吳吉云

（山西省呂梁市離石區(qū)江陰高級(jí)中學(xué)）

高中數(shù)學(xué)恒成立與存在性問題的探究

吳吉云

（山西省呂梁市離石區(qū)江陰高級(jí)中學(xué)）

恒成立與存在性問題是高中數(shù)學(xué)中常見的一種題型，基于學(xué)生的認(rèn)知水平對(duì)這種題型的理解比較吃力，特別是一題中恒成立與存在性問題同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生更不容易把已知條件演繹出來，針對(duì)這一困惑點(diǎn)，通過對(duì)一道題的多種變式講解，讓學(xué)生對(duì)這類問題的認(rèn)識(shí)更上一層樓.

恒成立；任意的；存在；參變分離

一、存在性問題

例1.函數(shù)（fx）=4x2-8x+2，存在x∈［1，2］，使（fx）＞2x+m成立，求m的取值范圍.

解：因?yàn)榇嬖趚∈［1，2］，使（fx）＞2x+m成立.

所以存在x∈［1，2］，使（fx）-2x＞m成立，即：（（fx）-2x）max＞m.

令g（x）=（fx）-2x=4x2-10x+2，x∈［1，2］，

小結(jié)：（1）存在x∈［a，b］，使（fx）＞m成立?（fx）max＞m；

（2）存在x∈［a，b］，使（fx）＜m成立?（fx）min＜m.

二、恒成立問題

變式1：函數(shù)（fx）=4x2-8x+2，對(duì)任意的x∈［1，2］，使（fx）＞2x+m恒成立，求m的取值范圍.

解：因?yàn)閷?duì)任意的x∈［1，2］，使（fx）＞2x+m成立.

所以任意的x∈［1，2］，使（fx）-2x＞m成立，即：（（fx）-2x）min＞m.

令g（x）=（fx）-2x=4x2-10x+2，x∈［1，2］，

小結(jié)：（1）對(duì)任意的x∈［a，b］，使（fx）＞m成立?（fx）min＞m；

（2）對(duì)任意的x∈［a，b］，使（fx）＜m成立?（fx）max＜m.

變式2：設(shè)函數(shù)（fx）=4x2-8x+2，對(duì)任意的x∈［1，）∪（，2］，使（fx）＞2x+m成立，求m的取值范圍.

令g（x）=（fx）-2x=4x2-10x+2，x∈［1，）∪（，2］，

（2）恒成立、存在性問題中，當(dāng)參變分離后構(gòu)造出的新函數(shù)，求新函數(shù)的最值時(shí)，當(dāng)最值取不到時(shí)，要考慮m取值范圍中“=”的取舍.

例2.設(shè)函數(shù)（fx）=x ln x-a，函數(shù)（fx）＜0在（0，）上恒成立，求

a的取值范圍.

當(dāng)x=0時(shí)g（x）取最大值，但此時(shí)g（x）無意義.所以用洛必達(dá)法則求解.

∴a≥0

小結(jié)：此題中g(shù)（x）在x=0時(shí)取最大值，但g（x）在x=0處無意義，所以用洛必達(dá)法則求解（極限思想）.

三、結(jié)語

解決恒成立與存在性問題首選參變分離，參變分離后都可以轉(zhuǎn)化為求構(gòu)造出的新函數(shù)的最值問題，在求新函數(shù)的最值時(shí)有三種情況：（1）在定義域內(nèi)最值存在（如例1和變式1）；（2）在定義域內(nèi)最值不存在，但在定義域端點(diǎn)值處取最值并且在該點(diǎn)處有意義（如變式2），此時(shí)可以借助端點(diǎn)值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值求參數(shù)的取值（注意參數(shù)端點(diǎn)值的取舍）；（3）在定義域內(nèi)最值不存在，但在定義域端點(diǎn)值處取最值并且在該點(diǎn)處無意義（如例2），此時(shí)可以用洛必達(dá)法則解決.

［1］佟成軍，馮善狀.一道試題講評(píng)的“幕后臺(tái)前”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2013（6）：17-20.

［2］張良超.高三解題：想得好才能做好［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2012（10）：27-29.

·編輯張慧