x1≠0時(shí)，kA1B1=

所以kA1B1=kA2B2，A1B1//A2B2.

（2）當(dāng)x2-x1=0時(shí)，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，故A1B1∥A2B2.

綜合（1）（2）知，A1B1//A2B2.

同理，利用證法1或證法3中點(diǎn)的坐標(biāo)，我們有和證法4類似的證法，過程略.

3.利用平面幾何知識

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題，但解題時(shí)不能一味地單純使用代數(shù)方法，應(yīng)重視對平面幾何知識的挖掘.

選修4-1《幾何證明選講》中有引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

為了證“對應(yīng)線段成比例”，結(jié)合選修4-4中的“點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化”的相關(guān)知識，我們可以把橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)成極坐標(biāo)的形式.

證法5：以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.設(shè)曲線E1上異于原點(diǎn)任意一點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（ρ，

得曲線E1的極坐標(biāo)方程

同理可得曲線E2的極坐標(biāo)方程：ρ=

又A1，A2兩點(diǎn)在直線l1上，可設(shè)A1（ρ1，α1），A2（ρ2，α1）. ρ1=|OA1|，ρ2=|OA2|.

則ρ1=

即ρ2=λρ1，

所以|OA2|=λ|OA1|.

同理可得|OB2|=λ|OB1|，則

同理，利用前三種證法中點(diǎn)的坐標(biāo)，我們有和證法5類似的證法.下面以證法2中點(diǎn)的坐標(biāo)為例.

證法6：由證法2知，A1（x1，y1），B1（x2，y2），A2（λx1，λy1），B2（λx2，λy2），

同理可得|OB2|=λ|OB1|，則

由于直線l1和l2過原點(diǎn)，證法2中點(diǎn)的坐標(biāo)最簡潔.張奠宙先生說：“我們知道‘點(diǎn)’是不能‘計(jì)算’的.但是引入

由平面幾何知識易知A1B1∥A2B2，且了坐標(biāo)，并把點(diǎn)看作位置向量，就可以計(jì)算了：向量可以和‘?dāng)?shù)’相乘，兩個(gè)向量可以加減，以及有數(shù)量積等等……引入向量，能夠精中求簡，‘以簡馭繁’……”

三、問題的啟示

1.突出本質(zhì)，注重核心，幫助學(xué)生提升核心素養(yǎng)

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，而坐標(biāo)法是解析幾何中最基本的研究方法，其滲透了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等重要思想.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出解析幾何的核心內(nèi)容包括幾何圖形的代數(shù)表示——點(diǎn)、直線、圓錐曲線的代數(shù)表示；常見幾何圖形、幾何性質(zhì)的代數(shù)表示；利用代數(shù)研究直線、圓錐曲線及直線與圓錐曲線的關(guān)系與性質(zhì).其教育價(jià)值在于通過坐標(biāo)法下幾何與代數(shù)統(tǒng)一性的認(rèn)識，幫助學(xué)生建立普遍聯(lián)系的辯證觀念，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算求解能力，拓展學(xué)生分析、解決問題的能力.因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)，必須貫徹課標(biāo)理念，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，關(guān)注學(xué)科各分支的核心內(nèi)容，滲透重要的思想方法，并充分挖掘其教育價(jià)值，幫助學(xué)生提升核心素養(yǎng).

2.立足教材，關(guān)注過程，重視探究，引領(lǐng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)

高考源于教材，高于教材.教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生立足教材，研究教材：將教材呈現(xiàn)的知識形成知識網(wǎng)絡(luò)、將教材中的特例推廣為一般結(jié)論、將通法提升為思想方法，以期達(dá)到“八方聯(lián)系，渾然一體”的境界.同時(shí)，高考作為選拔性考試，著力于學(xué)生學(xué)習(xí)潛能與學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.教師要合理引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主合作、交流探究活動(dòng)，使學(xué)生親身經(jīng)歷知識的發(fā)生與發(fā)展過程，體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，提高學(xué)生自主探究、知識綜合運(yùn)用能力，發(fā)展創(chuàng)新意識，從而引領(lǐng)學(xué)生自主學(xué)習(xí).

1.周興和.高等幾何［M］.北京：科學(xué)出版社，2003.

2.波利亞.怎樣解題［M］.涂鴻，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?002.

3.唐秀穎.數(shù)學(xué)題解辭典（平面解析幾何）［M］.上海：上海辭書出版社，1983.Z