張菁

（江蘇昆山陸家高級(jí)中學(xué)）

高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程思想的實(shí)例剖析

張菁

（江蘇昆山陸家高級(jí)中學(xué)）

高中數(shù)學(xué)的邏輯性極強(qiáng)，對(duì)于普通的高中生而言并不容易接受，而函數(shù)方程作為高中數(shù)學(xué)中的重要組成，更是教學(xué)的難點(diǎn)及重點(diǎn)，所以在實(shí)際教學(xué)過程中，不僅要求學(xué)生了解基本概念和簡(jiǎn)單運(yùn)用，更要掌握相應(yīng)的解題思路，從而起到事半功倍的效果，為學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)奠定良好的基礎(chǔ)。

高中數(shù)學(xué)；函數(shù)與方程；實(shí)例

高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程的思想極為重要，更是教學(xué)的關(guān)鍵所在，是數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)素質(zhì)以及數(shù)學(xué)知識(shí)的深層次體現(xiàn)，因此應(yīng)當(dāng)引起廣大教育者的重視。

一、函數(shù)與方程思想的含義

函數(shù)與方程盡管是截然不同的概念，但內(nèi)在聯(lián)系緊密，僅從高中數(shù)學(xué)方面來說，均對(duì)解題起著十分重要的作用，一方面是將參數(shù)取值范圍、求解方程、解析不等式、求值等問題的聯(lián)系，另一方面是構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，對(duì)函數(shù)起到輔助的解題作用，簡(jiǎn)化了解題難度。

1.函數(shù)思想

從某種意義上來說，函數(shù)思想即變化和運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，是對(duì)高中數(shù)學(xué)的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析探索，實(shí)現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)或函數(shù)關(guān)系的構(gòu)建，從而利用函數(shù)性質(zhì)及圖象對(duì)這些問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化、分析、解題。函數(shù)思想是處理函數(shù)問題的重要基礎(chǔ)。

2.方程思想

方程思想主要是對(duì)變量直觀關(guān)系的研究，實(shí)現(xiàn)了方程及方程組的構(gòu)建，從而結(jié)合方程的性質(zhì)解出答案。方程思想要求學(xué)生對(duì)方程的概念具備較深的理解，從而得以發(fā)現(xiàn)、處理問題。

二、函數(shù)與方程思想的典型應(yīng)用

1.不等式求解

所以，解得x＜-2或-1＜x＜1

例2.a，b，c，d實(shí)數(shù)滿足：a＜b，c＜d，（a-c）（a-d）=1，（b-c）（b-d）=1，求解上述實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為。

解析：假設(shè)函數(shù)（fx）=（x-c）（x-d），g（x）=（x-c）（x-d）-1

可知（fx）圖象向下位移一個(gè)單位即可得到函數(shù)g（x）圖象，那么再結(jié)合題中所給的條件，可知c，d均為f（x）=0的根，同理，a，b為g（x）=0的根（如圖1），所以，結(jié)合圖象，可知a＜c＜d＜d。

圖1

例3.求證：任意實(shí)數(shù)x，y，z∈（0，1），在x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1中成立。

證明：假設(shè)x為主元，y，z為參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)f（x）=（1-y-z）x+y（1-z）+z

可得：

如果1-y-z=0時(shí)，則f（x）=y-z+z＜y+z=1

如果1-y-z≠0時(shí)，f（x）為一次函數(shù)，且在區(qū)間（0，1）單調(diào)，

∴f（0）=y（1-z）+z=y（1-z）+（z-1）+1=（1-z）（y-1）-1＜1

得：f（1）=1-yz＜1

∴f（x）于（0，1）區(qū)間始終有f（x）＜1

即，x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1

評(píng)價(jià)：上述三個(gè)例子均是不等式解題中函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，例1將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，其次結(jié)合單調(diào)性對(duì)問題予以簡(jiǎn)化；例2則是將g（x）=（x-c）（x-d）-1和f（x）=（x-c）（x-d）-1這樣抽象的問題予以轉(zhuǎn)化，從而得到便于解題的方程、函數(shù)，有效降低數(shù)學(xué)難度，順利解題；例3則是在不等式證明中運(yùn)用特別解題思路，創(chuàng)建輔助函數(shù)，從而快速驗(yàn)證函數(shù)特有性質(zhì)。

2.零點(diǎn)求解

解析：

f（x）的周期圖象題中已給，因此可以先作出這個(gè)圖象（如圖2），隨后確定區(qū)間［-3，4］中的圖象，作直線y=a，確保和y=f（x）有10個(gè)不同交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得0＜a＜。

圖2

點(diǎn)評(píng)：通過已知交點(diǎn)數(shù)目做出函數(shù)圖象，有助于學(xué)生更直觀地找出答案。

3.方程根個(gè)數(shù)求解

例5.x2=2x方程解的個(gè)數(shù)

解析：

畫出函數(shù)f（x）=x2-2x的函數(shù)圖象（如圖3所示），根據(jù)函數(shù)的函數(shù)圖象不難看出，和x軸共有3個(gè)交點(diǎn)，因此x2=2x方程解的個(gè)數(shù)為3個(gè)。

圖3

4.數(shù)列求解

解析：

三、高中數(shù)學(xué)函數(shù)與方程解題思想的歸納分析

以上實(shí)例均說明函數(shù)與方程思想的應(yīng)用價(jià)值體現(xiàn)，并且將抽象的題目轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的解題思路，具有較好的實(shí)效性，但是仍需注意如下問題：

（1）解題時(shí)首先要思考將代數(shù)視為函數(shù)、方程視為函數(shù)、字母視為變量的可行性。

（2）如果代數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)，字母為變量，思考利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題。

（3）如果問題難以化為函數(shù)，則要思考能否構(gòu)建輔助函數(shù)。

（4）思考等式是否可以作為未知數(shù)方程處理。

（5）解方程時(shí)，需要注意其根的范圍、正負(fù)、虛實(shí)等方面的要求。

總而言之，函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)中的利用，可以為學(xué)生大開“方便之門”，便于學(xué)生多方向、多思維解題能力的培養(yǎng)，是高中數(shù)學(xué)課堂中不可或缺的重要思想，值得推廣應(yīng)用。

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·編輯段麗君