浙江省春暉中學(xué)

林國夫　　(郵編：312353)

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聚焦新課程

從核心素養(yǎng)角度思考立體幾何的教與學(xué)

浙江省春暉中學(xué)

林國夫(郵編：312353)

眾所周知，培養(yǎng)學(xué)生的空間直觀感知能力、提高正確判斷空間幾何體的空間位置是立體幾何教學(xué)最重要的任務(wù)之一.然而，隨著課改的深入和教學(xué)內(nèi)容的不斷調(diào)整，學(xué)生的空間感知能力出現(xiàn)了逐漸降低的趨勢，這對我們順利開展立體幾何教學(xué)產(chǎn)生了不小的阻力.特別是在高三復(fù)習(xí)階段，學(xué)生越來越感到：依靠自身的空間想象能力來解決空間問題著實(shí)有點(diǎn)力不從心.那么如何來幫助學(xué)生有效提高解決空間問題能力呢？筆者對此進(jìn)行了積極的探索.縱觀整個高中數(shù)學(xué)課程，我們教學(xué)的最終目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)分析等)，立體幾何教學(xué)作為高中數(shù)學(xué)課程的一部分，也理應(yīng)圍繞這個目標(biāo).基于此，筆者希望以核心素養(yǎng)作為指導(dǎo)綱領(lǐng)，來重新整合自己的教學(xué)，從而來突破立體幾何教學(xué)的瓶頸.為此，筆者在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行了積極的探索，本文擬就此來談?wù)勛约旱慕虒W(xué)心得，供同行參考.

1　架構(gòu)高效推理論證思維圖式

盡管在空間問題的求解過程中，我們脫離不了直觀想象，但是直觀想象畢竟具有主觀臆斷之嫌.要檢驗(yàn)憑直觀所得的空間結(jié)論是否正確，則需要進(jìn)行科學(xué)的論證，這就少不了推理論證.推理論證是彌補(bǔ)直觀思維漏洞的過程，更是讓學(xué)生從感性走向理性的重要一環(huán).因此，理性的推理論證可以讓學(xué)生更能清晰地把握空間幾何體的空間位置，是學(xué)生建立科學(xué)空間觀必不可少的思維歷程.因此，在教學(xué)中，我們要幫助學(xué)生架構(gòu)科學(xué)判斷空間位置的一整套推理論證的思維圖式.所謂思維圖式，即主體在遇到同屬性的問題時能及時作出相應(yīng)思維的過程.在立體幾何模塊中具有非常多的思維圖式，例如空間線線角、線面角、二面角的求作；空間平行位置關(guān)系的判斷；空間垂直位置的判斷等等.對于這些問題，我們要讓學(xué)生建立正確而順暢的思維鏈，即一遇到什么問題，我們要順利地作出與問題相匹配的完整思維和動作，直至解決問題.例如：

問題1如圖1，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分別是線段CC1、BD上的點(diǎn)，R是直線AD上的點(diǎn)，滿足PQ//平面ABC1D1，PQ⊥RQ，求|PR|的最小值.

2　強(qiáng)化問題解決的數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)問題的解決需要有合理的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行支撐，好的數(shù)學(xué)模型可以為我們思考問題提供良好的思維空間.但是數(shù)學(xué)模型的順利建立需要主體積累豐富的經(jīng)驗(yàn)，通過經(jīng)驗(yàn)的直觀判斷與引導(dǎo)，從問題情境中抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題并建立合理的模型，再通過數(shù)學(xué)手段分析模型.因此，個體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和解決問題的經(jīng)驗(yàn)嚴(yán)重影響數(shù)學(xué)模型的建立，而經(jīng)驗(yàn)的獲得則需要進(jìn)行實(shí)踐與深刻的自我體驗(yàn).因此，在立體幾何的教學(xué)中，我們要合理創(chuàng)設(shè)典型的問題情景與建立相關(guān)的模型，通過引導(dǎo)來幫助學(xué)生體驗(yàn)建立模型的思維歷程，積累相關(guān)經(jīng)驗(yàn).例如：在解決空間折線長的最值中，可以利用幾何體的面的展開圖將問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)定點(diǎn)間的距離；在涉及空間三條垂線的幾何問題中，可以考慮將幾何體內(nèi)置于長方體或正方體中；涉及空間角度問題時，可以通過建立向量模型，借助空間向量運(yùn)算來解決問題等等.在教學(xué)中，我們既要注重對模型的建立過程，也要關(guān)注模型與問題情景的匹配，以便在具體的問題情景中能迅速鎖定相應(yīng)的模型，形成解決問題的策略.例如：

上述問題的求解關(guān)鍵在于建立合理的空間坐標(biāo)系來確定點(diǎn)D′的坐標(biāo)，并通過向量手段來解決空間角度問題，解決問題的方式具有非常廣泛的適應(yīng)性，相比于用傳統(tǒng)的直觀想象方法要顯得簡潔易懂且容易掌握，可以作為一種典型的模型進(jìn)行教學(xué).

分析考慮到問題涉及三條垂線，因此我們想到長方體模型，長方體的對角線為平面α的垂線.設(shè)直線l為平面α的垂線，直線l與AB、AC、AD所成角分別為α1、α2、α3，則我們可以構(gòu)建以l為對角線，以AB、AC、AD為鄰邊的長方體，如圖5.

在問題3中，我們抓住三線兩兩垂直的特征來聯(lián)想長方體模型，由此迅速找到解決問題的方法.此例也說明了模型在問題求解中具有舉足輕重的作用.另外，從問題的求解過程中，我們也能明白，通過問題特征來聯(lián)想模型是培養(yǎng)學(xué)生建立模型解決問題的重要途徑.

3　理解和抽象問題的本質(zhì)

問題的解決作為檢測知識掌握與否的手段，但不是目的.在問題的求解過程中，若要挖掘問題隱藏的價值，則需要我們對問題的背景和本質(zhì)具有一定的洞察力，以便我們更好地理解問題，從而實(shí)現(xiàn)觸類旁通的效果.因此，除卻問題表象、揭示問題本質(zhì)應(yīng)該作為我們立體教學(xué)努力達(dá)到的目標(biāo)，盡自己的力量來幫助學(xué)生脫離題海.例如：

問題4如圖6，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)E是底面ABCD的中心.

若C1E⊥α，求△C1AB在平面α內(nèi)的射影的面積.

問題4的本質(zhì)即為二面角求解的投影法，理解這點(diǎn)有助于更好地解釋與投影面積相關(guān)的問題，這是揭示此類問題本質(zhì)的關(guān)鍵點(diǎn).它不僅為我們解決問題提供了有效的方法，也為我們洞察問題的設(shè)計(jì)思路提供思維源泉.再如下列的問題： 如圖7，在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD的對角線BD在平面α內(nèi).則當(dāng)正方體繞著BD旋轉(zhuǎn)的過程中，求正方體在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形Γ的面積S的取值范圍.

分析如圖7，設(shè)點(diǎn)C、B1、D1、A在平面α的射影分別為C′、B′、D′、A′，從而正方體在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形Γ即為多邊形A′B′BC′DD′，其可看成是ABCD和矩形BDD1B1在平面α內(nèi)的射影.若設(shè)平面ABCD與平面α構(gòu)成的二面角為θ(考慮對稱性，不妨設(shè))，則平面BDD1B1與平面α構(gòu)成的二面角為，從而(其中，故當(dāng)，即時，S有最大值；當(dāng)θ=0時，S有最小值a2.故正方體在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形Γ的面積S的取值范圍為].

4　增強(qiáng)向量工具的輔助意識

盡管我們在立體幾何的教學(xué)中始終強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的空間立體感知能力，然而口頭上的強(qiáng)調(diào)無法改變學(xué)生空間感缺失的事實(shí).為了克服這點(diǎn)，我們不得不將空間向量作為法寶，以此作為拯救學(xué)生的最后一道防線.但是，這里我們不得不提醒的是，我們注重利用空間向量來解決空間問題不代表我們可以脫離空間想象力.事實(shí)上，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力有時也需要利用空間向量.這兩者是相輔相成的，過度地依賴向量或過度地強(qiáng)調(diào)空間想象都是不恰當(dāng)?shù)?我們需要充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢，取長補(bǔ)短，從而更好地提高解決問題的效率.例如

問題5如圖8，棱長為4的正方體ABCD—A1B1C1D1，點(diǎn)A在平面α內(nèi)，平面ABCD與平面α所成的二面角為300，求頂點(diǎn)C1到平面α的距離d的最大值.

在問題5的求解過程中，表面上看我們沒有使用空間向量，但是我們的求解卻無不在利用空間向量求解空間角的基本方式，利用向量角度將直線AC1與平面α的垂線l的夾角進(jìn)行了等價轉(zhuǎn)化.如此以來，我們可在一定程度上擺脫難于想象的困境，實(shí)現(xiàn)問題的常態(tài)化求解.從中我們也不難看到，利用空間向量來輔助我們的空間想象對高效解決空間問題是大有裨益的.上述題目對于空間想象力好的學(xué)生而言也許還不算困難，但是對下面的問題，通過直觀想象來求解也許會非常困難，但是利用空間向量來輔助我們想象則會容易得多，其基本思想與問題5如出一轍.

分析設(shè)直線l為平面α的垂線，設(shè)AC1與垂線l所成角為θ，則AP=AC1sinθ=2sinθ，下面我們利用空間向量解決空間角的基本思維模式來求解α的取值范圍.

從問題5和問題6的求解過程中，能深刻體會到空間向量的輔助，能保證我們在空間想象相對困難時，可以科學(xué)地分析空間位置，從理性的角度來增強(qiáng)我們的空間想象能力.

總之，立體幾何教學(xué)的根本目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中關(guān)鍵在于提高學(xué)生的空間想象力，增強(qiáng)空間感知能力.為了實(shí)現(xiàn)這個目標(biāo)，我們需要在直觀想象的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的理性推理論證能力，借助理性思維來提高對空間量的感知力，并用科學(xué)的眼光分析空間問題.要幫助學(xué)生豐富和積累解決空間問題的典型模型和經(jīng)驗(yàn)，通過線面位置關(guān)系的等價轉(zhuǎn)化來抽象數(shù)學(xué)問題，提高解決問題的效率.在教學(xué)中要幫助學(xué)生理解問題，盡力揭示問題的本源，以便從根本上領(lǐng)悟問題的本質(zhì)，達(dá)到知一通百的效果.在空間想象能力一時無法發(fā)揮作用時，要引導(dǎo)學(xué)生通過空間向量的輔助功能來增強(qiáng)想象力，充分發(fā)揮直觀想象和空間向量各自的優(yōu)勢，以此來科學(xué)而有效地分析空間幾何體的數(shù)量關(guān)系.不可否認(rèn)的是，立體幾何的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)中的難點(diǎn)，僅僅依靠我們紙上談兵式地探討無助于對教學(xué)難點(diǎn)的突破.因此，我們需要在教學(xué)實(shí)踐中不斷探索和實(shí)踐，在實(shí)踐中來改進(jìn)我們的教學(xué)方式和策略，以便真正提高立體幾何的教學(xué)效率.

2016-05-26)