摘 要:本文搜集了安徽省1978年-2015年的地區(qū)生產(chǎn)總值作為數(shù)據(jù)基礎(chǔ),根據(jù)時間序列的相關(guān)理論,對數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化檢驗,在通過合理的平穩(wěn)化處理之后,對數(shù)據(jù)進(jìn)行AIC定則檢驗,找到最合適的模型,并用此模型對參數(shù)進(jìn)行相關(guān)估計。這里最終建立的是自回歸移動平均模型,經(jīng)過檢驗,識別出的最理想模型為ARIMA(1,1,2)。先利用此模型對安徽省2014年和2015年的GDP作出預(yù)測,將預(yù)測值與實際值進(jìn)行相對誤差分析,得到的相對誤差在可控范圍之內(nèi),從而認(rèn)為該模型的可行性高。最終利用ARIMA(1,1,2)模型對我省“一三五”規(guī)劃期間5年地區(qū)生產(chǎn)總值做出預(yù)測,結(jié)果顯示超過了2020年的目標(biāo)GDP。
關(guān)鍵詞:ARIMA模型;GDP預(yù)測;單位根檢驗
一、選題的背景及意義
“十二五”已經(jīng)落下帷幕,總結(jié)報告顯示這五年我省的地區(qū)生產(chǎn)總值從12263.4億元增長到22005.6億元,上一個一五相比,總量增加了近1萬億元,這是非常值得欣慰的。現(xiàn)在的安徽已經(jīng)站上了一個新的發(fā)展平臺,展望新的一五,我省將繼續(xù)實施創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色發(fā)展,加快創(chuàng)建創(chuàng)文化強(qiáng)省、生態(tài)強(qiáng)省、經(jīng)濟(jì)強(qiáng)省的步伐,以確保安徽實現(xiàn)全面小康社會。我們將為著這個目標(biāo)去奮斗,去開創(chuàng)美好安徽的新未來。
本文將以近年來安徽省地區(qū)生產(chǎn)總值為基礎(chǔ),建立時間序列模型,對安徽省經(jīng)濟(jì)增長的內(nèi)在特征進(jìn)行分析。最終使用這個恰當(dāng)?shù)哪P蛠韺Π不帐 笆濉逼陂g的地區(qū)生產(chǎn)總值做出預(yù)測,與“一三五”規(guī)劃中安徽省2020年的GDP目標(biāo)值做比較,大致可反映我省是否能達(dá)到目標(biāo)產(chǎn)值的情況。
二、本文主要工作
首先我們從《安徽省統(tǒng)計年鑒》中選取了改革開放以來安徽省1978年-2015年共38年的地區(qū)生產(chǎn)總值,對這些基礎(chǔ)資料進(jìn)行對數(shù)轉(zhuǎn)化,再求一階差分或二階差分,直到相關(guān)的序列圖和ADF單位根檢驗通過了平穩(wěn)性檢驗。再對平穩(wěn)化數(shù)據(jù)進(jìn)行可能的ARIMA(p,d,q)模型的識別,通過AIC定則篩選出最佳的ARIMA(p,d,q)模型。接著對該模型實施殘差序列檢驗,進(jìn)一步精確判斷模型的準(zhǔn)確性。最后用該模型對安徽省進(jìn)行短期的預(yù)測,得到的相對誤差在可控范圍內(nèi)即可認(rèn)為模型的良好,便可以對安徽省“一三五”規(guī)劃這5年進(jìn)行地區(qū)生產(chǎn)總值預(yù)測了。
三、ARIMA模型建模步驟
1.數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗和處理
初始的時間序列數(shù)據(jù)得到之后,對其平穩(wěn)性檢驗必不可少。一般來說,散點(diǎn)圖或折線圖就可實現(xiàn),但要做到精確判斷還是要依靠ADF單位根檢驗的相關(guān)數(shù)值。對非平穩(wěn)時間序列的處理可以通過取對數(shù)、作一階差分或二階差分來完成。這里的差分次數(shù)就是ARIMA(p,d,q)模型中的階數(shù)d。理論上說,可以通過差分處理來提取非平穩(wěn)序列中的確定性信息,但并不是一昧的差分階數(shù)越多越好,差分階數(shù)越多,損失的實際數(shù)據(jù)的信息就越多,所以為避免過度差分,一般將差分次數(shù)限制在兩次以內(nèi)。
當(dāng)數(shù)據(jù)序列經(jīng)過平穩(wěn)化處理之后,我們便可得到相應(yīng)的d值,這樣我們的ARIMA(p,d,q)模型就轉(zhuǎn)化成了ARMA(p,q)模型。
2.模型的定階
ARMA(p,q)模型的階數(shù)和系數(shù)特點(diǎn)我們可以用通過它的相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)初步判定,如下表。
在平穩(wěn)時間序列中,可以通過自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的分析得到模型的初步階數(shù),但這并不準(zhǔn)確。要想準(zhǔn)確的定階還是通過AIC定則最為靠譜,最終找到一個最理想的模型階數(shù)。
3.參數(shù)估計
在數(shù)據(jù)模型的階數(shù)確定之后,需要來估計ARMA模型的相關(guān)設(shè)計參數(shù)。這里我采用的是OLS最小二乘法。值得我們關(guān)注的是:由于MA模型的參數(shù)估計比一般模型復(fù)雜,當(dāng)遇到平均移動項含有高階的ARMA模型或移動平均模型的階數(shù)較高時我們應(yīng)盡量避免。
4.模型檢驗
當(dāng)上面的任務(wù)完成以后,需要對模型的估計結(jié)果進(jìn)行診斷和檢驗,來推斷我們所選的模型是否恰當(dāng)。要想看出擬合的模型合理與否,主要表現(xiàn)在兩個方面:首先是模型參數(shù)估計值的顯著性;其次是模型的殘差序列是否符合白噪聲序列的條件。
四、基于時間序列的安徽預(yù)測分析
安徽省地區(qū)生產(chǎn)總值(GDP)受到各方面的經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)、人文發(fā)展、人口增長等諸多因素的影響,這其中存在著各種錯綜復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系。這里我們化繁為簡,只將安徽省改革開放以來的三十幾年的地區(qū)生產(chǎn)總值作為原始時間序列,找出其中的規(guī)律,建立理想的數(shù)學(xué)模型,來預(yù)測出我們所需要的未來GDP預(yù)測值。這對預(yù)測安徽省“一三五”的經(jīng)濟(jì)概況具有重要的現(xiàn)實意義。
1.安徽省GDP時間序列分析
在ARMA模型中,時間序列產(chǎn)生于一個平穩(wěn)的隨機(jī)過程,若反映在圖像上,便是所有的樣本點(diǎn)都圍繞在某一確定的水平線上下浮動。所以,對非平穩(wěn)時間序列做好取對數(shù)和差分等平穩(wěn)化處理非常重要。
(1)平穩(wěn)性檢驗
在安徽省原始GDP的時間序列圖1中可以看出我省的地區(qū)生產(chǎn)總值具有明顯呈指數(shù)型的上升趨勢,所以這個序列明顯是非平穩(wěn)的。進(jìn)一步進(jìn)行ADF單位根檢驗更驗證了這個觀點(diǎn),從表1可以看出,p值幾乎等于1,t統(tǒng)計量也不樂觀。所以檢驗未通過,表明原始序列是非平穩(wěn)的。
由于模型的需要,首先要做的就是平穩(wěn)化處理,這里通常有兩種方法,一種是取對數(shù),一種是差分(一階或二階),這兩種對原序列的平穩(wěn)化都有顯著效果,下面具體介紹。
(2)平穩(wěn)化處理
首先對安徽省GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行對數(shù)化處理,記為lnY。在對lnY作圖時發(fā)現(xiàn)它的上升趨勢仍十分明顯,且ADF單位根檢驗中的t統(tǒng)計值分別大于1%,5%,10%水平下的檢驗值,即序列是非平穩(wěn)的。所以要進(jìn)一步進(jìn)行一階差分,來提取出這其中曲線趨勢的影響。對lnY序列一階差分后的序列記為DY,它的平穩(wěn)性檢驗結(jié)果如下:
由圖2的時序圖可以看出所有的樣本點(diǎn)已經(jīng)基本上在一條水平線上下浮動,但并不直觀。于是接下來進(jìn)行ADF單位根檢驗,由表2檢驗結(jié)果可以看出,在5%和10%的顯著性水平下一階差分的t統(tǒng)計值均小于相應(yīng)的Testcriticalvalues,即結(jié)論是接受不存在單位根這一說法。并且后面的Prob列讀出的p值也比0.05小得多,所以對lnY差分后的序列DY是平穩(wěn)的。
2.安徽省GDP時間序列模型的建立
本文研究的安徽省GDP是一個一元的時間序列,我們通過對過去的歷史數(shù)據(jù)間的隨機(jī)誤差項構(gòu)建模型來預(yù)測未來所需要的數(shù)據(jù)。一般來說,隨機(jī)誤差項是在不同時刻都統(tǒng)計獨(dú)立的,且服從于正態(tài)分布。要想找到最合適的ARMA模型,階數(shù)的確定和參數(shù)的估計是最重要的因素。
(1)模型的定階
從樣本的自相關(guān)與偏自相關(guān)函數(shù)的圖形中可以大致判斷序列所要構(gòu)建的ARMA(p,q)模型的階數(shù),但想準(zhǔn)確確定,還需要一系列的試驗。
在圖3中,DY序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后一期后出現(xiàn)衰減,并且在后面的滯后階數(shù)中逐漸趨向于零值,這表現(xiàn)出拖尾性;相似的,偏自相關(guān)系數(shù)在圖中也表現(xiàn)為滯后一期后出現(xiàn)衰減并趨于零,但他的偏自相關(guān)系數(shù)都明顯大于0,于是可以大膽的理解為偏自相關(guān)系數(shù)也具有拖尾性。那么在對模型的階數(shù)進(jìn)行初步判斷時,我們可以取1,也可以取2。準(zhǔn)確的定階我們是通過AIC定則來判斷的。
由表3分析可知,在所有可能的ARMA(p,q)模型中,除去未通過檢驗的模型,剩下的AR(1),ARMA(1,2),MA(1)模型在R-squared、Adjusted R-squared、p值以及DW值的綜合判斷下擬合效果比較理想。
(2)模型參數(shù)估計與建立
分別對上述三種模型進(jìn)行參數(shù)估計,得到的ARMA(1,2)的AdjustedR-squared值比AR(1)和MA(1)的AdjustedR-squared值要大,而且AIC和SC的值前者比后兩者要小,故選擇ARMA(1,2)最為合適。此處因篇幅有限,只列示出最佳的模型參數(shù)估計,如圖4:
(3)模型檢驗
上述工作完成以后,模型的檢驗也是必不可少的一部分,我們需要檢查和診斷統(tǒng)計結(jié)果,綜合考慮該模型是否符合要求。由ARIMA(1,1,2)模型的殘差序列檢驗圖5可以看出,Q統(tǒng)計值均小于對應(yīng)自由度的的卡方分布的檢驗值,并且在最后一列我們可以看到所有的p值都顯著大于0.05,因此可斷定該殘差序列是白噪聲序列,也可以認(rèn)為ARIMA(1,1,2)模型通過了檢驗。
3.安徽省GDP短期預(yù)測及分析
在進(jìn)行預(yù)測之前,先用1978年-2013年的安徽省GDP數(shù)據(jù)對2014年和2015年的GDP作出預(yù)測,并與實際值計算得到相對誤差,如表4:
由上表可知,2014年-2015年的安徽省GDP預(yù)測值與實際值的相對誤差都比較小,結(jié)合我省的實際情況,該誤差算是在可接受的范圍內(nèi)。也進(jìn)一步說明了ARIMA(1,1,2)模型的可行性和準(zhǔn)確性。
最終我們用ARIMA(1,1,2)模型對安徽省未來5年即“一三五”期間的GDP做出預(yù)測,預(yù)測值如表5所示,輕松突破了我省定下的2020年地區(qū)生產(chǎn)總值36000億元:
五、結(jié)術(shù)語
本文通過對1978年-2015年安徽省GDP的數(shù)據(jù)分析及建立的模型,對2016年-2020年安徽省GDP作短期預(yù)測,這為安徽省制定經(jīng)濟(jì)發(fā)展目標(biāo)提供了決策參考價值。在“一三五”規(guī)劃大綱中,安徽省的經(jīng)濟(jì)發(fā)展目標(biāo)表明,到2020年安徽省地區(qū)生產(chǎn)總值目標(biāo)是36000億元,并希望能向40000億元沖刺。從本文的未來5年的預(yù)測值看出,2020年預(yù)測可達(dá)到37112.87億元的GDP,超過了一三五規(guī)劃中安徽的GDP目標(biāo)。
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作者簡介:宋靜(1995- ),女,安徽六安人,安徽財經(jīng)大學(xué),應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)專業(yè)