吳吉云
(山西省呂梁市離石區(qū)江陰高級(jí)中學(xué))
高中數(shù)學(xué)恒成立與存在性問題的探究
吳吉云
(山西省呂梁市離石區(qū)江陰高級(jí)中學(xué))
恒成立與存在性問題是高中數(shù)學(xué)中常見的一種題型,基于學(xué)生的認(rèn)知水平對(duì)這種題型的理解比較吃力,特別是一題中恒成立與存在性問題同時(shí)出現(xiàn)時(shí),學(xué)生更不容易把已知條件演繹出來,針對(duì)這一困惑點(diǎn),通過對(duì)一道題的多種變式講解,讓學(xué)生對(duì)這類問題的認(rèn)識(shí)更上一層樓.
恒成立;任意的;存在;參變分離
例1.函數(shù)(fx)=4x2-8x+2,存在x∈[1,2],使(fx)>2x+m成立,求m的取值范圍.
解:因?yàn)榇嬖趚∈[1,2],使(fx)>2x+m成立.
所以存在x∈[1,2],使(fx)-2x>m成立,即:((fx)-2x)max>m.
令g(x)=(fx)-2x=4x2-10x+2,x∈[1,2],
小結(jié):(1)存在x∈[a,b],使(fx)>m成立?(fx)max>m;
(2)存在x∈[a,b],使(fx)<m成立?(fx)min<m.
變式1:函數(shù)(fx)=4x2-8x+2,對(duì)任意的x∈[1,2],使(fx)>2x+m恒成立,求m的取值范圍.
解:因?yàn)閷?duì)任意的x∈[1,2],使(fx)>2x+m成立.
所以任意的x∈[1,2],使(fx)-2x>m成立,即:((fx)-2x)min>m.
令g(x)=(fx)-2x=4x2-10x+2,x∈[1,2],
小結(jié):(1)對(duì)任意的x∈[a,b],使(fx)>m成立?(fx)min>m;
(2)對(duì)任意的x∈[a,b],使(fx)<m成立?(fx)max<m.
變式2:設(shè)函數(shù)(fx)=4x2-8x+2,對(duì)任意的x∈[1,)∪(,2],使(fx)>2x+m成立,求m的取值范圍.
令g(x)=(fx)-2x=4x2-10x+2,x∈[1,)∪(,2],
(2)恒成立、存在性問題中,當(dāng)參變分離后構(gòu)造出的新函數(shù),求新函數(shù)的最值時(shí),當(dāng)最值取不到時(shí),要考慮m取值范圍中“=”的取舍.
例2.設(shè)函數(shù)(fx)=x ln x-a,函數(shù)(fx)<0在(0,)上恒成立,求
a的取值范圍.
當(dāng)x=0時(shí)g(x)取最大值,但此時(shí)g(x)無意義.所以用洛必達(dá)法則求解.
∴a≥0
小結(jié):此題中g(shù)(x)在x=0時(shí)取最大值,但g(x)在x=0處無意義,所以用洛必達(dá)法則求解(極限思想).
解決恒成立與存在性問題首選參變分離,參變分離后都可以轉(zhuǎn)化為求構(gòu)造出的新函數(shù)的最值問題,在求新函數(shù)的最值時(shí)有三種情況:(1)在定義域內(nèi)最值存在(如例1和變式1);(2)在定義域內(nèi)最值不存在,但在定義域端點(diǎn)值處取最值并且在該點(diǎn)處有意義(如變式2),此時(shí)可以借助端點(diǎn)值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值求參數(shù)的取值(注意參數(shù)端點(diǎn)值的取舍);(3)在定義域內(nèi)最值不存在,但在定義域端點(diǎn)值處取最值并且在該點(diǎn)處無意義(如例2),此時(shí)可以用洛必達(dá)法則解決.
[1]佟成軍,馮善狀.一道試題講評(píng)的“幕后臺(tái)前”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2013(6):17-20.
[2]張良超.高三解題:想得好才能做好[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2012(10):27-29.
·編輯張慧