高立東 秦德生

【摘要】 幾何直觀在數(shù)學研究中起著聯(lián)絡(luò)、理解，甚至提供方法的作用，能引出數(shù)學的發(fā)明或發(fā)現(xiàn)，幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學教育中的一個熱點問題. 本文探討幾何直觀的內(nèi)涵，結(jié)合高考數(shù)學試題闡釋幾何直觀的實物直觀演示、圖形直觀操作和圖形直觀表示等三種表現(xiàn)形式，直觀能力具有創(chuàng)造性和工具性，有助于培養(yǎng)學生形成科學的數(shù)學思維方式.

【關(guān)鍵詞】 幾何直觀；高考試題；表現(xiàn)形式；教育價值

幾何直觀在數(shù)學中無處不在，不僅是一切幾何學的基礎(chǔ)，而且貫穿在整個數(shù)學學習過程中，而數(shù)學家依賴直觀推動對數(shù)學的思考，加強對數(shù)學的理解. 因此，幾何直觀的研究是數(shù)學中生動的、不斷增長的而且迷人的課題，在內(nèi)容、意義和方法上遠遠超出對幾何圖形本身的研究范疇，逐漸成為數(shù)學教育的熱點問題.

1. 幾何直觀的內(nèi)涵

數(shù)學家克萊因認為：“數(shù)學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學的直觀就是對概念、證明的直接把握”；徐利治先生認為，直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知. 從數(shù)學、哲學、心理學等視角可以看出直觀是一種感知，是形象思維和抽象思維的中介，是客觀世界不同事物的居間聯(lián)系環(huán)節(jié). 2011年版課標指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題. 借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果. ”換句話說，幾何直觀就是借助見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進行直接感知、整體把握的能力.

2. 幾何直觀的表現(xiàn)形式

孔凡哲、史寧中認為：在中小學數(shù)學中幾何直觀具體表現(xiàn)為四種形式，即實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀和替代物直觀.秦德生認為：幾何直觀具有創(chuàng)造性和工具性，其目的是利用圖形描述和分析數(shù)學問題. 因此，從數(shù)學功能看，幾何直觀可以分為實物直觀演示、圖形直觀操作和圖形直觀表示. 形式1：實物直觀，借助與研究對象有一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實世界中的實際存在物，進行簡捷、形象的思考和判斷. 實物直觀演示既可以是實際存在物，如球體、柱體、錐體、長方形、平行四邊形、梯形、圓、橢圓等；也可以借助計算機、七巧板、木棒等輔助的實物直觀演示，引導學生通過觀察、操作等活動，感受和探索圖形的特征，積累圖形與幾何的活動經(jīng)驗，建立初步的空間觀念.

形式2：圖形直觀操作，對實物的動手操作或圖形運動操作進行幾何直觀探索. 直觀操作分為兩類：一類是實物的動手操作，包括折紙、展開、折疊、切截、拼擺、密鋪等操作活動，能幫學生積累豐富的幾何事實，獲得對簡單幾何體和平面圖形的直觀經(jīng)驗.

另一類是圖形的運動操作（如平移、旋轉(zhuǎn)、反射等運動），如“點動成線”“線動成面”“面動成體”，半圓以直徑為軸旋轉(zhuǎn)可以形成球體，矩形以一邊為軸旋轉(zhuǎn)可以成為圓柱體，直角三角形以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)可以成為錐體等. 教師應(yīng)該引導學生經(jīng)歷觀察、操作等具體的感知經(jīng)歷過程，培養(yǎng)他們借助圖形思考的能力，例如（2013年高考湖北卷理）一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，則有

A. V1 < V2< V4 < V3

B. V1 < V3 < V2 < V4

C. V2 < V1 < V3 < V4

D. V2 < V3 < V1 < V4

形式3：圖形直觀表示，借助明確的幾何圖形來描述和分析數(shù)學問題.

圖形直觀表示是一種表征方式，是一種工具符號，主要分為兩類：一類是“形形表示”，如借助三視圖、網(wǎng)格、直角坐標系等圖形工具探索、描述和分析幾何問題，例如（2013年高考遼寧理科）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_______.

另一類“數(shù)形表示”，利用幾何圖形直觀，探索、描述和分析幾何以外的其他數(shù)學領(lǐng)域的問題，如利用數(shù)軸研究數(shù)系、方程的根，利用直觀圖分析數(shù)據(jù)，構(gòu)造圖形研究代數(shù)式、函數(shù)，利用單位圓研究三角函數(shù)等，例如（2013年高考湖南卷）函數(shù)f（x） = 2ln x的圖像與函數(shù)g（x） = x2 - 4x + 5的圖像的交點個數(shù)為 （ ）.

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

本題畫出圖像即可問題解決.

3. 幾何直觀培養(yǎng)學生創(chuàng)造力的教育功能

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，在數(shù)學研究中起著聯(lián)絡(luò)、理解，甚至提供方法的作用. 從創(chuàng)造力來看，直觀能引出數(shù)學的發(fā)明，能決定理論的形式和研究方向；數(shù)學家總是力求把他們研究的問題變成幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學發(fā)現(xiàn)的向?qū)? 在大多數(shù)情況下，數(shù)學的結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的.

因此，教師在數(shù)學教學中要挖掘教材資源，利用信息技術(shù)工具，展現(xiàn)豐富多彩的圖形世界，設(shè)計“借助幾何直觀進行思考”的典型案例；要注意讓學生經(jīng)歷動手操作、圖形制作的過程，培養(yǎng)學生用幾何直觀描述、分析問題的意識，培養(yǎng)學生的畫圖能力、文字語言，符號語言和圖形語言相互轉(zhuǎn)化的能力，為學生借助幾何直觀培養(yǎng)創(chuàng)造性思維提供有力保障.

（本文系東北師范大學教改項目：中學數(shù)學教師課堂教學表征能力及其培養(yǎng)路徑的研究成果之一）