摘 要：本文搜集了安徽省1978年-2015年的地區(qū)生產(chǎn)總值作為數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，根據(jù)時間序列的相關(guān)理論，對數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化檢驗，在通過合理的平穩(wěn)化處理之后，對數(shù)據(jù)進(jìn)行AIC定則檢驗，找到最合適的模型，并用此模型對參數(shù)進(jìn)行相關(guān)估計。這里最終建立的是自回歸移動平均模型，經(jīng)過檢驗，識別出的最理想模型為ARIMA（1，1，2）。先利用此模型對安徽省2014年和2015年的GDP作出預(yù)測，將預(yù)測值與實際值進(jìn)行相對誤差分析，得到的相對誤差在可控范圍之內(nèi)，從而認(rèn)為該模型的可行性高。最終利用ARIMA（1，1，2）模型對我省“一三五”規(guī)劃期間5年地區(qū)生產(chǎn)總值做出預(yù)測，結(jié)果顯示超過了2020年的目標(biāo)GDP。

關(guān)鍵詞：ARIMA模型；GDP預(yù)測；單位根檢驗

一、選題的背景及意義

“十二五”已經(jīng)落下帷幕，總結(jié)報告顯示這五年我省的地區(qū)生產(chǎn)總值從12263.4億元增長到22005.6億元，上一個一五相比，總量增加了近1萬億元，這是非常值得欣慰的。現(xiàn)在的安徽已經(jīng)站上了一個新的發(fā)展平臺，展望新的一五，我省將繼續(xù)實施創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色發(fā)展，加快創(chuàng)建創(chuàng)文化強(qiáng)省、生態(tài)強(qiáng)省、經(jīng)濟(jì)強(qiáng)省的步伐，以確保安徽實現(xiàn)全面小康社會。我們將為著這個目標(biāo)去奮斗，去開創(chuàng)美好安徽的新未來。

本文將以近年來安徽省地區(qū)生產(chǎn)總值為基礎(chǔ)，建立時間序列模型，對安徽省經(jīng)濟(jì)增長的內(nèi)在特征進(jìn)行分析。最終使用這個恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠韺Π不帐　笆濉逼陂g的地區(qū)生產(chǎn)總值做出預(yù)測，與“一三五”規(guī)劃中安徽省2020年的GDP目標(biāo)值做比較，大致可反映我省是否能達(dá)到目標(biāo)產(chǎn)值的情況。

二、本文主要工作

首先我們從《安徽省統(tǒng)計年鑒》中選取了改革開放以來安徽省1978年-2015年共38年的地區(qū)生產(chǎn)總值，對這些基礎(chǔ)資料進(jìn)行對數(shù)轉(zhuǎn)化，再求一階差分或二階差分，直到相關(guān)的序列圖和ADF單位根檢驗通過了平穩(wěn)性檢驗。再對平穩(wěn)化數(shù)據(jù)進(jìn)行可能的ARIMA（p，d，q）模型的識別，通過AIC定則篩選出最佳的ARIMA（p，d，q）模型。接著對該模型實施殘差序列檢驗，進(jìn)一步精確判斷模型的準(zhǔn)確性。最后用該模型對安徽省進(jìn)行短期的預(yù)測，得到的相對誤差在可控范圍內(nèi)即可認(rèn)為模型的良好，便可以對安徽省“一三五”規(guī)劃這5年進(jìn)行地區(qū)生產(chǎn)總值預(yù)測了。

三、ARIMA模型建模步驟

1.數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗和處理

初始的時間序列數(shù)據(jù)得到之后，對其平穩(wěn)性檢驗必不可少。一般來說，散點(diǎn)圖或折線圖就可實現(xiàn)，但要做到精確判斷還是要依靠ADF單位根檢驗的相關(guān)數(shù)值。對非平穩(wěn)時間序列的處理可以通過取對數(shù)、作一階差分或二階差分來完成。這里的差分次數(shù)就是ARIMA（p，d，q）模型中的階數(shù)d。理論上說，可以通過差分處理來提取非平穩(wěn)序列中的確定性信息，但并不是一昧的差分階數(shù)越多越好，差分階數(shù)越多，損失的實際數(shù)據(jù)的信息就越多，所以為避免過度差分，一般將差分次數(shù)限制在兩次以內(nèi)。

當(dāng)數(shù)據(jù)序列經(jīng)過平穩(wěn)化處理之后，我們便可得到相應(yīng)的d值，這樣我們的ARIMA（p，d，q）模型就轉(zhuǎn)化成了ARMA（p，q）模型。

2.模型的定階

ARMA（p，q）模型的階數(shù)和系數(shù)特點(diǎn)我們可以用通過它的相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)初步判定，如下表。

在平穩(wěn)時間序列中，可以通過自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的分析得到模型的初步階數(shù)，但這并不準(zhǔn)確。要想準(zhǔn)確的定階還是通過AIC定則最為靠譜，最終找到一個最理想的模型階數(shù)。

3.參數(shù)估計

在數(shù)據(jù)模型的階數(shù)確定之后，需要來估計ARMA模型的相關(guān)設(shè)計參數(shù)。這里我采用的是OLS最小二乘法。值得我們關(guān)注的是：由于MA模型的參數(shù)估計比一般模型復(fù)雜，當(dāng)遇到平均移動項含有高階的ARMA模型或移動平均模型的階數(shù)較高時我們應(yīng)盡量避免。

4.模型檢驗

當(dāng)上面的任務(wù)完成以后，需要對模型的估計結(jié)果進(jìn)行診斷和檢驗，來推斷我們所選的模型是否恰當(dāng)。要想看出擬合的模型合理與否，主要表現(xiàn)在兩個方面：首先是模型參數(shù)估計值的顯著性；其次是模型的殘差序列是否符合白噪聲序列的條件。

四、基于時間序列的安徽預(yù)測分析

安徽省地區(qū)生產(chǎn)總值（GDP）受到各方面的經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)、人文發(fā)展、人口增長等諸多因素的影響，這其中存在著各種錯綜復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系。這里我們化繁為簡，只將安徽省改革開放以來的三十幾年的地區(qū)生產(chǎn)總值作為原始時間序列，找出其中的規(guī)律，建立理想的數(shù)學(xué)模型，來預(yù)測出我們所需要的未來GDP預(yù)測值。這對預(yù)測安徽省“一三五”的經(jīng)濟(jì)概況具有重要的現(xiàn)實意義。

1.安徽省GDP時間序列分析

在ARMA模型中，時間序列產(chǎn)生于一個平穩(wěn)的隨機(jī)過程，若反映在圖像上，便是所有的樣本點(diǎn)都圍繞在某一確定的水平線上下浮動。所以，對非平穩(wěn)時間序列做好取對數(shù)和差分等平穩(wěn)化處理非常重要。

（1）平穩(wěn)性檢驗

在安徽省原始GDP的時間序列圖1中可以看出我省的地區(qū)生產(chǎn)總值具有明顯呈指數(shù)型的上升趨勢，所以這個序列明顯是非平穩(wěn)的。進(jìn)一步進(jìn)行ADF單位根檢驗更驗證了這個觀點(diǎn)，從表1可以看出，p值幾乎等于1，t統(tǒng)計量也不樂觀。所以檢驗未通過，表明原始序列是非平穩(wěn)的。

由于模型的需要，首先要做的就是平穩(wěn)化處理，這里通常有兩種方法，一種是取對數(shù)，一種是差分（一階或二階），這兩種對原序列的平穩(wěn)化都有顯著效果，下面具體介紹。

（2）平穩(wěn)化處理

首先對安徽省GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行對數(shù)化處理，記為lnY。在對lnY作圖時發(fā)現(xiàn)它的上升趨勢仍十分明顯，且ADF單位根檢驗中的t統(tǒng)計值分別大于1%，5%，10%水平下的檢驗值，即序列是非平穩(wěn)的。所以要進(jìn)一步進(jìn)行一階差分，來提取出這其中曲線趨勢的影響。對lnY序列一階差分后的序列記為DY，它的平穩(wěn)性檢驗結(jié)果如下：

由圖2的時序圖可以看出所有的樣本點(diǎn)已經(jīng)基本上在一條水平線上下浮動，但并不直觀。于是接下來進(jìn)行ADF單位根檢驗，由表2檢驗結(jié)果可以看出，在5%和10%的顯著性水平下一階差分的t統(tǒng)計值均小于相應(yīng)的Testcriticalvalues，即結(jié)論是接受不存在單位根這一說法。并且后面的Prob列讀出的p值也比0.05小得多，所以對lnY差分后的序列DY是平穩(wěn)的。

2.安徽省GDP時間序列模型的建立

本文研究的安徽省GDP是一個一元的時間序列，我們通過對過去的歷史數(shù)據(jù)間的隨機(jī)誤差項構(gòu)建模型來預(yù)測未來所需要的數(shù)據(jù)。一般來說，隨機(jī)誤差項是在不同時刻都統(tǒng)計獨(dú)立的，且服從于正態(tài)分布。要想找到最合適的ARMA模型，階數(shù)的確定和參數(shù)的估計是最重要的因素。

（1）模型的定階

從樣本的自相關(guān)與偏自相關(guān)函數(shù)的圖形中可以大致判斷序列所要構(gòu)建的ARMA（p，q）模型的階數(shù)，但想準(zhǔn)確確定，還需要一系列的試驗。

在圖3中，DY序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后一期后出現(xiàn)衰減，并且在后面的滯后階數(shù)中逐漸趨向于零值，這表現(xiàn)出拖尾性；相似的，偏自相關(guān)系數(shù)在圖中也表現(xiàn)為滯后一期后出現(xiàn)衰減并趨于零，但他的偏自相關(guān)系數(shù)都明顯大于0，于是可以大膽的理解為偏自相關(guān)系數(shù)也具有拖尾性。那么在對模型的階數(shù)進(jìn)行初步判斷時，我們可以取1，也可以取2。準(zhǔn)確的定階我們是通過AIC定則來判斷的。

由表3分析可知，在所有可能的ARMA（p，q）模型中，除去未通過檢驗的模型，剩下的AR（1），ARMA（1，2），MA（1）模型在R-squared、Adjusted R-squared、p值以及DW值的綜合判斷下擬合效果比較理想。

（2）模型參數(shù)估計與建立

分別對上述三種模型進(jìn)行參數(shù)估計，得到的ARMA（1，2）的AdjustedR-squared值比AR（1）和MA（1）的AdjustedR-squared值要大，而且AIC和SC的值前者比后兩者要小，故選擇ARMA（1，2）最為合適。此處因篇幅有限，只列示出最佳的模型參數(shù)估計，如圖4：

（3）模型檢驗

上述工作完成以后，模型的檢驗也是必不可少的一部分，我們需要檢查和診斷統(tǒng)計結(jié)果，綜合考慮該模型是否符合要求。由ARIMA（1，1，2）模型的殘差序列檢驗圖5可以看出，Q統(tǒng)計值均小于對應(yīng)自由度的的卡方分布的檢驗值，并且在最后一列我們可以看到所有的p值都顯著大于0.05，因此可斷定該殘差序列是白噪聲序列，也可以認(rèn)為ARIMA（1，1，2）模型通過了檢驗。

3.安徽省GDP短期預(yù)測及分析

在進(jìn)行預(yù)測之前，先用1978年-2013年的安徽省GDP數(shù)據(jù)對2014年和2015年的GDP作出預(yù)測，并與實際值計算得到相對誤差，如表4：

由上表可知，2014年-2015年的安徽省GDP預(yù)測值與實際值的相對誤差都比較小，結(jié)合我省的實際情況，該誤差算是在可接受的范圍內(nèi)。也進(jìn)一步說明了ARIMA（1，1，2）模型的可行性和準(zhǔn)確性。

最終我們用ARIMA（1，1，2）模型對安徽省未來5年即“一三五”期間的GDP做出預(yù)測，預(yù)測值如表5所示，輕松突破了我省定下的2020年地區(qū)生產(chǎn)總值36000億元：

五、結(jié)術(shù)語

本文通過對1978年-2015年安徽省GDP的數(shù)據(jù)分析及建立的模型，對2016年-2020年安徽省GDP作短期預(yù)測，這為安徽省制定經(jīng)濟(jì)發(fā)展目標(biāo)提供了決策參考價值。在“一三五”規(guī)劃大綱中，安徽省的經(jīng)濟(jì)發(fā)展目標(biāo)表明，到2020年安徽省地區(qū)生產(chǎn)總值目標(biāo)是36000億元，并希望能向40000億元沖刺。從本文的未來5年的預(yù)測值看出，2020年預(yù)測可達(dá)到37112.87億元的GDP，超過了一三五規(guī)劃中安徽的GDP目標(biāo)。

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作者簡介：宋靜（1995- ），女，安徽六安人，安徽財經(jīng)大學(xué)，應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)專業(yè)