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        高中數學恒成立與存在性問題的探究

        2016-11-16 03:50:34吳吉云
        新課程(下) 2016年9期
        關鍵詞:離石區(qū)洛必達定義域

        吳吉云

        (山西省呂梁市離石區(qū)江陰高級中學)

        高中數學恒成立與存在性問題的探究

        吳吉云

        (山西省呂梁市離石區(qū)江陰高級中學)

        恒成立與存在性問題是高中數學中常見的一種題型,基于學生的認知水平對這種題型的理解比較吃力,特別是一題中恒成立與存在性問題同時出現時,學生更不容易把已知條件演繹出來,針對這一困惑點,通過對一道題的多種變式講解,讓學生對這類問題的認識更上一層樓.

        恒成立;任意的;存在;參變分離

        一、存在性問題

        例1.函數(fx)=4x2-8x+2,存在x∈[1,2],使(fx)>2x+m成立,求m的取值范圍.

        解:因為存在x∈[1,2],使(fx)>2x+m成立.

        所以存在x∈[1,2],使(fx)-2x>m成立,即:((fx)-2x)max>m.

        令g(x)=(fx)-2x=4x2-10x+2,x∈[1,2],

        小結:(1)存在x∈[a,b],使(fx)>m成立?(fx)max>m;

        (2)存在x∈[a,b],使(fx)<m成立?(fx)min<m.

        二、恒成立問題

        變式1:函數(fx)=4x2-8x+2,對任意的x∈[1,2],使(fx)>2x+m恒成立,求m的取值范圍.

        解:因為對任意的x∈[1,2],使(fx)>2x+m成立.

        所以任意的x∈[1,2],使(fx)-2x>m成立,即:((fx)-2x)min>m.

        令g(x)=(fx)-2x=4x2-10x+2,x∈[1,2],

        小結:(1)對任意的x∈[a,b],使(fx)>m成立?(fx)min>m;

        (2)對任意的x∈[a,b],使(fx)<m成立?(fx)max<m.

        變式2:設函數(fx)=4x2-8x+2,對任意的x∈[1,)∪(,2],使(fx)>2x+m成立,求m的取值范圍.

        令g(x)=(fx)-2x=4x2-10x+2,x∈[1,)∪(,2],

        (2)恒成立、存在性問題中,當參變分離后構造出的新函數,求新函數的最值時,當最值取不到時,要考慮m取值范圍中“=”的取舍.

        例2.設函數(fx)=x ln x-a,函數(fx)<0在(0,)上恒成立,求

        a的取值范圍.

        當x=0時g(x)取最大值,但此時g(x)無意義.所以用洛必達法則求解.

        ∴a≥0

        小結:此題中g(x)在x=0時取最大值,但g(x)在x=0處無意義,所以用洛必達法則求解(極限思想).

        三、結語

        解決恒成立與存在性問題首選參變分離,參變分離后都可以轉化為求構造出的新函數的最值問題,在求新函數的最值時有三種情況:(1)在定義域內最值存在(如例1和變式1);(2)在定義域內最值不存在,但在定義域端點值處取最值并且在該點處有意義(如變式2),此時可以借助端點值所對應的函數值求參數的取值(注意參數端點值的取舍);(3)在定義域內最值不存在,但在定義域端點值處取最值并且在該點處無意義(如例2),此時可以用洛必達法則解決.

        [1]佟成軍,馮善狀.一道試題講評的“幕后臺前”[J].中學數學教學參考(上旬),2013(6):17-20.

        [2]張良超.高三解題:想得好才能做好[J].中學數學教學參考(上旬),2012(10):27-29.

        ·編輯張慧

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